奇妙的圓錐曲線
——一道軌跡問題的探究

趙 莉

青海油田一中

奇妙的圓錐曲線
——一道軌跡問題的探究

趙 莉

青海油田一中

從兩個對立的圓錐上通過不同的截面截取之后，我們分別得到了三種圓錐曲線，這不能不讓人聯想到三種曲線存在著關系，果然在一道題目中我就發現了這種聯系。

例1已知點A，B的坐標分別是（-1,0），（1,0），直線AM，BM相交于點M，且直線AM的斜率與直線BM的斜率的差是2，求點M的軌跡方程。

這道題母的解答如下：

解：設直線AM.,BM的斜率分別為kAM和KBM

故可知點M的軌跡為拋物線y=1-x2(x≠±1)看似平常的解答好像沒有什么稀奇，但題目做到這里一個新的想法涌入我的腦海，出于好奇，我將題目作了以下改編：

例2已知點A，B的坐標分別是（-1,0），（1,0），直線AM，BM相交于點M。

直線AM和BM的斜率滿足下列條件時，求點M的軌跡。

（1)斜率之和為常數λ;

（2)斜率之商為常數λ;

（3)斜率之積為常數λ;

其中(λ為常數)解答如下：

(1)若kAM+kBM=λ

化簡后可得，

當λ≠0時，它表示雙曲線

當λ=0時，表示x軸

圖1是λ=1和-1時對應的雙曲線：

(2)若kAM/kBM=λ

故可知：當λ≠0時，表示和x軸垂直的直線；

當λ=0時，表示y軸

(3)若kAM?kBM=λ

化簡后得：

故對λ討論可得:

當λ=0時表示x軸；、

當λ?0時，表示焦點在x軸上，中心在原點

的雙曲線；

當λ?0時，若λ?-1，表示焦點在y軸上的橢圓；

若λ=-1，表示單位圓；若-1?λ?0時，表示焦

點在x軸上的橢圓。

通過以上四問的解答，我們通過求經過兩定點且相交于一定點的兩直線的斜率的和差積商，分別得到了拋物線，雙曲線，橢圓等三種圓錐曲線，這是一種巧合么，也許未必，仔細對比其與圓錐曲線的第一定義就不難發現這其中有著內在的聯系性，構造中都有一個焦點三角形的存在，或許據此其他的能夠求得其他得到圓錐曲線的方法，但這僅僅是一種猜想，或許還有待證明其正確性希望能夠得到大家的幫助。

一道題作畢，真是“加減乘除粉墨登場，圓錐曲線各領風騷”??！想起了關于數學的一個比喻，數學好比一棵樹，同根異干，同干異枝，同枝異葉，同葉異花，同花異果！奇異的數學之美，常常做這樣的嘗試，或許我們會在數學里找到屬于自己的樂趣！謝謝大家，以上純屬個人愚見，希望得到大家的點。