數(shù)學(xué)解題中謹(jǐn)防題目的“誤導(dǎo)”

管立芬

數(shù)學(xué)題目對(duì)解題思路的“誤導(dǎo)”一般有四種情況：

一、題型的“誤導(dǎo)”

例1 在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，BA1與對(duì)角面BB1D1D所成的角為（ ）.

A.30° B.45° C.60° D.90°

分析 這道題經(jīng)常出現(xiàn)在各種資料中，而且某市還將它作為一道高中畢業(yè)會(huì)考題.給出的標(biāo)準(zhǔn)答案是A，許多考生也選A，實(shí)際上這是一道錯(cuò)題，角不確定，沒(méi)有答案.為什么命題人和不少考生沒(méi)有發(fā)現(xiàn)問(wèn)題都選A呢？這就是“選擇題”這一題型的“誤導(dǎo)”.平時(shí)學(xué)習(xí)中得到經(jīng)驗(yàn)：選擇題可以通過(guò)取特例找到正確選項(xiàng).由于正方體是長(zhǎng)方體的特例，故此題把長(zhǎng)方體看成正方體也應(yīng)成立，從而選得A.

由此也說(shuō)明，選擇題是可以用特例排除選擇支，但一定要注意，特例不成立時(shí)一定是錯(cuò)誤的，成立時(shí)卻不一定正確.

二、圖形的“誤導(dǎo)”

例2 如圖1，直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=AA1=a，則點(diǎn)A到平面A1BC的距離是 .

分析 由于求點(diǎn)到平面的距離一般有兩種方法，一是直接做出點(diǎn)到面的垂線，再構(gòu)造三角形求垂線段的長(zhǎng)；二是利用棱錐體積變化來(lái)求解.此題圖是直三棱柱，許多學(xué)生想到用方法二：設(shè)點(diǎn)A到平面A1BC的距離是h，即三棱錐A-A1BC的高為h，由VA-A1BC=VA1-ABC，即 1 3 S△A1BC·h= 1 3 S△ABC·AA1，求h.

設(shè)BC=b，則S△A1BC= 1 2 BC·A1C= 2 2 ab，

S△ABC= 1 2 ab，∴h= 2 2 a.

做完后發(fā)現(xiàn)結(jié)果與BC長(zhǎng)無(wú)關(guān)，且有一定的計(jì)算量，可能這不是最佳方法.確實(shí)，從以上解法也看出，過(guò)A做AH⊥A1C于H，∵A1A⊥BC，AC⊥BC，∴BC⊥面A1C，∴面A1BC⊥面A1C，∴AH⊥面A1BC，故AH即A到面A1BC的距離.

在Rt△A1AC中，AH= AC·A1A A1C = a2 2 a = 2 2 a.

出現(xiàn)以上“小題大作”的原因，一是解題心理作怪，總認(rèn)為間接法，有技巧性的思維方法總是先進(jìn)些，快捷些；二是圖的“誤導(dǎo)”，“誤導(dǎo)”我們的思路進(jìn)入第二種方法的樊籬.

圖1 圖2

例3 某汽車運(yùn)輸公司，購(gòu)買一批毫華大客車投入客運(yùn).據(jù)市場(chǎng)分析，每輛客車營(yíng)運(yùn)的總利潤(rùn)y（十萬(wàn)元）與營(yíng)運(yùn)年數(shù)x（x∈ N ）的二次函數(shù)關(guān)系如圖2所示，據(jù)此分析可判斷，欲使每輛客車其營(yíng)運(yùn)的年平均利潤(rùn)最大，則每輛客車應(yīng)營(yíng)運(yùn)的年數(shù)是（ ）.

A.4 B.5 C.6 D.7

分析 不少學(xué)生受圖2的“誤導(dǎo)”，圖2是一個(gè)拋物線，有最大值，而題目問(wèn)的也是最大值，故選C.

事實(shí)上C是錯(cuò)誤的.圖2中的最大值和題目中問(wèn)的最大值是兩個(gè)截然不同的值.從圖2可得函數(shù)關(guān)系式，設(shè)y=a（x-6）2+11（a<0）.將x=4代入得7=a（4-6）2+11，求得a=-1.

故y=-x2+12x-25，從而年平均利潤(rùn)

W= y x =-x- 25 x +12≤-10+12=2.

即年平均利潤(rùn)的最大值為20萬(wàn)元.

此時(shí)x= 25 x ，x=5，故選B.

對(duì)有圖形的問(wèn)題，一定要讀懂題意和圖意，充分利用圖形所給的信息來(lái)解題，不要被圖形所“誤導(dǎo)”.同時(shí)也告訴我們?cè)诮庥嘘P(guān)圖形問(wèn)題時(shí)，沒(méi)有給出圖形的話，一定要先正確畫好圖形，畫出一個(gè)直觀的圖形等于解決了問(wèn)題的一半，若圖形畫得不正確，或不直觀，則不僅難以讀懂題意，而且還容易被錯(cuò)圖誤導(dǎo)思路.

三、設(shè)問(wèn)的“誤導(dǎo)”

例4

圖3

如圖3，已知BB1、CC1是Rt△ABC所在平面同側(cè)的兩條相等且平行的斜線段，它們與平面ABC所成的角均為60°，線段BB1的端點(diǎn)B1在平面ABC上的射影M恰為BC的中點(diǎn).已知BC=2 cm，∠ACB=90°.求異面直線AB1與BC1所成的角.

分析 許多學(xué)生一看到求異面直線間的夾角，就想到平移法.將BC1平移，使B落在B1？落在A？或平移AB1，使得A落在B？落在C1？都難以得到一個(gè)很直觀易懂的圖形，更難以構(gòu)造出一個(gè)可解的三角形.于是望而卻步，難以求解.

