如何學(xué)好平方根

徐焱

平方根是《實(shí)數(shù)》這一章中的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，也一直是中考命題的一個(gè)熱點(diǎn)內(nèi)容.下面和同學(xué)們談?wù)勅绾螌W(xué)好平方根的有關(guān)知識(shí)，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考.

一、 學(xué)好概念是基礎(chǔ)

如果一個(gè)數(shù)x的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)x叫做a的平方根，記做x=± （a≥0）.正數(shù)a的正的平方根叫做a的算術(shù)平方根，記做 （a≥0），0的算術(shù)平方根是0. 平方根和算術(shù)平方根極易混淆，要弄清它們的異同點(diǎn)，謹(jǐn)防出錯(cuò).

例1 ? （1） （2015·湖北黃岡）9的平方根是（ ? ? ?）.

C. 3 D. -3

（2） （2015·山東濱州）數(shù)5的算術(shù)平方根為（ ? ? ?）.

【解析】（1） 根據(jù)平方根的定義，因?yàn)椋ā?）2=9，所以9的平方根為±3，選A.或由一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，故C、D都不對(duì)，又± 的平方根，B也不對(duì)，選A;

（2） （ ）2=5，所以選A.或由一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，其中正的那個(gè)平方根叫做算術(shù)平方根，可知C、D都不對(duì);25是5的平方，B明顯不對(duì);所以應(yīng)選A.

【點(diǎn)評(píng)】解決這類求一個(gè)正數(shù)的平方根或算術(shù)平方根的選擇題，可以從開平方是平方的逆運(yùn)算的角度來思考;也可以根據(jù)平方根或算術(shù)平方根的概念，用排除法來思考.

例2 ? （2015·四川涼山） 的平方根是（ ? ? ?）.

A. 9 B. ±9

C. 3 D. ±3

【解析】先求出 的值，再求其平方根.因?yàn)?=9，而9的平方根是±3，所以 的平方根是±3，選D.

【點(diǎn)評(píng)】不要誤認(rèn)為是求81的算術(shù)平方根而選A;還要注意 表示的是81的算術(shù)平方根，結(jié)果為9，不能誤認(rèn)為9或-9而選B;9的平方根為±3，不能誤認(rèn)為是3而選C.

上述兩例告訴我們：準(zhǔn)確理解概念是學(xué)好數(shù)學(xué)的前提，因此要重視概念的學(xué)習(xí)，這樣才能提高解題的正確率.

二、 活用性質(zhì)是關(guān)鍵

平方根具有以下性質(zhì)：（1） 正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù);（2） 零的平方根是零;（3） 負(fù)數(shù)沒有平方根.算術(shù)平方根具有兩個(gè)非負(fù)性：（1） 被開方數(shù)非負(fù);（2） 算術(shù)平方根非負(fù).

例3 ? （2014·廣東茂名）已知：一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根分別是2a-2和a-4，則a的值是_______.

【解析】由一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，可得到一元一次方程（2a-2）+（a-4）=0，進(jìn)而解得a=2.

【點(diǎn)評(píng)】解答本題要求深刻理解平方根的性質(zhì)，特別是一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，而互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的和為0.

例4 ? （2015·江蘇南京）若式子 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是_______.

【解析】式子 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則 ?表示的是x+1的算術(shù)平方根，根據(jù)算術(shù)平方根的被開方數(shù)非負(fù)，可得到x+1≥0，解出這個(gè)不等式，即可得到x的取值范圍是x≥-1.

【點(diǎn)評(píng)】解決這類問題分兩步：一是由算術(shù)平方根的被開方數(shù)非負(fù)，得到一元一次不等式;二是解一元一次不等式，得到字母的取值范圍.

例5 ? （2015·四川綿陽(yáng)）若 +2a-b+1=0，則（b-a）2015=（ ? ? ?）.

A. -1 B. 1

C. 52015 D. -52015

【解析】因?yàn)?≥0，2a-b+1≥0，而 +2a-b+1=0，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)有a+b+5=0，2a-b+1=0.解得a=-2，b=-3.∴（b-a）2015=（-3+2）2015=（-1）2015=-1，選A.

【點(diǎn)評(píng)】一個(gè)等式中如果有兩個(gè)未知數(shù)，要求其解，只能智取，不能強(qiáng)攻.本題巧妙運(yùn)用絕對(duì)值的非負(fù)性和算術(shù)平方根的非負(fù)性，分別求出x和y的值，再求代數(shù)式的值就容易了.

三、 綜合應(yīng)用是核心

將平方根和算術(shù)平方根與其他知識(shí)結(jié)合，形成難度適中的綜合題，是中考命題的一個(gè)趨勢(shì)，因此，在學(xué)習(xí)中要注意平方根和算術(shù)平方根與其他知識(shí)的綜合應(yīng)用，提高解決綜合題的能力.

例6 ? （2014·廣東廣州）若代數(shù)式 有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是（ ? ? ?）.

A. x≠1 B. x≥0

C. x>0 D. x≥0且x≠1

【解析】由分子中算術(shù)平方根的被開方數(shù)非負(fù)，得x≥0;由分母不能為0，得x≠1;要同時(shí)滿足兩個(gè)條件，則x≥0且x≠1，故選D.

【點(diǎn)評(píng)】這是算術(shù)平方根與分式知識(shí)綜合的問題，算術(shù)平方根中的被開方數(shù)必須非負(fù)，分母中的代數(shù)式不能為零，否則無意義.當(dāng)兩者同時(shí)出現(xiàn)時(shí)，解題的策略是分別求出各自的取值范圍，再找出其公共部分.

例7 ? （2014·山東萊蕪）已知x=2，y=1是二元一次方程組mx+ny=8，nx-my=1的解，則2m-n的算術(shù)平方根為（ ? ? ?）.

A. 4 B. 2

C. ? D. ±2

【解析】由于已知二元一次方程的解，可將其代入方程組中，即可得到關(guān)于m、n的方程組2m+n=8，2n-m=1.解方程組求出m、n的值m=3，n=2.再利用算術(shù)平方根定義可求出2m-n的算術(shù)平方根， =2，故選B.

【點(diǎn)評(píng)】此題既考查了二元一次方程組的解法，也考查了算術(shù)平方根的概念，其中能夠根據(jù)二元一次方程組的解求出m、n的值是解答此題的關(guān)鍵.

（作者單位：江蘇省興化市昭陽(yáng)湖初級(jí)中學(xué)）