一竅通時(shí)百竅通

劉春花

課本例題是一類特殊的練習(xí)題，它承載著體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想、揭示數(shù)學(xué)方法、規(guī)范思考過(guò)程的使命.那么如何將一道例題的作用發(fā)揮得“入木三分”呢？例題的變式與拓展就是一個(gè)有效方法.下面就以蘇科版八年級(jí)上冊(cè)第三章《勾股定理》中的一道例題為例，嘗試對(duì)它進(jìn)行變式與拓展，以幫助同學(xué)們達(dá)到學(xué)得“通”，用得“活”的目的.

一、 由“一棵樹”想到“一片森林”

如圖1，AD是△ABC的中線，AD=24，AB=26，BC=20，求AC.（課本第87頁(yè)例2）

【分析】在△ABD中，已知AB、AD及BD的長(zhǎng)可以判定△ABD為直角三角形，從而根據(jù)中垂線的定義可判斷AD即為線段BC的中垂線，再由中垂線性質(zhì)可得AC=AB.

【知識(shí)點(diǎn)】本題運(yùn)用了勾股定理的逆定理，中垂線的定義及性質(zhì).—— 一棵樹

【知識(shí)面】本題的目的是體會(huì)直角三角形與等腰三角形之間的密切聯(lián)系，把研究等腰三角形轉(zhuǎn)化為研究直角三角形.

——幾棵樹

【知識(shí)體】本題放入直角三角形中求線段的長(zhǎng).事實(shí)上初中階段求線段長(zhǎng)“放入”直角三角形是通法，不僅是勾股定理，還有三角函數(shù).——一片森林

二、 由“一棵樹”繁衍“幾棵樹”

變式一 ? 如圖2，在等腰△ABC中，AB=AC=26，BC=20，求BC邊上的中線AD的長(zhǎng).

【變式依據(jù)】將原題中的一個(gè)已知與結(jié)論互換.

【變式目的】（1） 感受變中不變.雖然題目有變化，但解決問題的脈絡(luò)不變.

（2） 加強(qiáng)知識(shí)點(diǎn)與知識(shí)面之間的聯(lián)系.通過(guò)該題明晰“等腰三角形與直角三角形間的密切關(guān)聯(lián)——高線”.

變式二 ? 如圖3，在△ABC中，AB=17，AC=10，BC=21，AD是BC邊上的中線.求AD的長(zhǎng).

【分析】要求線段AD的長(zhǎng)，可以將它“放入”一個(gè)直角三角形，利用勾股定理求得.那么是過(guò)A點(diǎn)還是D點(diǎn)構(gòu)造直角三角形呢？若過(guò)D點(diǎn)構(gòu)造，發(fā)現(xiàn)很難與已知條件建立聯(lián)系，若過(guò)A點(diǎn)構(gòu)造，則容易與已知產(chǎn)生關(guān)聯(lián)，因此，先嘗試過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，構(gòu)造直角三角形.

如圖4，發(fā)現(xiàn)可在Rt△ABE和Rt△ACE中利用勾股定理建立方程，（設(shè)CE=x，則BE=21-x，在兩個(gè)直角三角形中表示出AE2，得172-（21-x）2=102-x2，化簡(jiǎn)解得x=6），從而可求出線段AE、線段DE，最后再在Rt△ADE中利用勾股定理求出AD的長(zhǎng).

【變式依據(jù)】由特殊情況向一般情況轉(zhuǎn)化.

【變式目的】（1） 感受勾股定理的強(qiáng)大，在直角三角形中已知任意兩邊可求第三邊.

（2） 拓展思維，將特殊向一般轉(zhuǎn)化;形成解題策略，構(gòu)造直角三角形求線段長(zhǎng)是常用方法.

這種方法不僅在勾股定理的應(yīng)用上有價(jià)值，亦能影響后續(xù)三角函數(shù)的學(xué)習(xí).

對(duì)于學(xué)習(xí)，我們有著美好的愿望——一通百通.正如吳承恩《西游記》：“這猴王也是他一竅通時(shí)百竅通，當(dāng)時(shí)習(xí)了口訣，自習(xí)自練，將七十二般變化，都學(xué)成了.”若要想“百竅通”，那么就要先“一竅通”，若要“一竅通”，有效的方法是通過(guò)例題變式深入理解其精髓，掌握其數(shù)學(xué)思想方法，最終實(shí)現(xiàn)“活學(xué)活用”.

三、 自己“種樹”，試一試，變一變

1. 如圖5，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=9，AB的垂直平分線分別交AB、AC于點(diǎn)D、E.求AE、EC的長(zhǎng).

【分析】首先連接BE，如圖6，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得AE=BE，然后設(shè)AE=x，由勾股定理可得方程：x2=92+（12-x）2，繼而求得答案.

解：連接BE，

∵AB的垂直平分線分別交AB、AC于點(diǎn)D、E，

∴AE=BE，設(shè)AE=x，則BE=x，EC=AC-AE=12-x，

∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=9

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及勾股定理.此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用.

2. 感悟分享

嘗試精神：嘗試能成功，成功能創(chuàng)新.前面的路，不論是一馬平川還是千山萬(wàn)壑都要自己去走、去闖、去試，才使我們的生命更有意義.那么先從上一題的變式拓展開始嘗試吧！

3. 我的變式分享

【悟空七十二變之一】

如圖7，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AC的垂直平分線交BC于D，若BC=12，求BD的長(zhǎng).

【答案】BD=8.

（作者單位：江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)湖塘實(shí)驗(yàn)中學(xué)）