從高考題看平面向量數量積的考察類型及求解之道

王玉清

平面向量的數量積是平面向量的重要內容，教學大綱要求“掌握平面向量的數量積及其幾何意義，了解用平面向量的數量積可以處理有關長度、角 度和垂直的問題，掌握向量垂直的條件.”在江蘇高考考試說明中也是C級要求，與三角函數、解析幾何、數列、平面幾何等緊密相連.一般難度比較大.縱觀近幾年的高考試題，主要有以下幾種類型和求解方法.

一、簡單的數量積問題定義求解

平面向量的數量積的定義是：已知兩個非零向量 a與b 它們的夾角為θ，則數量積為 |a|·|b| cosθ.利用數量積的定義找向量模和夾角，此法稱為定義法.

例1 （2011年江蘇）已知 e1，e2 是夾角為 2 3 π的兩個單位向量， a=e1-2e2，b= k e 1+ e 2，若 a·b =0，則實數k的值為 .

解析 ∵ e 1· e 2=| e 1|·| e 2|cos 2 3 π=- 1 2 .

∴ a · b =（ e 1-2 e 2）·（k e 1+ e 2）=k e 21+（1-2k） e 1· e 2-2 e 22=2k- 5 2 =0即k= 5 4 .

評注 本題主要考查向量的數量積兼顧向量數量積的運算律.其實利用定義求向量的數量積關鍵是求出兩個向量的模及其夾角，這里面兩個向量的夾角容易弄錯，切記是通過平移使兩個向量共起點時所形成的角是兩個向量的夾角.

二、幾何圖形中的數量積問題求解

幾何圖形中的數量積求解問題一般有三個方向可考慮：一是利用平面向量基本定理找到一組合適的基底將某個向量進行線性轉化后再求解，此法稱為基底法；二是利用坐標計算，此法稱為坐標法.三是利用平面向量數量積的幾何意義，直接用投影的知識解題，或者利用幾何圖形性質解題，稱為幾何法.

1.基底法

基底法，即合理選擇一組基底（一般選取模和夾角均已知的兩個不共線向量），將所求向量均用

這組基底表示，從而轉化為這兩個基向量的運算.

圖1

例2 （2014年江蘇）如圖1，在平行四邊形ABCD中，已知，AB=8，AD=5，CP =3PD ，AP ·BP =2，則AB ·AD 的值是 .

解 AP ·BP =（AD +DP ）·（BC +CP ）

=（AD + 1 4 AB ）·（AD - 3 4 AB ）

=AD 2- 1 2 AB ·AD - 3 16 AB 2

=13- 1 2 AB ·AD =2，則AB ·AD =22.

評注 平面向量的基本定理是重要內容.借助基底，通過有效轉化，使運算量有所降低就能有效解決問題，這是解決此類問題的通性通法.但是選擇合適基底是一個重要環節，指導學生盡可能多的選擇和模、夾角聯系更緊密的向量.

2.坐標法

坐標法，即建立合理坐標系，求出向量所涉及點的坐標，利用向量的坐標運算解決.如下面的例題.

圖2

例3 （2012年江蘇）如圖2，在矩形ABCD中，AB= 2 ，BC=2，點E為BC的中點，點F在邊CD上，若AB ·AF = 2 ，則AE ·BF 的值是 .

解析 以A為坐標原點，AB邊所在直線為x軸，AD邊所在直線為y軸建立直角坐標系，則A（0，0），B（ 2 ，0），C（ 2 ，2），D（0，2）， E（ 2 ，1），設F（x，2），

∴AB =（ 2 ，0），AF =（x，2），

∴AB ·AF =（ 2 ，0）·（x，2）= 2 x= 2

所以x=1，AF =（1，2），AE ·BF =（ 2 ，1）·（1- 2 ，2）= 2 .

評注 當兩個向量的模或夾角不好求時，雖然題目中沒有坐標系，但可以建立直角坐標系，利用數量積的坐標運算，成功將幾何問題變成代數問題.

3.幾何法

利用數量積的幾何意義（向量的數量積等于一個向量在另一個向量上的投影和該向量的模的乘積）解題.如上例3也可以利用幾何法進行處理：

解析 由AB ·AF = 2 ，得|AB |·|AF |·cos∠FAB= 2 ，由投影的定義，得

|AF|·cos∠FAB=DF.

∵AB= 2 ，

∴DF=1，∴CF= 2 -1.

記AE 和BF 之間的夾角為θ，∠AEB=α，∠FBC=β，則θ=α+β.

又∵BC=2，點E為BC的中點，∴BE=1.

∴AE ·BF =|AE |·|BF |·cosθ

=|AE |·|BF |·cos（α+β）

=|AE |·|BF |（cosαcosβ-sinαsinβ）

=BE·BC-AB·CF

=1×2- 2 （ 2 -1）= 2 .

評注 本題圖形中有直角可以建立直角坐標系，求出各點坐標后求解.用坐標法求向量的數量積，也可以用線性表示法，但相對來說都比較復雜，若用幾何法就非常簡單.

三、隱含數量積的問題處理

1.“模”的問題

“模”的問題看起來是長度問題，但往往可以利用 a =| a |2被轉化成數量積問題解決.

例4 （2008年江蘇） a ， b 的夾角為120°，| a |=1，| b |=3，則|5 a - b |= .

解析 本小題考查向量的線性運算.|5 a - b |2=（5 a - b ）2=25 a 2-10 a · b+b 2=25×12-10×1×3×（- 1 2 ）+32=49，故|5 a - b |=7.

2.“垂直關系”的數量積問題

“垂直”問題通常可以借助對應向量的數量積為零轉化，有時在解析幾何中也能見到此法.

例5 （2013年江蘇）已知 a =（cosα，sinα）， b =（cosβ，sinβ），0<β<α<π.若| a - b |= 2 ，求證： a ⊥ b

證明 a - b =（cosα-cosβ，sinα-sinβ），則| a - b |2=（cosα-cosβ）2+（sinα-sinβ）2=2-2（cosα·cosβ+sinα·sinβ）=2，

即cosα·cosβ+sinα·sinβ=0，即 a · b =0，

則 a ⊥ b .

以上是結合歷年考查平面向量的數量積的高考題進行的分類，希望能幫助學生在遇到具體問題時，找到合理、恰當的方法，正確、快速地求解.方便學生理解掌握平面向量數量積的知識，從而提高學生的數學應變能力.