Biot 理論與修正的 Biot 理論比較及討論

第一作者 劉志軍 男，博士生，1988年生

Biot理論與修正的Biot理論比較及討論

劉志軍1,2，夏唐代1,2，黃睿1,2，陳煒昀3

(1. 浙江大學 軟弱土與環境土工教育部重點實驗室，杭州310058；2.浙江大學 濱海和城市巖土工程研究中心，杭州310058； 3. 南京工業大學 交通學院，南京210009)

摘要：對Biot理論和修正的Biot理論中的波動方程進行了詳細推導，注明了每個參數的量綱和準確含義，并基于修正的Biot理論導出了三種不同形式的波動方程；對兩種理論進行比較，得到了Biot彈性系數表達式，并分析了兩者的應力及其對應關系；最后，著重對易被混淆的孔隙流體壓力符號的正方向和含義，以及基本方程中部分參數的定義式進行了討論，有助于更好地理解、應用Biot理論和修正的Biot理論。

關鍵詞：Biot理論；修正的Biot理論；彈性系數；應力；孔隙流體壓力；參數

基金項目：國家自然科學基金(U1234204,51378463)

收稿日期：2013-06-26修改稿收到日期：2014-01-28

中圖分類號:TU435文獻標志碼： A

Comparison and discussion for Biot theory and modified Biot one

LIUZhi-jun1,2,XIATang-dai1,2,HUANGRui1,2,CHENWei-yun3(1. MOE Key Laboratory of Soft Soils and Geoenvironmental Engineering, Zhejiang University, Hangzhou 310058, China;2. Research Center of Costal and Urban Geotechnical Engineering, Zhejiang University, Hangzhou 310058, China;3. College of Transportation Science & Engineering, Nanjing University of Technology, Nanjing 210009, China)

Abstract:The wave equations of Biot theory and modified Biot one were derived, and the dimension and correct definition of each parameter in the equations were clearly indicated. Based on the modified Biot theory, three different forms of wave equations were derived as well. Then, by comparing those two theories, the expressions of Biot elastic coefficients were obtained, and the stresses of the two theories and their correspondences were analyzed. Finally, particularly, the positive direction and meaning of pore-fluid pressure sign and the definitions of part parameters in the fundamental equations were discussed to be helpful for understanding and using the two theories.

Key words: biot theory; modified biot theory; elastic coefficients; stress; pore-fluid pressure; parameters

20世紀50年代，Biot[1-2]首先建立了流體飽和多孔介質傳播理論(簡稱“Biot理論”)，其基本方程已得到廣泛應用，為雙相多孔介質的土動力學分析奠定了基礎。Biot理論是基于熱力學原理而推導出的半唯象(semi-phenomenological)理論，其中，A、R、Q 等系數太復雜且含義抽象，給實際求解帶來了困難。后來的學者對其進行了一些簡化和修正，提出了可以考慮固體顆粒和流體壓縮性、且忽略質量耦合系數的雙相孔隙介質理論(“修正的Biot理論”)，其基本方程的建立是基于彈性動力學和滲流理論，易于理解，也在一定程度上證實了Biot理論的正確性。

基于Biot理論或修正的Biot理論，國內外很多學者從不同的角度對多孔介質中的土動力學問題進行了研究。但不同文獻中所應用的基本方程表達式各異，部分參數的定義式有些混亂，尤其是孔隙流體壓力的正方向和內涵，及其與平均孔隙流體壓力的差異容易被忽略和混淆，讓人產生誤解。

修正的Biot理論是基于Biot理論而提出來的，也正因為如此，往往忽略了這兩個既存在聯系而基本方程表達式又不同的理論之間的關系，目前尚沒有相關的比較研究。本討論主要為：① 分別對這兩種理論進行詳細的推導，并基于修正的Biot理論推導出不同形式的波動方程；② 比較兩種理論，得到兩者之間的應力關系及Biot理論中彈性系數的表達式；③ 對孔隙流體壓力和其他參數進行討論。

1Biot理論與修正的Biot理論

1.1Biot理論

Biot基于一系列假設條件，通過熱力學原理建立了流體飽和多孔介質的線性本構關系，并給出了系統動能和介質耗散函數的表達式，運用拉格朗日方程，最后建立了考慮慣性項和粘性項相互耦合的系統動力方程。其基本方程如下(除特別注明之外，相同符號代表相同的參量)：

固體骨架和孔隙流體的線性本構方程(應力應變關系)分別為：

(1)

s=Qe+Rε， s=-npf

(2)

分別以單位體積飽和多孔介質中的固體和孔隙流體作為研究對象，固體和流體的運動方程為：

(3)

(4)

