復合隨機振動分析的混合 PC －PEM方法

第一作者 項盼 男，博士，1985年生

通信作者 趙巖 男，副教授，1974年生

郵箱：yzhao@dlut.edu.cn

復合隨機振動分析的混合PC-PEM方法

項盼, 趙巖, 林家浩

(大連理工大學 運載工程與力學學部 工業裝備與結構分析國家重點實驗室，大連116023)

摘要：由于加工、制造等原因，實際結構系統往往所具有很多不確定性，準確評估隨機系統的動力學行為不僅具有實際意義，而且是近年來結構動力學理論的一個研究熱點。本文研究了同時考慮結構模型參數與所受外激勵載荷具有不確定性的復合隨機振動問題。結構模型參數的不確定性采用隨機變量模擬，外激勵載荷的不確定性采用隨機過程模擬，提出了結構隨機振動響應評估的混合混沌多項式-虛擬激勵(PC-PEM)方法。數值算例研究了參數不確定性在21桿桁架中的傳播，討論了響應的一階、二階統計矩，并同蒙特卡洛方法進行對比表明提出方法的正確性和有效性。本文的工作對于考慮不確定的復雜裝備與結構系統的隨機振動分析具有很好的借鑒意義。

關鍵詞：不確定;PC展開;虛擬激勵法;Hermite多項式;隨機伽遼金法方法

基金項目：“973”國家重點基礎研究計劃項目(2010CB832704)；大連理工大學理科基礎科研專題(DUT12LK50)

收稿日期：2014-11-08修改稿收到日期：2014-02-25

中圖分類號:O324文獻標志碼： A

Hybrid PC-PEM for complex random vibration analysis

XIANGPan,ZHAOYan,LINJia-hao(State Key Laboratory of Structural Analysis for Industrial Equipment, Faculty of Vehicle Engineering and Mechanics, Dalian University of Technology, Dalian 116023, China)

Abstract:Due to processing and manufacturing reasons, an actual structure system often has a lot of uncertainties. How to correctly assess dynamic behavior of an uncertain system not only has a practical significance, but also is a hot topic of structural dynamics theory in recent years. Here, the dynamic behavior of a structure with uncertain parameters under external random excitation was investigated. The uncertain parameters of the structure were taken as random variables, and the random excitations were taken as stochastic processes. The hybrid polynomial chaos and pseudo excitation method (PC-PEM) was proposed to evaluate the random vibration response of the uncertain structure. Finally, the proposed method was applied to evaluate the random response of a 21-bar truss with uncertain parameters. The first two orders statistical moments of its random response were discussed, and the correctness and effectiveness of the proposed method were verified by comparing the results of this method with those of Monte Carlo method. This study was of great significance for random vibration analysis of complex equipments and structures with uncertain parameters.

Key words: uncertainty; polynomial chaos (PC) expansion; pseudo excitation method (PEM); Hermite polynomial; random Galerkin method

由于加工、制造等一系列因素，實際工程結構模型都具有大量不確定性。對于結構響應受不確定因素的影響，近年來日益獲得重視，并取得了豐碩的研究成果[1-3]。多項式混沌展開是最近二十年來發展的不確定系統動力學研究的一種有效方法，其適用于固體力學、流體力學等不同研究領域。多項式混沌展開基于概率框架以正交多項式譜展開描述隨機量，對于隨機微分方程結合隨機伽遼金方法應用多項式混沌展開描述解和輸入[4-5]。隨機伽遼金方法適合于常微分方程或者偏微分方程，其基本思想是應用伽遼金投影使截斷展開與耦合方程的解集誤差最小，并求解獲得展開系數完成不確定響應評估。Jensen等[6-7]利用多項式展開法對響應方差關于不確定參數進行展開，分析了結構在隨機激勵下的復合隨機振動響應。Zhang[8]推導了隨機場的連續正交級數展開，并與Karhunen-Loeve展開進行對比，用一階矩法進行了結構可靠性分析。李杰[9]由次序正交分解方法建立了隨機結構動力分析的擴階系統方法，研究了隨機結構在隨機荷載作用下的響應變異。Schenk[10]對結構幾何不確定建立了隨機場，通過隨機場正交分解進行了圓柱殼的屈曲分析。Qu[11]提出一個高階數值方法用來求解具有隨機系數的斯托克斯方程，對于隨機輸入基于有限維Karhunen-Loeve分解技術，借助隨機伽遼金方法使隨機斯托克斯方程轉化為展開系數的確定性方程集，進一步結合塊雅可比迭代技術求解該問題，并與理論結果進行了對比。

