一道“力電磁綜合題”幾乎“全軍覆沒”，ぴ因何在？

王俊　陳穆

高三復習到電磁感應這部分內容時，在一次練習中有一道“力電磁綜合選擇題”，學生解題結果出現驚人的一致性錯誤，全班幾乎“全軍覆沒”.通過與學生進一步深入交流、討論，筆者發現他們的解法看似有一定的道理，卻有著很深刻的隱蔽性錯誤，現一一分析如下：

圖1

原題呈現 如圖1，矩形裸導線框abcd的長邊長度為2L，短邊的長度為L，在兩短邊上均接有電阻R，其余部分電阻不計.導線框一長邊與x軸重合，左邊的坐標x=0，線框內有一垂直于線框平面的勻強磁場，磁場的磁感應強度為B.一質量為m、電阻也為R的光滑導體棒MN與短邊平行且與長邊接觸良好.開始時導體棒靜止于x=0處，從t=0時刻起，導體棒MN在沿x軸正方向的一拉力作用下，從x=0處勻加速運動到x=2L處.則導體棒MN從x=0處運動到x=2L處的過程中通過導體棒的電量為（ ）.

A. 8BL2 3R B. 4BL2 3R C. 2BL2 3R B. 2BL2 R

學生解法 因為導體棒MN將矩形線框分成MNab與MNcb兩個回路，那么通過MN棒上的電量即為兩個回路產生的電流分別通過導體棒MN電量之和，由法拉第電磁感應定律E= Δ Δt 且根據回路左右的對稱性得：

Q=2q=2I =2 Δ Δt · 1 2R ·Δt=2 Δ 2R = 2BL×2L 2R = 2BL2 R

因此，得出錯誤答案D.這就是幾乎所有學生得出的驚人一致的錯誤結果.

錯解分析 依據感應電動勢產生的機理可知，電磁感應可分為動生電磁感應和感生電磁感應，動生電動勢和感生電動勢統稱為感應電動勢.此題中，導體棒MN做切割磁感線運動，其實是動生感應產生的電動勢，其產生電動勢的本質是：作用在導體棒內部電荷上的洛侖茲力充當“搬遷”電荷的非靜電力（嚴格意義上講是洛侖茲力的一個沿棒的分力）.如果將導體棒左右回路作為兩個因磁通量變化而產生的電動勢就不是洛侖茲力“搬遷”的結果而是變化的磁通量產生渦旋電場形成感應電動勢及感應電流.但這兩種情況往往也是互通等效，結果總是統一的.因此，要正確解決這一問題，我們應該從這上述兩個角度去分析.

圖2

正確解法1 從導體棒切割磁感線產生動生電動勢角度分析：導體棒MN勻加速切割磁感線產生感應電動勢，相當于電源接入電路（如圖2所示的等效電路）.而棒從靜止以加速度a由左端勻加速到右端，則導體棒MN從x=0處運動到x=2L處的過程中在此過程中的平均速度v = 0+v 2 ，通過棒的電量等于平均電流與時間的乘積，即Q=I ·t，其中，I = BLv R總 = BL 0+v 2 3R 2 = BLv 3R ，而t= 2L 0+v 2 = 4L v ，

v為導體棒達到右端的速度， BLv 為導體棒整個運動過程中的平均動生電動勢，最終得出結論：

Q=I ·t= BLv 3R · 4L v = 4BL2 3R

這就是正確答案B.

正確解法2 從感生電動勢產生的機理來分析：

則應該將MadN與MbcN看成兩個獨立的回路，當導體棒MN做勻加速運動過程中，MadN的磁通量減小，MbcN的磁通量增大，那么這兩個獨立回路所產生的感生電流方向如圖3所示，它們產生的原因，可以將導體棒MN產生的電動勢等效為兩個電源的并聯結果，即圖3中的虛線框部分，兩電源分別與左右兩電路構成回路，注意由于棒MN的電阻為R，那么等效為兩個并聯電源的內阻應分別為2R，通過棒MN上的電量則應該是通過兩回路中的電量之和，即： Q=Q左+Q右=2Q左=2×I左t=2× BLv 2R+R · 2L v = 4BL2 3R

圖3

正確解法3 從相對運動角度來分析：

導體棒MN向右的勻加速運動可等效為棒MN不動，線框中的ad部分和cb部分（連同與它們連接的電阻）分別向左做初速為零的勻加速運動，則原電路可等效為如圖4的電路，其中ad部分和cb部分切割磁感線產生相同的電動勢E=BLv =BL 0+v 2 = BLv 2 ，且并聯，它們內阻皆為R，則通過MN的電流為I = E R總 = BLv 2 3R 2 = BLv 3R ，又T= 2l 0+v 2 = 4L v ，同樣得出結論：Q=I ·t= BLv 3R · 4L v = 4BL2 3R .

圖4

正確解法4 如果從楞次定律角度考慮：Q= Δ R總 = BL·2L 3R 2 = 4BL2 3R ，其中，Δ為棒MN掃過的面積所通過的磁通量.

通過分析比較，顯然第四種解法簡，其它解法也各有千秋.