式中：b為Biot自定義的一個與達西滲透系數有關的介質耗散參數，b=n2η/κ=n2ρfg/k[4]；g為重力加速度(m/s2)；η為流體黏滯系數(Pa·s)；κ為固體骨架動力滲透系數(m2)；k為固體骨架固有滲透系數(m/s)；ρ11、ρ22、ρ12分別為固體、流體質量系數和固—液質量耦合系數(kg/m3)，其中，(1-n)ρs=ρ11+ρ12，nρf=ρ12+ρ22；ρs、ρf分別為固體和流體真密度(kg/m3)。

將式(1)、式(2)代入式(3)、式(4)，可得到位移矢量形式的波動方程：

N2u+grad[(A+N)e+Qε]=

(5)

grad[Qe+Rε]=

(6)

1.2修正的Biot理論

由于Biot理論中的A、R、Q、ρ12等系數太復雜且含義抽象，為此，后來的學者基于Biot理論導出了修正的Biot理論。雖然兩種理論的基本方程表達式有所不同，但實質上是相通的。不同的是，修正的Biot理論中忽略了取值不易確定的質量耦合系數，即假設ρ12=0。修正的Biot理論中，位移矢量不同，其基本方程表達式也有所不同，有以下三種常用的形式：

(1) u-w形式

學者楊峻基于修正的Biot理論研究了飽和土中三種體波的彌散與衰減特性[5]，考慮了土顆粒和流體的壓縮性，其基本方程如下：

以固體和流體組成的系統單元整體作為研究對象，其運動方程為：

(7)

以孔隙流體自身作為研究對象，流體運動方程為(假設孔隙流體為理想的可壓縮流體，其流動遵從Darcy定律)：

(8)

滲流連續方程：

(9)

式中：

(10)

式中：α、M為表征土顆粒和流體壓縮性的Biot系數；Ks、Kb、Kf分別為固體顆粒、固體骨架和流體的體變模量(Pa)。

柯西問題中初始條件滿足[6]：

(11)

因此，式(9)兩邊同時對時間t求積分，可以得到孔隙流體的本構方程(與Santos[7]中的式(1)是一致的)：

-pf=Mwi,i+αMui,i

(12)

考慮土顆粒本身由于孔隙流體壓力作用所引起的壓縮性，基于有效應力的應力應變關系為[8]：

σij=λξkkδij+2μξij-αpfδij

(13)

式中：λ、μ為彈性骨架的Lame常數(Pa)，后者又稱剪切模量。

聯立以上各式，可得到u-w位移矢量形式的波動方程：

μ2u+(λ+μ+α2M)(·u)+

αM(

(14)

αM(·u)+M(

(15)

(2) u-U形式

系統單元運動方程，即式(7)可化為：

(16)

孔隙流體運動方程，即式(8)可化為：

(17)

孔隙流體的本構方程，即式(9)可化為：

-pf=(α-n)Me+nMε

(18)

基于有效應力的應力應變關系，即式(13)可化為：

σij=[λ+α(α-n)M]eδij+αnMεδij+2μξij

(19)

聯立式(16)～式(19)可得u-U位移矢量形式的波動方程，也即式(14)～式(15)可化為：

μ2u+[λ+μ+α(α-n)M](·U)+

nαM(

(20)

(α-n)M(·U)+nM(·U)=

(21)

(3) u-U-pf形式

將式(18)代入式(20)、式(21)，可得到u-U-pf形式的波動方程：

(22)

(23)

以上三種形式與黃茂松[8]基于混合物理論推導得到的結果是一致的。在研究中，當需側重流體與固體之間的相對運動或研究對象與之相關時，可采用u-w形式的波動方程，且其式子較為簡潔，得到了廣泛應用；u-U形式的波動方程則更突出了雙相介質的作用機理，易于理解，且可直接得到流體的絕對位移；u-U-pf形式的波動方程應用較少。

2比較

2.1Biot彈性系數

Biot和Willis[9]通過外套試驗(jacketed test)和非外套試驗(unjacketed test)給出了各向同性Biot波動方程中彈性系數與純固體骨架體變模量、顆粒體變模量和流體體變模量之間的關系。Claude Depollier[10]分析了均勻和非均勻材料的Biot彈性系數表達式，李亮等[11]給出了忽略固體顆粒的壓縮性時Biot彈性系數的表達式。通過對比Biot理論和修正的Biot理論，也可得出A、R、Q等彈性系數與流體飽和多孔介質各體變模量之間的關系。

由于修正的Biot理論中沒有考慮質量耦合系數，因此，在對上述兩種不同表達形式的波動理論進行對比時，均忽略慣性耦合項，即ρ12=0，此時有：

ρ11=(1-n)ρs，ρ22=nρf

(24)

