基于 Bayes 法的電主軸極小子樣可靠性研究

第一作者 蔣喜 男，碩士生，1987年生

通信作者 劉宏昭 男，教授，博士生導師，1954年生

基于Bayes法的電主軸極小子樣可靠性研究

蔣喜, 劉宏昭，訾佼佼，原大寧，劉麗蘭

(西安理工大學 機械與精密儀器工程學院，西安710048)

摘要：針對長壽命的磨削電主軸極小子樣的可靠性評估問題，提出了Bayes結合虛擬增廣樣本的分析方法。首先，在Bayes法基本流程的指導下，研究了基于Bayes法的磨削電主軸可靠性評估方法。根據定時截尾試驗的原則對電主軸進行可靠性試驗，應用Bayes法結合磨削電主軸試驗樣本的可靠性試驗數據，綜合虛擬增廣樣本法對其可靠性進行評估，最終獲得電主軸的可靠性評估結果。最后，將基于Bayes法與基于偽壽命分布法的磨削電主軸極小子樣可靠性評估結果進行比較，以驗證基于Bayes法可靠性評估理論的合理性。

關鍵詞：電主軸；極小子樣；Bayes；虛擬增廣；可靠性

基金項目：國家科技重大專項計劃資助項目(2010ZX04014-012)；國家自然科學基金(51275404)；陜西省自然科學基金(2012JQ7011)；陜西省重點學科建設專項資金資助項目

收稿日期：2013-10-21修改稿收到日期：2014-01-28

中圖分類號:TH133.2文獻標志碼： A

Extremely small sample’s reliability of a motorized spindle based on Bayes method

JIANGXi,LIUHong-zhao,ZIJiao-jiao,YUANDa-ning,LIULi-lan(School of Mechanical and Precision Instrument Engineering, Xi’an University of Technology, Xi’an 710048, China)

Abstract:Aiming at the reliability evaluation of a long life grinding motorized spindle’s extremely small sample, a Bayes method combined with virtual augmented sample was proposed. Firstly, under the guidance of the basic process of Bayes method, the reliability evaluation method of a grinding motorized spindle based on Bayes method was studied. According to the principle of timing truncation tests, the reliability tests of the motorized spindle were conducted. Then, Bayes method combined with the reliability testing data of the grinding motorized spindle’s testings sample and the virtual augmented sample method was applied to assess the reliability of the spindle. Furthermore, the reliability evaluation results of the motorized spindle were obtained. Finally, the reliability evaluation results of the grinding motorized spindle based on Bayes method and those based on the false life’s distribution method were compared to verify the correctness of the proposed method.

Key words: motorized spindle; extremely small sample; Bayes; virtual augmented; reliability

磨削電主軸已較為普遍地被應用于數控加工中心，以實現機械加工的高速化和超精密化。作為數控加工中心的核心部件，磨削電主軸可靠性就成為了衡量整個數控加工中心可靠性的重要指標之一。對磨削電主軸的可靠性進行試驗和評估，能夠掌握其在實際使用過程中實現預定功能的能力，同時可以指導設計人員對其結構和相關參數進行改善，從而不斷提高磨削電主軸的可靠性。由于電主軸屬于高精度、長壽命、高可靠性產品，在短時間內對其進行可靠性試驗難以獲得失效壽命數據。因此，針對本課題涉及到的這類無故障情形下的磨削電主軸可靠性評估的問題，擬采用基于Bayes法的可靠性分析法進行研究。基于Bayes法的可靠性分析法是一種綜合經驗信息進行可靠性評估的方法[1]。該方法的特點在于先驗分布，根據先驗分布和試驗數據導出后驗分布，繼而得到可靠性指標的貝葉斯推斷，因此不需要很多的樣本就能得到較好的估計。

近些年，國內外學者在這方面也取得了很多成果，使貝葉斯法得到了不斷的改進和完善。如韓明[2]提出了產品無失效數據的一種“綜合新Bayes估計法”。劉少剛等[3]針對艦船特種閥門可靠性評估比較困難的問題，提出了將Bayes理論和相似性理論相結合的評估新方法。此外，針對各類研究對象是小樣本或者極小子樣的情況，也有許多學者分別提出了不同的方法進行研究。如劉騰騰，劉建等[4]采用Bayes法結合最小二乘法來分析滾動軸承小樣本無失效數據；馮蘊雯等[5]研究了在具有相同驗前概率值的情況下,不同典型驗前概率分布模型對做一次成功試驗后所得的驗后概率值的影響；曹浪等[6]研究了小樣本情況下常見驗前信息分布、驗前信息的獲取方法、驗前信息的可信度確定，進而將Bayes法運用到性能退化模型的建立過程中。此外，文獻[7-16]也對Bayes方法進行了深入地研究、拓展和應用。

