h-差分意義下H?lder不等式的證明及應用

肖志勇，任曉娜

1隴東學院數學與統計學院；2古戰九年制學校

h-差分意義下H?lder不等式的證明及應用

肖志勇1，任曉娜2

1隴東學院數學與統計學院；2古戰九年制學校

借助于普通意義下H?lder不等式的證明技巧,本文建立了h-差分意義下H?lder不等式.其次利用所建立H?lder不等式得到h-差分意義下的Cauchy-Schwarz不等式和Minkowski不等式.

h-差分分析；H?lder不等式；Cauchy-Schwarz不等式；Minkowski不等式

一、引言

差分方程理論是現在數學研究的一個重要分支,隨著差分方程在數學、工程及其他領域的廣泛應用[1-4],h-差分方程理論在近幾年得到廣泛關注[5],但是它的理論研究還很不成熟,有待于進一步探究.眾所周知，H?lder不等式在泛函分析及偏微分方程等學科中發揮著重要作用,盡管連續情形下H?lder不等式的理論研究已取得豐富成果[6-8],但對離散h-差分意義下H?lder不等式研究結論仍十分罕見.基于此本文將對離散h-差分意義下的H?lder不等式進行研究.

二、基礎知識及引理

以下給出h-差分基礎知識,見文獻[5]

對于給定實數h＞0.記：

對任意a,b∈Τ，a＜b，記離散區間：

對于定義在[a,b]Τ上的實函數f(t),定義其向前h-差分為

為了在下一部分證明離散h-差分H?lder不等式,我們先給出如下引理

三、主要結果

證明若f(t)≡0或g(t)≡0,t∈[a,b]Τ,則(3.1)式顯然成立.所以不妨設f,g在區間[a,b]Τ上不恒為0，則

定義非負函數

由引理2.1有

即有

在(3.2)式兩端同乘以

可得

證畢。

特別地,當定理3.1中p=q=2時,便可得如下h-差分Cauchy-Schwarz不等式.

定理3.2(h-差分Cauchy-Schwarz不等式)設f,g是定義在離散區間[a,b]Τ上的實函數,則

證明利用數學歸納法來證明（3.4）式.

（1）當n=2時，顯然成立（即為H?lder不等式）；

（2）假設當n=m時成立，即

成立.

由H?lder不等式有

由假設可知

將上式代入（3.6）式即得（3.5）式,結論得證。

接下來,我們利用H?lder不等式來推導h-差分意義下的Minkowski不等式

定理3.4(h-差分Minkowski不等式)設f,g為定義在離散區間[a,b]Τ上的實函數,則

即：

便得

即(3.7)式成立. 證畢。

兩邊同除以

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