式(21)兩邊同乘以n，得：

n(α-n)Me+n2M

(25)

結合式(24)，注意到b=n2η/κ，對比式(6)與式(25)，得：

Q=n(α-n)M，R=n2M

(26)

(27)

對比式(5)與式(27)，得：

N=μ，A=λ+(α-n)2M，

Q=n(α-n)M

(28)

對比式(2)與式(18)，注意到s=-npf，得

Q=n(α-n)M，R=n2M

(29)

綜合式(26)、式(28)、式(29)，有

(30)

修正的Biot理論是基于Biot理論并經簡化、修正后得到的。上述對比中，采用由果索因的反演分析法，得到了Biot彈性系數與多孔介質體變模量之間的關系式，同時也分析了兩種理論中各基本方程的對應關系，在一定程度上驗證了Biot理論的正確性，使半唯象(semi-phenomenological)的Biot理論更具體，有助于加深對其的理解。

2.2兩種理論中的應力

Biot理論中，當忽略質量耦合項并假設流-固兩相之間不存在相對位移，即ρ12=0、ui=Ui，則式(3)和式(4)化為：

(31)

(32)

Biot理論中，總應力σij應為(忽略質量耦合項)

修正的Biot理論中，式(19)中的σij為總應力，比較式(33)與式(19)，有：

A+Q=λ+α(α-n)M，Q+R=αnM

(34)

式(34)與前面得到的結果式(30)是一致，這也驗證了上述分析的正確性。

值得注意的是，也有不少文獻(如Santos、Degrande[15],徐平[16])中直接以σij表示平均固相應力或修正廣義有效應力，在閱讀或引用時需加以區分。

3討論

3.1孔隙水壓力

王立忠等[17-18]曾對修正的Biot理論中的孔隙流體壓力進行了簡要的相互討論，下面通過一個流體運動方程對孔隙流體壓力的符號定義和內涵進行詳細討論與分析。

陳龍珠等[19-22]對飽和土中體波和表面波的傳播特性做了大量研究，其中，關于孔隙水的運動方程為：

(35)

(36)

對比式(36)與修正的Biot理論中的式(17)，可以發現，兩個流體單元的運動方程并不一致(注意兩者位移矢量的定義不一樣)。陳龍珠認為上式的建立是以單位體積飽和土中的孔隙水作為研究對象的結果，若按照此觀點，式中的pw應該為平均孔隙水壓力(相當于s)。不過，即使如此，式(36)與Biot理論中的式(4)也是不一致的(忽略質量耦合項)。

可從以下兩種不同的角度對上式進行修正。

(1) 將式(35)中的流體表觀密度ρ2改為流體真密度ρw，則有

(37)

此時，對比式(37)與修正的Biot理論中的式(17)，盡管兩式對孔隙水壓力正方向的定義正好相反，但兩式中孔隙水壓力pw和pf的內涵是一樣的，均是表示絕對孔隙水壓力。在后續的引用中，僅需相應地在總應力表達式中對符號做出調整，也即，此時總應力表達式為σij=λξkkδij+2μξij+αpwδij。

夏唐代關于總應力邊界條件表示為σz+pw=0(原文中定義固相應力σij=λξkkδij+2μξij，且假設土顆粒不可壓縮，即α=1)，就屬于上述情形。Tajuddin[23]中式(16)所定義的平均孔隙水壓力s正方向與其文中的式(2)相反，而在后續的應力邊界條件中卻沒有做出相應地調整。

(38)

上式兩邊同除以n，得：

(39)

以上分析也表明，因正方向和參數定義式的不同，或不同學者根據研究的需要，同一個方程可以有多種不同的表達形式，但萬變不離其宗，只需在調用時相應地做出改變。

因此，在運用Biot理論或修正的Biot理論研究多孔介質中波的傳播特性，尤其當因存在交界面而要使用應力邊界條件時，要注意自身所定義的孔隙流體壓力的正方向及其內涵，不能直接引用別人文獻中的相關式子，否則在數值計算中將得不到正確的結果。

3.2其他參數

4結論

旨在探討Biot理論與修正的Biot理論之間的關系，對其中易被混淆之處進行了分析，以便更好地理解和應用此理論，同時也希望對多孔介質土動力學研究的入門者會有所幫助。盡管Biot理論自建立至今已歷經半個多世紀，如今對其進行比較及討論仍然具有重要意義，因為雙相孔隙介質Biot理論和修正的Biot理論是三相孔隙介質(如單孔隙非飽和多孔介質)和四相孔隙介質(如雙重孔隙非飽和介質)土動力學分析的基礎，同時在地震、勘探、交通等領域也有重要的工程應用價值。

參 考 文 獻

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