事實(shí)上由B1M⊥面ABC，得∠B1BC=60°，∴BC=BB1，故四邊形BB1C1C為菱形，

BC1⊥B1C，又AC⊥BC，B1M⊥AC，所以AC⊥面BB1C1C，從而AC⊥BC1，BC1⊥面AB1C，BC1⊥AB1.故異面直線AB1與BC1所成的角為90°.

顯然這是一個(gè)借助線面垂直證明線線垂直，以求得兩異面直線之間的夾角的問(wèn)題. 為什么會(huì)出現(xiàn)前面的思維壁壘呢？一是由于頭腦中思維定勢(shì)的影響，求異面直線的夾角就只想到平移→構(gòu)造三角形→解三角形這一常規(guī)方法；二是設(shè)問(wèn)的“誤導(dǎo)”， 若此問(wèn)改為“求證BC1⊥AB1”或“證明異面直線AB1與BC1所成的角為90°”就可能不會(huì)出現(xiàn)思維壁壘了.

例5 已知函數(shù)f（x）=log2（1+x）+alog2（1-x）（a∈ R ）.

函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱的充要條件是什么？證明你的結(jié)論.

分析 首先想到該題是求中心對(duì)稱的問(wèn)題.設(shè)（x0，y0）是f（x）圖象上任一點(diǎn)，即y0=log2（1+x0）+alog2（1-x0），若圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即點(diǎn)（-x0，-y0）也在圖象上，也就是-y0=log2（1-x0）+alog2（1+x0），∴l(xiāng)og2（1+x0）+alog2（1-x0）=-log2（1-x0）-alog2（1+x0），∴（a+1）[log2（1+x0）+log2（1-x0）]=0.

由x0的任意性（x0∈（-1，1））得a+1=0，∴a=-1.

再證明f（x）=log2（1+x）-log2（1-x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

事實(shí)上，f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱的充要條件是f（x）為奇函數(shù)，即f（-x）=-f（x）.

故只要令f（-x）=-f（x），求得a=-1.

出現(xiàn)以上“繁解”的原因是由于概念不清，不會(huì)等價(jià)轉(zhuǎn)化.從而被設(shè)問(wèn)“誤導(dǎo)”所致.

四、條件的“誤導(dǎo)”

例6 若實(shí)數(shù)m，n，x，y滿足x2+y2=a，m2+n2=b（a≠b），則mx+ny的最大值為（ ）.

A. ab B. a+b 2 C. a2+b2 2 D. ab a+b

分析 由x2，y2，m2，n2，mx，ny，就想到均值不等式：x2+m2≥2mx，y2+n2≥2ny，相加得a+b≥2（mx+ny）.∴mx+ny≤ a+b 2 .故選B.

事實(shí)上以上解法是錯(cuò)誤的，這個(gè)最大值 a+b 2 取不到，因?yàn)槿粢〉奖仨毲皟蓚€(gè)不等式都取等號(hào)，即m=x，n=y，這樣就有a=b.與已知矛盾，出現(xiàn)這一錯(cuò)誤解法是由于已知條件與學(xué)過(guò)的知識(shí)相類似，從而“誤導(dǎo)”出現(xiàn)的.

此題可用三角代換來(lái)解，有興趣的可以試一試.

例7 首項(xiàng)是 1 25 ，從第10項(xiàng)開(kāi)始，每一項(xiàng)都比1大，則該等差數(shù)列的公差的取值范圍是 .

分析 由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an= 1 25 +（n-1）d，得a10= 1 25 +9d>1.

解得d> 8 75 .許多學(xué)生做到這里就完成了，填上d> 8 75 萬(wàn)事大吉.

其實(shí)這個(gè)結(jié)論只對(duì)了一半，題目說(shuō)“從第10項(xiàng)開(kāi)始，每一項(xiàng)都比1大”，言下之意還指出前9項(xiàng)都不超過(guò)1，即 1 25 +（n-1）d≤1（n≤9，n∈ N +），也就是d≤ 24 25（n-1） ，令n=9得d≤ 3 25 ，所以正確結(jié)果應(yīng)是： 8 75

例8 平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)到定直線的距離與它到定點(diǎn)的距離之比等于log32，那么動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（ ）.

A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.圓

分析 由于到定直線的距離與它到定點(diǎn)的距離之比就想到圓錐曲線的第二定義，由0

選A是錯(cuò)誤的，應(yīng)選B.利用圓錐曲線的第二定義，一定要注意比的順序，即到定點(diǎn)與到定直線的距離之比為常數(shù)e，題中的log32= 1 e ，由01，應(yīng)是雙曲線.

所以，審題一定要仔細(xì)，不要被個(gè)別詞語(yǔ)、式子的特點(diǎn)、數(shù)字的特征等表面現(xiàn)象“誤導(dǎo)”，要深挖已知條件和隱含條件.

從以上的分析看出，題目給予我們解題思路的“誤導(dǎo)”，過(guò)不在題意，有時(shí)可能還是命題者設(shè)的一個(gè)“陷阱”，其過(guò)在于我們自己，在于固有的知識(shí)，經(jīng)驗(yàn)和思維定勢(shì)的影響，以致沒(méi)能充分理解題意.所以在平時(shí)訓(xùn)練時(shí)，一定要加強(qiáng)思維靈活性的訓(xùn)練，充分理解題意，發(fā)掘出題中的隱含條件，避免“誤解”題意，陷入命題者所設(shè)埋伏圈中.