輕松玩“轉”勾股定理

沈曉霞

轉化是將未知的問題轉化為已知的問題，把抽象的問題轉化為具體的問題，把復雜的問題轉化成簡單的問題.勾股定理研究的是平面直角三角形中三邊之間的關系，但在學習過程中時常會遇到立體圖形上的問題，這時就要考慮到運用轉化的思想，把立體圖展開成平面圖形，再利用平面幾何的知識進行求解.

例1 ? 如圖1所示，有一根高為2 m的木柱，它的底面周長為0.3 m，為了營造喜慶的氣氛，老師要求小明將一根彩帶從柱底向柱頂均勻地纏繞7圈，一直纏到起點的正上方為止，問小明至少需要準備多長的一根彩帶？

【分析】將一張直角三角形的紙片在鉛筆上纏繞七圈，將紙片展開，發現彩帶的長相當于直角三角形的斜邊長（如圖2），可以利用勾股定理求出彩帶的長.

解：∵BC為木柱的高，

∴BC=2 m.

又∵木柱的底面周長為0.3 m，

∴AC的長為0.3×7=2.1（m）.

在Rt△ACB中，由勾股定理，得AB2=AC2+BC2=22+2.12=8.41，=2.9.

因此彩帶的長為AB=2.9 m.

【點評】遇到一些空間問題時，可通過動手實際操作一下，建立實物模型，這是建立空間概念的良好訓練方法，而對實際問題進行分解、轉化是數學解題中常用的思路.

例2 ?如圖3，長方體的底面邊長分別為2 cm和4 cm，高為5 cm，若一只螞蟻從P點開始經過4個側面爬行一圈到達Q點，則螞蟻爬行的最短路徑是________cm.

【分析】要求立體圖形中的最短路徑首先要化曲為直，即將長方體側面展開成如圖4所示，則PA=2+4+2+4=12（cm），兩點之間線段最短，利用勾股定理便可解決.

解：PA=2+4+2+4=12（cm），

∵Rt△PAQ中，∠A=90°，

∴PQ2=PA2+AQ2，

∴PQ2=122+52=169，

∵PQ>0，∴PQ=13 cm.

【點評】很多數學新問題往往是通過形或數的逐步轉化，化歸為一個比較熟悉容易的問題，從而達到解決原問題的目的.

（作者單位：江蘇省常州市武進區湖塘實驗中學）