以往基于多項式混沌展開進行不確定系統分析，多數在時域上進行，討論一條隨機載荷樣本。實際上，對于地震、風、路面譜等隨機激勵外載，由于其隨機本質，由隨機振動理論直接進行響應的概率統計分析更具有實際價值。對于此類問題目前還存在一定困難，如：應用隨機伽遼金方法通常獲得的耦合方程要遠高于原系統的階數，如果仍然按照傳統隨機振動理論完成功率譜等統計量分析，需要進行大量的復矩陣運算，具有高額的計算成本。本方法同時考慮結構模型參數與所受外激勵載荷具有不確定性的復合隨機振動問題。分別采用隨機變量和隨機過程模擬結構模型參數的不確定性及外激勵載荷的不確定性，并基于隨機伽遼金方法建立了結構隨機振動響應評估的混合混沌多項式-虛擬激勵法(PC-PEM)，提出的考慮不確定參數影響的虛擬響應評估代理模型有效實現了結構不確定隨機響應均值和方差的準確評估。在數值算例中，研究了參數不確定性在21桿桁架中的傳播，討論了響應的一階和二階統計矩，并同蒙特卡洛法進行對比，表明了提出方法的正確性和有效性，本方法對于復雜結構系統雙隨機問題的理論分析與數值計算提供了一個可以借鑒的途徑。

1多項式混沌展開的基本方法

在概率框架下多項式混沌展開以正交多項式的譜展開形式描述隨機量，具有表達如下

(1)

式(1)可以簡化為

(2)

式中：bi為Fourier系數，ψi(ξ(θ))是ξ(θ)(定義為高斯隨機變量)的Hermite多項式排列組合乘積形式。Hermite多項式是在區間(-∞,∞)上帶權exp(-α2/2)的正交多項式，其表達式為[4]

(3)

2復合隨機振動分析混合PC-PEM方法

2.1不確定性分析的隨機伽遼金方法

考慮不確定動力學系統控制方程的一般形式

[L(t)+Π(ξ(θ),t)]u(t)=f(t)

(4)

式中：L(t)為確定的微分算子，Π(α(θ),t)為系數具有零均值隨機屬性微分算子。

(5)

引入誤差

(6)

如果式(6)表達的誤差函數與基底函數具有正交性(也可稱為投影)，也即

(7)

則利用式(7)，不確定動力學系統控制方程改寫為如下形式

(8)

基于截斷展開與方程解集誤差最小原則，經過伽遼金投影方法可以獲得一組確定性方程(見式(8))。

2.2復合隨機振動分析混合PC-PEM方法

在單源隨機載荷作用下，具有不確定參數系統運動方程可以表示為

(9)

由隨機有限元理論，對于質量陣、阻尼陣和剛度陣的隨機部分可以表達為如下形式[6-7]

(10)

進一步，式(9)可以改寫為

(11)

(12)

其中上標“～”代表虛擬載荷作用下的不確定虛擬響應。

由“2.1”，不確定虛擬響應的多項式混沌展開為

(13)

式中，Γj為基底多項式，aj為對應的系數向量，m為展開階數。

將上式代入式(12)，并進行化簡有

(14)

應用“2.1”節的隨機伽遼金方法，同時利用Hermite多項式的正交特性，最終可獲得以投影坐標為未知向量的確定性方程組集。為表達簡便，采用Kronecker張量積表示為

