高中生物學教學中常用的數學原理

梁愈

一、函數原理

1.正比例函數

例1 調查某草原的田鼠數量時，在劃定的1ha的調查區內，設置100個捕鼠籠，一夜間捕獲田鼠32只，將捕獲的田鼠經標記后在原地釋放.數日后，在同一地方再放置同樣數量的捕鼠籠，這次共捕獲30只，其中有上次標記的個體10只.請回答下列問題：

（1） 求該地區田鼠種群的個體總數.

（2） 若某種群有成鼠a頭（計算時作為親代），每頭雌鼠一生產仔16只，各代雌雄比例均為1∶ 1，則從理論上計算，第n代產生的子代數是多少？

簡析 （1）第1個問題可利用重捕標志法，根據樣本來估計待查區田鼠種群的個體數.標志重捕法的理論依據是數學中的正比例函數.

設該地區田鼠種群總數為y，第一次捕獲的數量

為x只（全部標志再放掉），第二次再捕獲的數量

為a只，其中帶標志的有b只，有 y x = a b ，因為 a b 為定值，所以y是x的正比例函數，這也說明在某地區捕到的動物越多，該地區此種動物的量就越多.把a=30，b=10，x=32分別代入y= a b x中，則y=96，即為該地區田鼠種群的總數.

（2）由題意可知，田鼠的增長量符合理想條件種群數量增長類型的“J”型曲線，“J”型曲線表示一個指數函數：Nt=N0λt，此函數反映的是理想條件下某種群的初始數量是N0，經過時間t后，以增長率λ連續增長達到的種群總數Nt的過程，得出

t=n，N0=a.因此，解題的關鍵是求出λ.由于一只雌鼠一生產仔16只，且各代雌雄比為1∶ 1，只有雌鼠才能產仔，即每只雌鼠一生都可產生8只雌鼠，故λ = 8，所以，Nn=a8n，即第n代產生的子代數為a8n.

2.極值問題

例2 在一個草原生態系統中，草為生產者，鼠是初級消費者，進入該生態系統的總能量為m.問在“草——鼠”食物鏈中，鼠從中獲得的能量至多為多少？

簡析 從數學角度看，鼠與草的能量關系是函數關系，如果以常數n代表能量傳遞效率，消費者營養級的數量為自變量x，則鼠獲得的能量可用函數表示：y=m·nx.n的取值范圍是：10%≤n≤20%，為大于或等于1的正整數.

3.單調性和單調區間問題

例3 在實驗條件下，測試某種恒溫動物離體細胞的呼吸強度E受溫度變化的影響，如圖1.

圖1

其結果正確的是（ ）.

簡析 這是事物的單調性和單調區間的關系問題.恒溫動物離體細胞的活性隨著溫度的升高而逐漸增強，到達最適溫度時酶的活性最強.隨著溫度的逐漸上升，當超過最適溫度時，酶的活性受到抑制，使之變性甚至失去活性.結合單調性和單調區間的關系，應當選擇C.

二、集合原理

圖2

例4 一對夫婦，男性為色盲患者，基因型為AaXbY，女子表現正常，基因型為AaXBXb，aa表示白化個體.求他們的子代患病的概率及子代患一種病的概率.

簡析 解此題的方法并非一種，如果采用幾何分析方法是最直觀、最簡便的.如圖2所示，可設這對夫婦所生子女為全集，記作I.子女中只患白化病或色盲的集合分別記為A、B.則A∩B為子 女中既患白化病又患色盲的概率，子女患病的概率為A∪B子代只患一種病的概率為 A+B-2（A∩B）.

（1） 子代患病的概率為：

P=AB=P白化+P色盲-P白化×P色盲=1/4+1/2-1/4×（1/2）=5/8

（2）子代只患一種病的概率為：

P=A+B-2（A∩B）=P白化+P色盲-2P白化×P色盲=1/4+1/2-2（1/4）×（1/2）=1/2

三、排列組合原理

例5 （2009年全國中學生生物學競賽理論試題第17題）一個二倍體物種，在A基因座位上有10個復等位基因，在B基因座位上有8個復等位基因；A、B兩個基因不連鎖，請問可能存在的基因型有幾種（ ）.

