實數(shù)與近似數(shù)錯例剖析

杭永根

實數(shù)概念及其運算是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識，它在中考中始終占有一席之地，部分同學(xué)在解決這部分問題時常常出現(xiàn)這樣或那樣的錯誤，現(xiàn)對常見錯誤加以收集整理，希望能對同學(xué)們有所啟發(fā)，避免“重蹈覆轍”.

例1 ? 寫出一個有理數(shù)和一個無理數(shù)，使它們都是小于-1的數(shù)：_______、_______.

【剖析】本題對寫出的數(shù)有兩個要求：一是有理數(shù)和無理數(shù)各一個，二是它們都小于-1.錯解中前者忽視了第二個要求，后者忽視了第一個要求.

【點評】解答這類開放題，答案不唯一，一定要看清題意，弄清要求，這樣才能正確作答.

例2 ? 判斷下列各數(shù)哪些是準確數(shù)，哪些是近似數(shù).

（1） 一雙沒洗過的手帶有80 000萬個各種細菌.（ ? ? ?）

（2） 王明同學(xué)的身高為1.62米.（ ? ? ?）

（3） 杯子里有水30 ml.（ ? ? ?）

【錯解】都是準確數(shù).

【剖析】認為沒有“大概、大約、左右”這樣字眼的數(shù)據(jù)就是準確數(shù)，沒有考慮數(shù)據(jù)的實際意義，導(dǎo)致錯誤.

【正解】都是近似數(shù).

【點評】解此類題，不應(yīng)簡單地去找表示近似數(shù)的字詞，而應(yīng)仔細讀題，理解題目的背景，結(jié)合實際意義來確定數(shù)據(jù)是否近似數(shù).

例3 ? 判斷下列說法是否正確，正確的打“？菁”，錯誤的打“？菖”.

（1） 近似數(shù)3 000萬和3千萬的精確度相同.（ ? ? ?）

（2） 近似數(shù)1.5×104精確到十分位.

（ ? ? ?）

（3） 長城總長約為6 700 010米，精確到1 000米結(jié)果是6 700米.（ ? ? ?）

【剖析】對于用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)以為精確到哪一位就是看乘號前面的最后一位;對于帶有單位的數(shù)考慮了精確到哪個位置，但把后面的數(shù)位遺忘掉了，從而導(dǎo)致出錯.

【點評】近似數(shù)3 000萬應(yīng)該是精確到萬位，3千萬應(yīng)該是精確到千萬位，對于這類數(shù)，不能只看最后一個數(shù)在哪個數(shù)位，應(yīng)結(jié)合單位來確定精確到哪個數(shù)位;1.5×104應(yīng)是精確到千位，對于這類數(shù)可先將數(shù)據(jù)還原，然后看乘號前面的數(shù)最后一位位于還原后的數(shù)據(jù)中的哪一位，就是所精確到的數(shù)位;6 700 010米精確到1 000米的結(jié)果應(yīng)是6 700 000米或者6 700千米，這類數(shù)是求整數(shù)近似數(shù)，不能將精確到的那個數(shù)位后面的0省略掉.

例4 ? 有一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器，原理如圖，則當輸入的x為64時，輸出的y是（ ? ? ?）.

【錯解】當x=64時，算術(shù)平方根是8，故選A.

【剖析】輸入x后，取其算術(shù)平方根，若結(jié)果為無理數(shù)，則可輸出;若結(jié)果為有理數(shù)，則不可輸出，需將這個結(jié)果再輸入，直至是無理數(shù)為止，才可輸出.現(xiàn)在輸入的x為64時，其算術(shù)平方根是8，是有理數(shù)，不能作為結(jié)果;再輸入，其算術(shù)平方根是，是無理數(shù)，符合要求，可輸出.

【正解】選B.

【點評】本題通過數(shù)值轉(zhuǎn)換器給出計算程序，考查實數(shù)的運算.解題的關(guān)鍵是弄清圖形中給出的有關(guān)信息，正確判斷運算的結(jié)果是否符合輸出數(shù)的要求，若不符合，還需再次輸入，直至滿足要求后才能輸出.

例5 ? 計算：（1）

【錯解】（1） 原式=6+8=14;

（2） 原式=13-5=8.

【剖析】符號“”代表開平方，也起著括號的作用，對于這類被開方數(shù)是加減運算形式的計算題，要先進行根號內(nèi)的運算.

【正解】（1） 原式=0;

（2） 原式

【點評】一定要注意

例6 ? 在數(shù)軸上找到表示的點.

【錯解】∵≈3.16，∴在數(shù)軸上表示的點如圖1所示.

【剖析】未審清題意，將無理數(shù)取了近似數(shù)后在數(shù)軸上標出大致位置，導(dǎo)致出錯.

【正解】在數(shù)軸上以3和1為直角邊作直角三角形，如圖2，則斜邊為再以0點為圓心，為半徑畫弧交數(shù)軸于點A，則點A就是數(shù)軸上表示數(shù)的點.

【點評】解這類題，要先考慮被開方數(shù)是哪幾個完全平方數(shù)的和，例如本題被開方數(shù)10等于1和9的和，就能以它們的算術(shù)平方根1和3為邊構(gòu)造直角三角形，根據(jù)勾股定理可知斜邊即為，再借助圓規(guī)畫弧，在數(shù)軸上找到要求的點的位置，解題時要注意保留作圖痕跡.

例7 ? 設(shè)的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，求（a+b）2+（-b）2的值.

【錯解】∵ ≈18.57，∴a=18，b=0.57，

∴（a+b）2+（-b）2=18.572+182=668.844 9.

【剖析】對于無理數(shù)的意義認識不夠，錯將無理數(shù)用近似數(shù)表示，導(dǎo)致小數(shù)部分出錯.

【正解】∵182=324，192=361，

∵324<345<361，∴18<<19，

∴a=18，

∴原式=（a+b）2+a2=（）2+182=669.

【點評】對于無理數(shù)的估算，先要找出與被開方數(shù)最為接近的兩個完全平方數(shù)，以此確定無理數(shù)的整數(shù)部分，原數(shù)減去整數(shù)部分即為小數(shù)部分，不能用近似數(shù)直接取代無理數(shù).

（作者單位：江蘇省興化市戴澤初級中學(xué)）