此外，由于電主軸造價較高，使得試驗成本較大，因此涉及到的電主軸樣本只有兩根。針對這類極小子樣的可靠性研究，為了使電主軸可靠性評估結果的準確度更高，擬同時采用虛擬增廣樣本法將試驗樣本的截尾試驗壽命進行虛擬擴展。在此基礎上，對虛擬增廣樣本進行統計分析，以獲得電主軸的一系列可靠性指標。因此，應用本方法對磨削電主軸進行可靠性評估，既縮短了磨削電主軸可靠性試驗時間，又使得最終的評估結果不失精確性。

1Bayes法的基本流程

對于試驗樣本的可靠性數據所服從的分布函數中的未知參數θ，應用Bayes法進行估計的基本流程如下：

(1) 根據未知參數θ的先驗信息確定θ的先驗分布π(θ)。

(2) 確定依賴于未知參數θ的密度函數p(x|θ)。該函數表示在隨機變量θ給定某個值時，總體指標X的條件分布。根據貝葉斯觀點，可得密度函數p(x|θ)為：

(1)

此函數亦稱為似然函數，記為L(θ)。

(3) 由先驗分布π(θ)和密度函數p(x|θ)可得到樣本x和參數θ的聯合分布為：

(2)

(4) 推斷未知參數θ的后驗分布。先將h(x,θ)分解為：

(3)

式中:m(x)是x的邊際密度函數，其表達式為：

(4)

由式(4)可知m(x)中不含θ的任何信息，其中Θ是θ的取值空間。因此只能用條件分布h(θ|x)來對θ作出統計推斷，其計算表達式為：

(5)

式(5)即為貝葉斯公式的密度函數形式。

在樣本x給定下，θ的條件分布h(θ|x)被稱為θ的后驗分布，其包含了總體、樣本和先驗等三種信息中有關未知參數θ的所有信息，同時又排除了所有與θ無關的信息[17-19]，所以基于后驗分布h(θ|x)對θ進行統計推斷比基于先驗分布的推斷更為有效、更為合理。

2基于Bayes法的電主軸可靠性評估

2.1理論研究

由于迄今為止對于磨削電主軸的可靠性試驗不夠普遍，開展的相關工作也不是非常的系統，因此人們對于電主軸的失效所應服從的分布也不是很明確。鑒于這種情形，我們致力于在整個電主軸單元中尋求一些對于電主軸綜合性能影響較大的典型零部件，并且該部件在工程中的可靠性試驗應已經較為完善和普遍，其失效所服從的分布也應較為明確。在此基礎上，可將該典型零部件的失效分布函數近似代替電主軸的失效分布函數。

在該思想的指導下，電主軸的支承軸承的磨損及疲勞剝落等形式的失效對于電主軸的綜合性能(如電主軸的軸端跳動和主軸振動等)影響較大，也較直接，同時對于軸承的研究技術已發展得較為成熟，部分企業和科研院校都對其開展過長期的可靠性試驗，對所獲得的大量試驗數據的分析可獲知其失效所服從的分布為威布爾分布函數。因此我們最終選擇威布爾分布函數來近似代替電主軸的失效分布函數。

針對本研究對象的實際狀況，推斷威布爾分布的Bayes分析方法：

兩參數威布爾分布的分布函數為：

(6)

令：λ=(1/η)m，則式(6)轉化為：

F(t)=1-exp(-λtm)

(7)

對于參數λ，可選擇伽瑪分布Γ(σ,τ)作為其共軛先驗分布；對于參數m則沒有共軛先驗分布，由于電主軸屬于高可靠性、長壽命產品，因此其失效率是遞增的，即m>1,此時可令m1=m-1,則可取m1的先驗分布為伽瑪分布Γ(α,β)。又因為λ和m1是相互獨立的，因此可得λ和m1的先驗分布為：

(8)

由于涉及到的研究對象——電主軸屬于高可靠性產品，在短時間內很難得到失效壽命數據，因此專門在無失效壽命數據的條件下進行研究。在無失效情形下，相應的似然函數為：

(9)

式中:t1,t2,…,tn指的是對n個試驗樣品逐個進行定時截尾試驗的截尾試驗時間。

L(λ,m1)=e-λM

(10)

于是可得樣本t1,…,tn和參數λ、m1的聯合分布h(t1,…,tn|λ,m1)為：

h(t1,…,tn|λ,m1)=L(λ,m1)·π(λ,m1)=

(11)

