理解實數三注意

孫志兵

實數是數與代數的重要內容，是學習代數知識的基礎.要理解實數的有關知識，關鍵有三點：

一、 正確理解無理數的概念

我們知道，有理數和無理數統稱為實數.有理數是我們已經十分熟悉的知識，因此，要理解實數，關鍵是理解無理數.

無限不循環小數叫做無理數.這個定義告訴我們，無理數有三個特征：一是小數，二是無限，三是不循環的.現階段，無理數通常可分為三類：（1） 開方開不盡的數，如;（2） 有特殊意義的數，如π等;（3） 有一定規律但不循環的無限小數，如0.202 002 000 2…（每兩個2之間依次增加一個0）等.

例1 ? （2013·四川雅安）在實數，0.101 001 000 1…（每兩個1之間依次增加一個0）中，無理數有（ ? ? ?）.

A. 1個 B. 2個

C. 3個 D. 4個

【分析】判斷一個數的性質，要先化簡.

解：，所以本題中的無理數只有π，-2，0.101 001 000 1…（每兩個1之間依次增加一個0），故選C.

【點評】解答本題一定要明確無理數的概念，同時要注意像這樣的數，盡管帶根號，給人以無理數的感覺，但其結果為2，是一個有理數.

例2 ? 下列結論：①無限小數是無理數;②有限小數是有理數;③所有分數都是有理數;④無理數一定是無限小數.正確的有（ ? ? ?）.

A. 1個 B. 2個

C. 3個 D. 4個

【分析】根據有理數和無理數的概念來逐個判斷，對不正確的說法找出一個反例即可.

解：無限小數可能是循環的，如0.333…，也可能是不循環的，如1.414 114 111 4（每兩個4之間依次增加一個1），前者是有理數，后者是無理數，所以①不正確;有限小數都可以化為分數，所以有限小數是有理數，②是正確的;所有分數都是有理數，③正確;無理數是無限不循環小數，當然一定是無限小數，所以④正確.選C.

【點評】分數與有限小數和無限循環小數可以進行相互轉化，如果把整數看成是分數，則任何有理數都可以寫成分數的形式;而無理數則不可以寫成分數的形式，這是有理數與無理數的本質區別.在理解無限不循環小數時，要注意“循環”與“規律”的區別，例如，0.202 002 000 2…（每兩個2之間依次增加一個0），這里“每兩個2之間依次增加一個0”是一種“規律”，而不是“循環”，因此它是無理數;而0.304 304 304…不僅有規律——以“304”為一個“數節”，而且這個“數節”循環出現，即它是以“304”為循環節的無限循環小數，因此它是有理數.

二、 靈活運用實數與數軸上點的對應關系

我們知道，實數和數軸上的點是一一對應的.數軸形象地反映了數（實數）與形（圖形）之間的對應關系，實現了“數”與“形”的統一，它可以幫助我們加深對實數有關知識的認識.

例4 ? （2008·貴州遵義）如圖1，在數軸上表示實數的點可能是（ ? ? ?）.

A. 點P B. 點Q

C. 點M D. 點N

【分析】先估算的范圍，再根據實數與數軸上點的一一對應關系找出相應的點即可.

解：因為32=9，42=16，而9<15<16，所以3<<4，所以在數軸上表示實數的點可能是M，選C.

【點評】利用開平方的逆運算平方，估算出已知實數的大致范圍，是解決這類問題的關鍵.

例5 ? 實數a、b在數軸上的位置如圖2所示，化簡a+b+=_______.

【分析】由于實數與數軸上的點是一一對應的，因此可從數軸上觀察出a、b的符號及a與b的大小，然后進行化簡.

解：由圖知a<0，b>0，a>b，所以a+b<0，b-a>0，原式=-（a+b）+（b-a）=-a-b+b-a=-2a.

【點評】利用實數和數軸上點的對應關系，看出a、b的符號，a與b的大小，進而得出a+b和b-a的正負性是解題的關鍵.

三、 充分借助有理數的有關知識

將數集從有理數擴充到實數后，實數的相反數、絕對值、倒數等概念表示的含義與有理數類同;實數的運算在有理數運算的基礎上，又增加了無理數的運算，但無理數的運算是通過取近似值轉化為有理數來進行近似數運算的.因此，無論從概念，還是從運算，要學好實數的知識，必須充分借助有理數的有關知識.

例7 ? （1） （2015·山東青島）的相反數是（ ? ? ?）.

（2） （2015·四川自貢）化簡：-2=_______.

（3）（精確到0.01）.

【分析】（1） 利用相反數的概念求解;（2） 先判斷出-2的值的正負性，再根據絕對值的意義化簡;（3） 根據近似數運算的法則，取三位小數進行運算后，再四舍五入得到答案.

（3） 原式≈3.141-0.707+0.333=2.767≈2.77.

【點評】實數a的相反數是-a;求實數a的絕對值，必須先判斷a的性質符號，再按照有理數絕對值的求法來求解;在進行近似數的計算時，應注意中間過程的各數應取比題目要求的精確度多一位的小數來計算，最后結果再用四舍五入法取近似值.在書寫解題過程時要注意何時用等號，何時用約等號.

（作者單位：江蘇省泰州市白馬中學）