例談高中物理“等時圓”模型的應用

朱宗奎

在高中物理學習中，學生若能在理解的基礎上記住了一些物理模型或“二級結論”，可 以幫助學生提高解決高中物理問題的效率和準確性。本文主要介紹高中物理中的等時圓模型及其應用.

一、“等時圓”等時性介紹

1.如圖1所示，若小球從圓上的頂端A點沿光滑的弦軌道由靜止開始滑下，則小球滑到弦軌道與圓的交點的時間都相等，且都等于小球沿豎直直徑做自由落體運動的時間，即：

tO= 2d g = 4R g =2 R g ，其中R為圓的半徑.

2.如圖2所示，若小球從圓上的各個位置沿光滑弦軌道由靜止開始滑下，則小球滑到圓的底端B點的時間都相等，且都等于小球沿豎直直徑做自由落體運動的時間，即： tO= 2d g = 4R g =2 R g ，

其中R為 圓的半徑.

圖1 圖2

二、“等時圓”等時性的推導

如圖1所示，已知圓的半徑為R，A為圓的頂點，某物體從A點由靜止開始沿光滑弦軌道下滑，光滑弦軌道與水平方向的夾角為α.由牛頓第二定律得，物體沿光滑弦軌道做勻加速直線運動的加速度為：a=gsinα，位移為：s=2Rsinα，所以運動時間為：

tO= 2s a = 4Rsinα gsinα =2 R g

（2）如圖4，設粒子在第n層磁場中運動的速度為vn，軌跡半徑為rn（各量的下標均代表粒子所在層數(shù)，下同） 圖4

nqEd= 1 2 mv2n-0 ⑤

qvnB= mv2n rn ⑥

粒子進入第n層磁場時，速度的方向與水平方向的夾角為αn，從第n層磁場右側邊界穿出時速度方向與水平方向的夾角為θn，粒子在電場中運動時，垂直于電場線方向的速度分量不變，有

vn-1sinθn-1=vnsinαn ⑦

由圖5可得：

rnsinθn-rnsinαn=d ⑧

由⑥⑦⑧式得： 圖5

rnsinθn-rn-1sinθn-1=d ⑨

由⑨式看出r1sinθ1，r2sinθ2，…， rnsinθn為一等差數(shù)列，公差為d，可得：

rnsinθn=r1sinθ1+（n-1）d ⑩

當n=1時，由圖5看出

r1sinθ1=d B11

由⑤⑥⑩B11式得：

sinθn=B nqd 2mE B12

（3）若粒子恰好不能從第n層磁場右側邊界穿出，則θn= π 2 ，sinθn=1.

在其他條件不變的情況下，換用比荷更大的粒子，設其比荷為 q′ m′ ，假設能穿出第n層磁場右側邊界，粒子穿出時速度方向與水平方向的夾角為θn′，由于 q′ m′ > q m ，則導致sinθn′>1，說明θn′不存在，即原假設不成立，所以比荷較該粒子大的粒子不能穿出該層磁場右側邊界.

思維拓展 粒子恰好不能從第n層磁場右側邊界穿出時，粒子的運動軌跡恰好和磁場右側邊界相切，進而可推出θn= π 2 ，另外假設法是求解物理試題的一種好方法，當我們思路打不開時，可以大膽地采用假設法，假設法相當于多給題目增加一個條件，采用假設法往往獨辟蹊徑，柳暗花明.

平時遇到物理題目時，要展開聯(lián)想，對題進行拆分，對知識進行鋪墊，多練多想，時間久了就會水到渠成，碰到物理題時就不感覺那么難了.

所以，若物體從圓上的頂點A沿光滑的弦軌道由靜止開始滑下，滑到弦軌道與圓的交點的過程中，時間都相等，與弦軌道的長度、傾角均無關.

同理可證明上面圖2的等時性.

三、應用等時圓模型解典型例題

圖3

例1 如圖3所示，位于豎直平面內的固定光滑圓軌道與水平軌道面相切于M點，與豎直墻相切于A點，豎直墻上另一點B與M的連線和水平面的夾角為60°，C是圓軌道的圓心.已知在同一時刻，a、b兩球分別由A、B兩點從靜止開始沿光滑傾斜直軌道運動到M點；c球由C點自由下落到M點.則（ ）.

A.a球最先到達M點

B.b球最先到達M點

C.c球最先到達M點

D.c、a、b三球依次先后到達M點

解析 設圓軌道半徑為R，據(jù)“等時圓”模型結論有，

tO=2 R g ；B點在圓外，tb>ta，c球做自由落體運動tc= R g ；所以有tb>ta>tc.C、D正確.

例2 傾角為30°的長斜坡上有C、O、B三點，CO=OB=10m，在A點豎直地固定一長10 m的直桿AO.A端與C點間和坡底B點間各連有一光滑的鋼繩，且各穿有一鋼球（視為質點），將兩球從A點由靜止開始、同時分別沿兩鋼繩滑到鋼繩末端，如圖4，則小球在鋼繩上滑行的時間tAC和tAB分別為（ ）（取g=10 m/s2）

A.2s和2s B. 2 s和2 s

C. 2 s和4 s D.4 s和 2 s

圖4

圖5

解析 由于CO=OB=OA ，故A、B、C三點共圓，O為圓心.又因直桿AO豎直，A點是該圓的最高點，如圖5所示.兩球由靜止釋放，且光滑無摩擦，滿足“等時圓”條件.設鋼繩AB和AC與豎直方向夾角分別為α1、α2，該圓半徑為r，則對鋼球均有2rcosα= 1 2 gcosα·t2.

解得 t= 4r g ，鋼球滑到斜坡時間t跟鋼繩與豎直方向夾角α無關，且都等于由A到D的自由落體運動時間.代入數(shù)值得t=2 s，選項A正確.

例3 如圖6所示，AB是一個傾角為θ的輸送帶，P處為原料輸入口，為避免粉塵飛揚，在P與AB輸送帶間建立一管道（假設其光滑），使原料從P處以最短的時間到達輸送帶上，則管道與豎直方向的夾角應為多大？

圖6 圖7

解析 借助“等時圓”理論，可以以過P點的豎 直線為半徑做圓，要求該圓與輸送帶AB相切，如圖7所示，C為切點，O為圓心.顯然，沿著PC弦建立管道，原料從P處到達C點處的時間與沿其他弦到達“等時圓”的圓周上所用時間相等.因而，要使原料從P處到達輸送帶上所用時間最短，需沿著PC弦建立管道.由幾何關系可得：PC與豎直方向間的夾角等于θ/2.

圖8

例4 如圖8所示，圓弧AB是半徑為R的1/4圓弧，在AB上放置一光滑木板BD，一質量為m的小物體在BD板的D端由靜止下滑，然后沖向水平面BC，在BC上滑行L后停下.不計小物體在B點的能量損失，已知小物體與水平面BC間的動摩擦因數(shù)為μ.求：小物體在BD上下滑過程中，重力做功的平均功率.

解析 由動能定理可知小物體從D到C有WG-μmgL=0，所以WG=μmgL，由等時圓知識可知小物體從D到B的時間等于物體從圓周的最高點下落到B點的時間，即為t= 4R g ，所以小物體在木板BD上下滑過程中，重力做功的平均功率為P= WG t = μmgL 2 g R .

以上只是平時所見到幾例習題，由以上幾例不難看出，只要學生心中建立了等時圓模型，可以極大地提高學生解決這一類物理問題的效率和準確性.