將式(11)代入式(5)可得λ和m1的聯合后驗分布h(λ,m1|t1,…,tn)為：

(12)

由式(12)可得到m1的后驗分布為：

(13)

而λ的后驗分布為：

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

2.2磨削電主軸可靠性試驗及評估

2.2.1試驗設備及原理[20]

采用逐次定時截尾試驗的可靠性試驗方法，且均在主軸轉速為8 000 r/min，軸端徑向載荷為80 N的試驗條件下，對兩根磨削電主軸進行可靠性試驗，其主要試驗設備見圖1。

1. 振動速度傳感器　2. 激光位移傳感器感測頭 3.離心式風機　4. 恒流源　5.加載盤 6. 電磁加載裝置　7. 磨削電主軸 圖1　電主軸實驗設備 Fig.1 The electric spindle test equipment

該試驗平臺的主要工作原理是：在接通所有設備電源之后，先啟動水冷機給電主軸通循環冷卻水，再通過調節變頻器控制電主軸的轉速達到8 000 r/min，接著啟動恒流源給電磁加載裝置供電，以實現對電主軸軸端加載盤施加電磁力，并根據磨削電主軸的載荷譜控制電磁加載力的大小，由此模擬電主軸在實際磨削加工過程中的磨削力。然后，在電主軸運行穩定后，每隔一段時間通過激光位移傳感器和振動速度傳感器分別測量電主軸軸端徑向跳動量和振動速度值，檢查各項指標是否超過允許值。在截尾試驗時間內，若各指標均未超出允許值，則試驗至設定的截尾時間時停止試驗；若某指標超出允許值，則即刻終止試驗。

2.2.2磨削電主軸可靠性評估

在開展整個試驗前，將兩個試驗樣品逐個進行定時截尾試驗的截尾試驗時間分別設定為955 h、1 452 h，最終各試驗樣品在各自的可靠性截尾試驗時間內均未出現失效。在此基礎上，首先根據虛擬增廣樣本法的基本原理，即虛擬增廣后的虛擬樣本的均值應與原始試驗樣本的均值相等，而且其標準差應與類似件的樣本標準差相等[21]，選取虛擬增廣樣本數為13，即將原始的2個擴展為13個。根據威布爾分布密度函數的偏態性，可得截尾試驗壽命的虛擬增廣樣本為T1=120.35 h，T2=361.05 h，T3=481.40 h，T4=601.75 h，T5=722.10 h，T6=842.45 h，T7=962.80 h，T8=1 083.2h，T9=1 203.5 h，T10=1 444.2 h，T11=1 684.9 h，T12=1 925.6 h，T13=2 482 h。

然后采用“2.1’所闡述的理論對磨削電主軸的可靠性進行評估，具體過程如下：

由文獻[22]可知球軸承的形狀參數一般取為1.5，因此擬取電主軸的疲勞失效壽命所符合的威布爾分布形狀參數m的初值為1.5。在此基礎上，結合文獻[1]介紹的先驗分布中超參數的確定方法，確定m1(m1=m-1)的先驗分布——伽瑪分布Γ(α,β)和λ的先驗分布——伽瑪分布Γ(σ,τ)中的超參數α，β，σ和τ。

根據先驗信息只能獲得m1的先驗均值為：

(19)

由于本研究的磨削電主軸的應用場合是數控加工中心或者數控磨床，對于此類應用場合而言，電主軸的主要失效形式是加工精度的喪失，而不是其內部材料的疲勞失效。而相對疲勞失效的壽命而言，加工精度的喪失失效壽命較短，并且很難精確獲得。此外，精度壽命與電主軸的實際工況和用戶的維護情況關系較大。因此，考慮到所研究的磨削電主軸的實際狀況，結合蔣喜等[20]的分析結果，初選電主軸的特征壽命為2 500h，即威布爾分布中的真尺度參數η=2 500，則參數λ的先驗均值為：

(20)

表1　伽瑪分布Γ(α,β)中超參數與方差的關系

表2　伽瑪分布Γ(σ,τ)中超參數與方差的關系

由Bayes法所獲得的磨削電主軸可靠度函數曲線可知：隨著磨削電主軸使用時間的延長，磨削電主軸的可靠度也隨之不斷降低。

(21)

將上述相關參數的貝葉斯估計值分別代入兩參數威布爾分布的相關函數表達式，可得磨削電主軸的可靠性指標如下：

(1) 平均壽命的估計值E(T)為：

(22)

