剖析錯因 前車可鑒

陸軍榮

初學(xué)勾股定理時，常易犯各種各樣的錯誤.下面選擇幾例，供大家參考和反思，讓同學(xué)們在今后的學(xué)習(xí)中不犯或少犯這類錯誤.

一、 思路僵化不變通

例1 ? 等腰三角形ABC中，AB=AC=20，底邊BC=24，求AB邊上的高CH.

【錯誤解答】因為CH是三角形的高線，在Rt△ACH和Rt△BCH中，由勾股定理得：AC2-AH2=CH2，BC2-BH2=CH2，于是有202-AH2=CH2，242-BH2=CH2，到此無法得出CH的長.

【錯誤剖析】借助圖形，在兩個三角形中用勾股定理是正確的，但是最后為什么沒有辦法得出答案，是因為AH 和BH的長都不知道，未知量太多.既然有兩個未知量，那么能否找到它們之間的關(guān)系呢？

【正確解答】方法一：設(shè)BH=x，那么AH=20-x，以CH2為橋梁，可得方程202-（20-x）2=CH2，

242-x2=CH2，

202-（20-x）2=242-x2，

x=14.4.

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方法二：根據(jù)三角形的高線聯(lián)想到三角形的面積，先作底邊上的高，由勾股定理求出底邊的高線長，得到三角形的面積，再根據(jù)等積法，求出CH的長度.

如圖2，過A點作AD垂直BC于D點，

因為AB=AC，

所以BD=DC=12，

在Rt△ADC中，根據(jù)勾股定理得，

AC2=CD2+AD2，

202=122+AD2，

所以AD=16.

所以CH=19.2.

【點評】題目有多個未知量時，要準(zhǔn)確設(shè)出未知數(shù)，根據(jù)它們之間的數(shù)量關(guān)系，表示出其他的量，然后根據(jù)題目中的等量關(guān)系列方程.需要開闊思路，靈活轉(zhuǎn)化.

二、 漏用逆定理

例2 ? 如圖3，在C港有甲、乙兩艘漁船，甲船沿北偏東60°方向以每小時8海里的速度航行，乙船沿南偏東以每小時15海里的速度航行，2小時后，甲船到M島，乙船到P島，兩島相距34海里，求乙船航行的方向.

【錯誤解答】由題意可知，甲船航行距離16海里，乙船航行距離30海里，根據(jù)勾股定理可以求出MP=34，所以△MCP是直角三角形，∠MCP=90°，得到乙船沿南偏東30°的方向航行.

【錯誤剖析】這道題的答案是正確的，但是解題過程是錯誤的，因為運用勾股定理的前提是直角三角形.對勾股定理概念理解不深刻，而忽視對三角形的形狀進行判定.當(dāng)題目沒有指明直角三角形時，需要先根據(jù)三邊的數(shù)量關(guān)系，運用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀.

【正確解答】由題意得：

CM=2×8=16（海里），

CP=2×15=30（海里），

∵在△CMP中，CM2=162=256，

CP2=302=900，PM2=342=1156，

∴PM2=CM2+CP2.

∴△CMP是直角三角形，∠MCP=90°，

180°-90°-60°=30°，

∴乙船沿南偏東30°的方向航行.

【點評】數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的學(xué)習(xí)包括概念學(xué)習(xí)、定理公式的學(xué)習(xí)以及解題學(xué)習(xí)三個方面.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念，要善于抓住它的本質(zhì)屬性，學(xué)習(xí)定理公式要抓住定理的內(nèi)在聯(lián)系、定理的適用范圍及類型，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)解題的實質(zhì)就是在熟練掌握概念與定理公式的基礎(chǔ)上學(xué)會解決矛盾.

三、 割補不當(dāng)

例3 ? 如圖4，已知在四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=2，CD=1.∠A∶∠C=1∶2，求BC和AD的長.

【錯誤解答】分析題意找到∠B=∠D=90°，聯(lián)想到勾股定理，連接AC，分別使用勾股定理，發(fā)現(xiàn)應(yīng)用勾股定理缺少一條邊，并且，條件中兩個角的比值無法使用，至此無法解決這個問題，陷入死胡同.

【錯誤剖析】根據(jù)兩個直角把四邊形用割的方法分成兩個直角三角形，但是不能充分運用條件∠A∶∠C=1∶2，所以分割不恰當(dāng)，那怎么辦呢？不妨用“補”的方法.

【正確解答】根據(jù)四邊形的內(nèi)角和公式和∠A∶∠C=1∶2，我們可以得出∠A=60°，∠C=120°，要用特殊角就要放入三角形中，從而想到延長AD，BC交于點M，如圖5，分別使用“直角三角形中，30°角所對的邊是斜邊的一半”，用兩個直角三角形邊的關(guān)系求出BC、AD的長.

【點評】割補法相當(dāng)于我們的加減法，要靈活運用，不要生搬硬套，才能巧妙解題.

四、 思維定勢致漏解

例4 ? 已知在△ABC中，AB>AC，AD是中線，AE是高.求證：AB2-AC2=2BC·DE.

【錯誤解答】如圖6，AE是三角形的高線，由此想到存在三個直角三角形，利用勾股定理表示出兩邊的平方，再用平方差公式就可以得到結(jié)論.

【錯誤剖析】由于題設(shè)中沒明確指出△ABC的形狀，也沒給出圖形，因此，這個三角形有可能是銳角三角形、直角三角形或鈍角三角形.所以高線AE既可以在三角形內(nèi)（如圖6），也可以在三角形外（如圖7），還可以與一邊重合（如圖8）.這三種情況都要考慮.而這里只證明了其中的一種情況，思維定勢作祟.

【點評】數(shù)學(xué)思維有習(xí)慣性，但是我們的思維不能固定不變，善于變化也是數(shù)學(xué)思維的特征.正確的思維定式是“先階段，后綜合;勤總結(jié)，多溫故”.

（作者單位：江蘇省常州市蘭陵中學(xué)）