一道光學題的多種解法

華興恒

題目 某人身高1.7 m，為了測試路燈的高度，他從路燈正下方沿平直街道以1 m/s的速度勻速走開.某時刻他的影子長為1.3 m，再經過2s他的影子長為1.8 m.則路燈距地面的高度為多少？

圖1

分析 由路燈與人頭的連線與地的交點到人腳的距離，光不能到達而形成影子.根據題意，做出示意圖如圖1所示.

解法1 設路燈高為H，人高為h.由于光在同一種均勻的物質中是沿著直線傳播的，所以人站在A點時，AB段為光不能到達的區域，即為人的影長.根據題意知：AB=1.3 m，AF=h=1.7 m，CD=1.8 m.

∵AF∥OG，∴△BAF∽△BOG，

∴ AB OB = AF OG = h H ，亦即 AB OA+AB = h H ，

OA=（ h H -1）AB ①

當人以v=1 m/s的速度從A點運動2 s到達C點后，CD為人的影長.則根據題意有：

AC=vt=1 m/s×2 s=2 m.

∵CE∥OG，∴△CDE∽△ODG，∴ CD OD = CE OG = h H ， 亦即 CD OA+AC+CD = h H ，

OA=（ H h -1）CD-AC ②

由①、②兩式有：（ H h -1）CD-AC=（ h H -1）AB，則（ H h -1）（CD-AB）=AC

H=（ AC CD-AB +1）h=（ 2m 1.8m-1.3m +1） ×1.7 m=8.5 m.

即路燈的高度為8.5 m.

解法2 如圖1所示，連接EF交OG于I.

∵EF∥BD，∴△GEF∽△GDB，

∴ FE BD = GF GB ③

又∵IF∥OB，∴△GIF∽△GOB

，∴ GI GO = GF GB ④

由③、④兩式得： GI GO = FE BD ，

而GI=H-h，GO=H，EF=AC=2 m，BD=CD+BC=AC-AB+CD=2 m-1.3 m+1.8 m=2.5 m.

則 H-h H = AC BD ，H= BD BD-AC h= 2.5m 2.5m-2m ×1.7m=8.5 m.

即路燈的高度為8.5 m.

解法3 因為人是勻速前進的，因此其影長的變化量也必是均勻的.由題意可以求出人影長每秒鐘增加的速度為：Δv= S2-S1 t = 1.8m-1.3m 2s =0.25 m/s.

當人的影長為1.3 m時，人離路燈的水平距離為：OA=vt′=1 m/s× 1.3m 0.25 m/s =5.2 m.

以題意則有： H h = OB AB = OA+AB AB ，則H= OA+AB AB h= 5.2 m+1.3 m 1.3 m ×1.7 m=8.5 m.

即路燈的高度為8.5 m.

解法4 因AC=vt=1 m/s × 2 s=2 m.則由三角函數的知識有：

H OB =tanα= h AB ，則 h AB = H OB = H OA+AB ，即 1.7m 1.3m = H OA+AB

h CD =tanβ= H OD ，則 h CD = H CD = H OA+AC+CD ，即 1.7 m 1.8 m = H OA+2 m+1.3 m

聯立以上兩式解之得：H=（ 2 m 1.8 m-1.3 m ） ×1.7 m=8.5 m.

即路燈的高度為8.5 m.

解法5 （由直角三角形的知識知：當“影長=身高”時，則有：燈高=影子的頭端到燈正下方的距離，而影子的頭端到燈正下方的距離=人走開的距離+影長.）

設人經過t秒鐘后的影子長為1.7 m，則據題意有： h t = 1.8 m-1.3 m 2 s ，故此得：

t= 1.7m 0.5 m ×2 s=6.8 s.

此時人走開的距離為s=1 m/s × 6.8 s=6.8 m.

則燈高H=6.8 m+1.7 m=8.5 m.

練習 一位1.6 m高的人以1 m/s的速度從一盞路燈下向前走去，6 s后此人在地面上的影長為1 m，則該路燈在頭頂上多高的位置？（9.6 m）