A.18種 B.1260種 C.80種 D.180種

簡析 假設當復等位基因為n個時，設復等位基因為A1、A2、A3……An.（1）以棋盤式表達之，設計棋盤式的行與列，分別表示雌配子和雄配子；

（2）將雌雄配子組合在一起構成合子的基因型.見下表：

A1 A2 A3 …… An

A1 A1A1

A2 A1A2 A2A2

A3 A1A3 A2A3 A3A3

…… …… …… …… ……

An A1An A2An A3An …… AnAn

（3）統計表2所示棋盤式中的合子基因型種類：1+2+3+…+n=n（n+1）/2（種），其中：

對角線上的純合子有n種.

雜合子有n（n-1）/2（種）.

（4）計算復等位基因數量： 由于A基因座位上有10個復等位基因，則基因型有：10（10+1）/2=55（種），雜合子有：10×9/2=45（種）.B基因座位上有8個復等位基因，則基因型有：8（8+1）/2 = 36（種），雜合子有：8×7/2 = 28（種）.

由于A、B兩基因不連鎖，則基因型組合有：55×36 = 1980種.兩組基因型均為雜合子的概率為45×28 = 1260種.因此，上述題目無正確答案.

四、歸納法原理

例6 基因型為Aa的豌豆連續自交.在圖3中，能夠正確表示其自交代數和純種占第n代個體比例關系的是（ ）

圖3

簡析 此類問題宜用數學歸納法對雜合子自交后代的概率進行推算，則F1的雜合子概率為1/2， 純合子的概率也為1/2.F2的雜合子概率為（1/2）2，直到Fn，雜合子的概率為（1/2）n，故純合子的概率為1-（1/2）n.在結合圖形中的生物學含義，選擇D.

五、二項式展開原理

例7 （2009高考廣東理綜卷20題）某人群中某常染色體顯性遺傳病的發病率為19%，一對夫婦中妻子患病，丈夫正常，他們所生的子女患病概率是（ ）.

A.10/19 B.9/19 C.1/19 D.1/2

簡析 本題目的隱含條件：題目中的研究對象是“某人群”，數量較多，且隨機婚配，符合遺傳平衡，解此題涉及到二項式展開原理.

妻子的基因型為AA或Aa，通過分析兩種基因型都可生出患病的孩子，直接計算后代的患病率，需要對兩種基因型進行計算，比較復雜，本題可以反向計算后代正常的概率，計算過程是：發病率為19%，即AA與Aa的基因型頻率之和是19%，正常的概率（即aa的基因型頻率）為81%，根據遺傳平衡定律（A、a的基因頻率分別用p、q表示），q2=81%，則q=9/10，由p+q=1，可以求得，p=1/10.丈夫正常，基因型為aa，妻子患病，基因型有AA或Aa，兩種可能，先求妻子基因型為Aa的概率，根據遺傳平衡定律可知，基因型為Aa的概率=2p×q=2×1/10×9/10=18%，但已經確定妻子是患者，因此，妻子的基因型為Aa的概率=（18%）/（19%）= 18/19，后代為表現正常（aa）的概率=1/2×18/19=9/19，所以這對夫婦所生子女患病的概率是10/19.

六、乘法加法原理

例8 對輕度智力低下（feeblemindedness）隱性基因雜合的雙親，若有4個孩子，其情形如下，問概率各為多少？（1）全不正常（2）全部正常（3）3個正常1個低能.

簡析 假定雙親的基因型為Ff，則各類型子女出現的概率是：

Ff × Ff

↓

1 4 FF 2 4 Ff 1 4 ff

3 4 正常 1 4 低能

各種情形的概率是：

（1） 全不正常：C04（ 1 4 ）4（ 3 4 ）0=（ 1 4 ）4= 1 256

（2） 全部正常：C44（ 3 4 ）4（ 1 4 ）0=（ 3 4 ）4= 81 256

（3）3個正常1個低能

C34（ 3 4 ）3（ 1 4 ）1=4（ 3 4 ）3（ 1 4 ）1=

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