(2) 失效分布函數F(t)和分布密度函數f(t)分別為:

1-exp(-7.264×10-6×t1.459 4)

(23)

(24)

則由式(24)可得磨削電主軸的失效分布密度函數曲線，如圖3所示。同時可得，當t≈1 510 h時，f(t)max=2.230 2×10-4。這表示在本課題設定的工況下，該型號電主軸的試驗樣本中大約運行到1 510h時失效的個體總數占整個試驗樣本的比例是最大的，約為0.022 3%。

(3) 由上述分析易得，電主軸的可靠度函數為：

(4) 電主軸失效率函數為：

(26)

由此可得電主軸失效率函數曲線如圖4所示。

由圖4可知：磨削電主軸的失效率函數為遞增型，在運行約8 000h的時候，其失效率達到6.585 2×10-4(個)/h，該值表示每10 000根該型號磨削電主軸在本課題設定的工況下工作8 000h后只有約7根電主軸失效。而在此時間點之前，各個時刻電主軸的失效率均低于6.585 2×10-4(個)/h。由此可見，該電主軸的可靠性較高。

圖2 磨削電主軸可靠度函數曲線Fig.2Reliabilityfunctioncurveofgrindingmotorizedspindle圖3 磨削電主軸分布密度函數曲線Fig.3Distributiondensityfunctioncurveofgrindingmotorizedspindle圖4 磨削電主軸失效率函數曲線Fig.4Failureratefunctioncurveofgrindingmotorizedspindle

(5) 該電主軸的可靠壽命為：

(27)

則其中位壽命為：

(28)

特征壽命為：

(29)

3評估結果的比較

采用Bayes法結合虛擬增廣樣本法對磨削電主軸極小子樣的可靠性進行評估，將其評估結果與蔣喜[20]采用基于偽壽命分布法結合虛擬增廣樣本法的磨削電主軸極小子樣可靠性評估方法的評估結果進行比較，各個可靠性指標的對比圖表分別見圖5～圖7和表3。

圖5 磨削電主軸的分布密度函數曲線對比圖Fig.5Contrastingofdistributiondensityfunctioncurveofgrindingmotorizedspindle圖6 磨削電主軸的可靠度函數曲線對比圖Fig.6Contrastingofreliabilityfunctioncurveofgrindingmotorizedspindle圖7 磨削電主軸的失效率函數曲線對比圖Fig.7ContrastingofFailureratefunctioncurveofgrindingmotorizedspindle

表3　磨削電主軸部分可靠性指標匯總表

由圖5～圖7及表3易知：由兩種不同可靠性評估方法獲得的關于磨削電主軸的一系列可靠性指標不同，存在一定的差異。造成這種差異主要是因為影響上述兩種方法分析結果的因素不同，偽壽命分布法的主要影響因素是退化軌跡模型的選取和失效閾值的確定，Bayes法的主要影響因素是先驗分布的確定以及先驗分布中超參數的確定。其中失效閾值的確定主要是由電主軸在實際工況下所需達到的加工精度等條件決定的，而先驗分布是根據經驗和歷史資料來確定的。

對于本課題的研究對象而言，由于其可靠性指標暫無統一的標準，因此無法衡量兩種可靠性評估方法的優劣。但其中兩者的分布密度函數、可靠度函數和失效率函數的變化趨勢基本一致，在一定范圍內也處于同一數量級的水平，并且兩者的平均壽命、中位壽命及特征壽命等指標也較為接近，因而在一定程度上體現出兩種可靠性評估方法對磨削電主軸的可靠性進行評估均有一定的合理性。

4結論

針對采用傳統基于壽命數據的可靠性分析方法對磨削電主軸的可靠性進行評估較為困難的問題，提出了將Bayes與虛擬增廣樣本相結合的可靠性分析方法來解決磨削電主軸的極小子樣可靠性問題，主要研究工作為：

(1) 研究了Bayes法的基本原理和流程，并對基于Bayes法的磨削電主軸可靠性評估方法進行了理論分析。

(2) 結合磨削電主軸試驗數據，應用基于Bayes法的磨削電主軸可靠性分析方法對磨削電主軸進行可靠性評估，獲得一系列可靠性指標。

(3) 將基于Bayes法的磨削電主軸極小子樣可靠性評估結果與基于偽壽命分布法的磨削電主軸極小子樣可靠性評估結果進行比較，以驗證本文研究的合理性。

評估結果表明，該電主軸的可靠度隨時間的變化趨勢基本符合機械產品的性能退化規律，同時其平均失效壽命基本符合正常工況下的一般范圍。

參 考 文 獻

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