底面為直角三角形的直三棱柱有關外接球半徑的結論

羅文軍

在歷年高考題中，出現過有關直三棱柱外接球的題，如2009年全國卷Ⅰ理科數學第15題和2010年全國新課標卷理科數學第10題.文[1]中給出了直角三角形內有關外接圓半徑的一些結論，筆者讀后受益匪淺.受該文啟發，筆者通過類比和聯想，得到了底面為直角三角形的直三棱柱有關外接球半徑的一些結論.現介紹如下，以供參考.

結論1 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=b，BC=a，AB=c，側棱AA1=d，CD、C1D1分別為AB和A1B1邊上的高線，球O、球O1、球O2分別為直三棱柱ABC-A1B1C1、ADC-A1D1C1和BDC-B1D1C1的外接球，其半徑分別為R、R1、R2，則[R21-（ d 2 ）2]+[R22-（ d 2 ）2]=R2-（ d 2 ）2.

證明 設三角形A1B1C1的外心為M1，

則O在底面A1B1C1上的射影是M1，

A1M1= c 2 ，OM1= AA1 2 = d 2 ，R2=A1M21+OM21=（ c 2 ）2+（ d 2 ）2，

在三角形ABC中， AD AC = AC AB ， AD b = b c ，AD= b2 c ，CD= AC·BC AB = ab c .

設N1為三角形A1D1C1的外心，

則O1在底面A1D1C1的射影是N1，A1N1= b 2 ， R21=A1N21+O1N21=（ b 2 ）2+（ d 2 ）2

同理可求得R22=（ a 2 ）2+（ d 2 ）2，

在三角形ABC中，根據勾股定理，a2+b2=c2，

[R21-（ d 2 ）2]+[R22-（ d 2 ）2]=（ b 2 ）2+（ a 2 ）2=（ c 2 ）2=R2-（ d 2 ）2

結論2 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=b，BC=a，AB=c，側棱AA1=d，CD、C1D1分別為AB和A1B1邊上的中線，球O、球O1、球O2分別為直三棱柱ABC-A1B1C1、ADC-A1D1C1和BDC-B1D1C1的外接球，其半徑分別為R、R1、R2，則 1 R21-（ d 2 ）2 + 1 R22-（ d 2 ）2 = 4 R2-（ d 2 ）2 .

證明 由結論1的證明過程可知R2=（ c 2 ）2+（ d 2 ）2.

設三角形A1D1C1的外心為N1，則O1在底面A1D1C1上的射影為N1，

在三角形A1D1C1中，sinA1= a c ，由正弦定理得2C1N1= C1D1 sinA1 ，

C1N1= c 2 2 a c = c2 4a ，R21=C1N21+O1N21=（ c2 4a ）2+（ d 2 ）2，

同理可求得R22=（ c2 4b ）2+（ d 2 ）2，

1 R21-（ d 2 ）2 = 16a2 c4 ， 1 R22-（ d 2 ）2 = 16b2 c4 ，

1 R21-（ d 2 ）2 +

1 R22-（ d 2 ）2 =

16c2 c4 = 16 c2 ，

而 1 R2-（ d 2 ）2 = 4 c2 ，所以

1 R21-（ d 2 ）2 +

1 R22-（ d 2 ）2 = 4 R2-（ d 2 ）2 .

結論3 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=b，BC=a，AB=c， 側棱AA1=d，CD、C1D1分別為∠ACB和∠A1C1B1的角平分線，球O、球O1、球O2分別為直三棱柱ABC-A1B1C1、ADC-A1D1C1和BDC-B1D1C1的外接球，其半徑分別為R、R1、R2，則[R21-（ d 2 ）2]+[R22-（ d 2 ）2]= 2[R2-（ d 2 ）2] （sinA+cosA）2 .

證明 由結論1的證明過程可知R2=（ c 2 ）2+（ d 2 ）2.

因為CD為∠ACB的平分線，根據角平分線

定理得，

AC BC = AD DB ， b a = AD c-AD ， AD= bc a+b ，BD=c- bc a+b = ac a+b ，

設N1為三角形A1D1C1的外心，則O1在底面A1D1C1的射影為N1，

由正弦定理得2A1N1= A1D1 sin∠A1C1D1 ，

A1N1= bc a+b 2 = bc 2 （a+b） ，R21=A1N21+（ d 2 ）2=[ bc 2 （a+b） ]2+（ d 2 ）2=[ bc 2 c（sinA+cosA） ]2+（ d 2 ）2

=[ b 2 （sinA+cosA） ]2+（ d 2 ）2.

同理可求得

R22=[ ac 2 （a+b） ]2+（ d 2 ）2=[ a 2 （sinA+cosA） ]2+（ d 2 ）2，

所以[R21-（ d 2 ）2]+[R22-（ d 2 ）2]= a2+b2 2（sinA+cosA）2 = c2 2（sinA+cosA）2 = c2 2 （sinA+cosA）2 = 2[R2-（ d 2 ）2] （sinA+cosA）2

[1]謝星恩.直角三角形內有關外接圓半徑的結論，數學通訊，2010（10）（下半月）.

（收稿日期：2015-06-22）