(15)

2.3復合隨機振動響應統計矩評估

假定任意觀測的第i個虛擬響應可表示為

(16)

這里系數aj,i已經由上小節方法計算獲得；且基底多項式Γj也為已知。

由虛擬激勵法，其功率譜可以表達為

(17)

隨機振動功率譜均值為

(18)

式中：cj為由多項式正交性獲得的常數。由式(18)可知,只要獲得投影坐標的每一分量，則很容易計算隨機振動功率譜均值。

進一步，隨機振動功率的二階中心矩可以表示為：

(19)

式(19)涉及多維隨機變量積分，不容易給出一個顯示表達式，在具體計算時可采用蒙特卡洛方法進行數值積分，由于只對觀測響應，其仍具有較高的效率。

利用式(16)并結合虛擬激勵法可以很容易獲得隨機振動功率譜等響應統計信息，所以也可稱式(16)為虛擬響應評估代理模型。

3數值算例

如圖1所示21桿平面桁架，結構設計參數為：水平及豎向桿長均為5 m；各桿軸向剛度均為EF=3.0×104kN；不計自重，但在所有節點上均有1 000 kg的集中質量；結構的阻尼取為瑞利阻尼。

圖1　平面桁架 Fig.1 Plan truss

采用沿水平x方向慣性加速度激勵，采用Kanai-Tajimi譜，為

(20)

式中：ωg=15 rad·s-1和ξg=0.6分別為場地土的卓越頻率和阻尼比，S0=15.74 m2·s-3為基巖地震動白噪聲強度。

假定桁架某些桿件彈性模量存在不確定性，采用混合PC-PEM方法進行上述隨機地震載荷下該不確定桁架系統隨機振動分析。

假定具有不確定單元彈性模量的變異系數均為0.1，按照不同的觀測響應與不同單元彈性模量發生變異分別進行討論分析。工況1和工況2的觀測點為J點水平方向位移，不確定單元分別為9、10、15、16、20、21和5、8、12、15、17、20。工況3和工況4的觀測點為H點水平方向位移，不確定單元分別為11、12、13、16、17、20和5、8、10、15、16、21。圖2～圖5分別采用蒙特卡洛法(MC)和混合PC-PEM法計算了位移響應功率譜的均值和均方差，并進行了對比。為表達清楚，圖2～圖5采用了半對數坐標。蒙特卡洛法(MC)樣本數取為1000；對于混合PC-PEM法，每一隨機變量Hermite多項式取為1階，其排列組合構成混沌正交多項式的展開項數為7階。以圖2為例可以看出，對于觀測點J點水平方向位移功率譜無論是對于一階統計矩(均值)、還是二階統計矩(均方差)，MC法和混合PC-PEM法的計算結果都非常接近。對于圖3～圖5均有類似的結論。MC法對于每一樣本都需要重新生成剛度矩陣，并進行動剛度矩陣的求逆運算；而混合PC-PEM法在獲得隨機虛擬響應的代理模型后，即可應用代理模型式(16)由式(18)和式(19)完成隨機振動功率譜的統計矩分析。這里僅討論了一階、二階統計矩，實際對于更高階矩的分析也可類似完成。

圖2 工況1時J點水平方向位移功率譜Fig.2ThePSDofhorizontaldisplacementresponseatnodeJforcase1圖3 工況2時J點水平方向位移功率譜Fig.3ThePSDofhorizontaldisplacementresponseatnodeJforcase2圖4 工況3時H點水平方向位移功率譜Fig.4ThePSDofhorizontaldisplacementresponseatnodeHforcase3

圖5 工況4時H點水平方向位移功率譜Fig.5ThePSDofhorizontaldisplacementresponseatnodeHforcase4圖6 第6號單元內力響應功率譜Fig.6ThePSDofinternalforceresponseforelement6圖7 第9號單元內力響應功率譜Fig.7ThePSDofinternalforceresponseforelement9

另外，從圖2和圖3對比可知：對于工況1和工況2的功率譜均值統計量是非常一致的，但均方差統計量表現不同(圖4 和圖5同樣有類似的結論)。對此進行了深入分析，實際上對于該算例，其不確定性系統的功率譜均值統計與確定性系統(不考慮結構具有的隨機性)的功率譜相差不大，為節省篇幅，這里未列出具體對比結果圖。這種現象說明了在某些情況下，由確定性系統分析作為隨機系統分析的均值響應是合理的。但此時也應注意，由于系統參數不確定的傳播隨機振動功率譜等響應也是隨機量，如考慮更可靠的不確定估計，應進行其二階統計矩的分析，給出其可能偏離均值的范圍。

圖6和圖7給出了考慮不確定單元為5、8、12、15、17、20，變異系數均為0.1時結構內力響應功率譜的分析結果。從圖中可知采用混合PC-PEM法計算的內力功率譜響應一、二階統計量與MC法計算結果仍具有非常好的一致性。同時也可以看出，與位移響應的計算結果相比，內力響應方差偏移均值的范圍要大一些，這說明其對于不確定因素更為敏感。

4結論

研究了復合隨機振動問題，不僅考慮結構參數具有的不確定性，同時考慮結構所受外激勵的隨機作用。基于隨機有限元理論采用隨機變量模擬結構模型參數的不確定性，而外激勵載荷的不確定性應用隨機過程進行模擬。建立了同時考慮二種不確定的混合混沌多項式-虛擬激勵方法，可以有效地進行不確性傳播對于隨機振動功率譜等響應的影響。所取得的成果對于考慮不確定的復雜裝備與結構系統的隨機振動分析具有很好的實際意義。

參 考 文 獻

[1] Pradlwarter H J. Relative importance of uncertain structural parameters, Part I: algorithm[J]. Computational Mechanics, 2007, 40(4): 627-635.

[2] Pellissetti M F, Pradlwarter H J, Schuéller G I. Relative importance of uncertain structural parameters, Part II: applications[J]. Computational Mechanics, 2007, 40(4): 637-649.

[3] Pradlwarter H J, Schuéller G I.Uncertain linear structural systems in dynamics: efficient stochastic reliability assessment[J]. Computers and Structures, 2010, 88(1): 74-86.

[4] Ghanem R G, Spanos P.Stochastic finite elements: a spectral approach[M]. Springer-Verlag, 1991.

[5] Knio O M, Najm H N, Ghanem R G.A stochastic projection method for fluid flow: I. basic formulation[J]. Journal of Computational Physics, 2001, 173(2): 481-511.

[6] Jensen H, Iwan H D.Response of systems with uncertain parameters to stochastic excitation[J]. Journal of Applied Mechanics, 1992, 118(5): 1012-1025.

[7] Iwan W D, Jensen H.On the dynamic response of continuous systems including model uncertainty[J]. Journal of Applied Mechanics, 1993, 60(2):484-490.

[8] Zhang J, Ellingwood B. Orthogonal series expansions of random fields in reliability analysis[J]. Journal of Engineering Mechanics, 1994, 120(12): 2660-2677.

[9] 李杰. 復合隨機振動分析的擴階系統方法[J]. 力學學報, 1996, 28(1):66-75.

LI Jie.The expanded order system method of combined radom vibration analysis[J]. Acta Mechanica Sinica,1996，28(1)： 66-75.

[10] Schenk C A, Schuéller G I. Buckling analysis of cylindrical shells with random geometric imperfections[J]. International Journal of Non-Linear Mechanics, 2003, 38(7): 1119-1132.

[11] Qu D, Xu C J.Generalized polynomial chaos decomposition and spectral methods for the stochastic stokes equations[J]. Computers & Fluids, 2013, 71(1): 250-260.

[12] 林家浩, 張亞輝. 隨機振動的虛擬激勵法[M]. 北京：科學出版社, 2004.