模糊局部均值聚類分割法改進及其應用

劉 璐，吳成茂

（西安郵電大學 電子工程學院，陜西 西安710121）

0 引 言

由于圖像來源千差萬別，導致圖像像素分布具有多樣性，直接采用傳統模糊C－均值聚類算法很可能無法獲得其滿意的分割效果，其主要原因在于它利用像素灰度信息且未考慮像素與其周圍鄰域像素之間的關聯性［1－4］。為此，學者們提出具有一定抗噪性的二維或三維直方圖模糊C－均值聚類分割算法［5－7］，以及融入像素空間鄰域信息的改進模糊C－均值聚類分割方法［8－11］，但是，它不適合復雜圖像中目標和背景所占圖像比例相差懸殊的情形。為了進一步增強具有空間信息約束的模糊C－均值聚類分割算法的魯棒性和抗噪性，Krinidis等［12］提出了一種基于模糊局部信息C－均值聚類算法，其充分利用像素與其鄰域像素之間的空間信息和灰度信息，得到一種具有較強普適性的圖像分割算法，其分割性能優于現有眾多結合空間信息的模糊C－均值聚類分割算法，但是相比吳一全等［13］提出的新空間信息模糊C－均值聚類算法性能差。為了增強文獻 ［12］模糊局部信息C－均值聚類算法的抗噪性能和分割性能，公茂果等［14］提出了改進再生核空間的模糊局部信息C－均值聚類分割算法，其抗噪能力得到極大改善，并在醫學圖像［15］和遙感圖像［16］分割中得到了成功應用。通過對文獻 ［12，14］進行認真分析，發現模糊局部C－均值聚類算法的聚類中心迭代公式存在一定的理論缺陷，于是利用拉格朗日乘數法對模糊局部信息C－均值聚類目標函數求偏導并嚴格推導得到正確的隸屬度和聚類中心迭代表達式。實際圖例分割測試和比較結果表明修改后的表達式是正確的，同時對遙感圖像的分割驗證了本文獲得的模糊局部C－均值聚類算法具有一定潛在優勢。

1 模糊C－均值聚類

傳統模糊C－均值模糊聚類是一種非監督聚類方法，已廣泛應用模式識別與圖像處理等眾多領域。模糊C－均值聚類所對應的目標函數可表示為

式 中：c——聚 類 的 類 別 數，vk——區 域 的 聚 類 中 心，uki——x 屬于k 類區域的隸屬度。dki＝xi－vk2是內積矩陣范數，表示樣本點x 距聚類中心vk的歐氏距離。一般選取參數m 為1.5、2.0和2.5，常取2.0。隸屬度uki應滿足如下條件：

其隸屬度和聚類中心表達式為

利用式 （3）和式 （4）可實現模糊C－均值聚類。若算法終止并遵循最大隸屬度原則實現樣本歸類。

2 模糊局部C－均值聚類分割法

為了改善傳統模糊C－均值聚類分割圖像未考慮像素鄰域信息的不足，希臘學者Krinidis等［12］提出了一種新的具有魯棒性模糊局部信息C－均值聚類算法，充分利用像素與其鄰域像素之間的空間信息和灰度信息，無需人工參數選取，極大地增強了算法的實用性。

2.1 模糊局部C－均值聚類分割法算法

模糊局部信息C－均值聚類目標函數中含有模糊因子Gki，而權因子充分考慮像素與其鄰域像素之間空間信息和灰度信息，提高了對噪聲圖像分割的魯棒性。其聚類分割目標函數表達式如下

其中

式中：xi——中心像素，xj——鄰域像素， xj－xi2——鄰域像素到中心像素的歐氏距離，uki——像素xi屬于第k類區域的隸屬度，vk——第k 類的聚類中心，m 是模糊性加權指數。在滿足隸屬度uki之和為1的條件下，根據拉格朗日乘子法求目標函數Jm的極小值，文獻 ［12］給出的聚類中心和隸屬度矩陣結果

2.2 模糊局部C－均值聚類分割法問題分析與改正

通過對文獻 ［10］模糊局部C－均值聚類演算法分析發現，其隸屬度迭代式 （7）是按照如下目標函數

其中

利用拉格朗日乘子法求其偏導并且令偏導為零得到的。但是其聚類中心迭代表達式 （8）并不是根據目標函數 （9）運用拉格朗日乘子法求其偏導并且令偏導為零得到的，它是由傳統模糊C－均值聚類目標函數式 （1）運用拉格朗日乘子法求其偏導并且令偏導為零得到的，而理論上，模糊局部C－均值聚類算法的目標函數式 （9）是在傳統模糊C－均值聚類算法中的目標函數式 （1）的基礎上進行改進的，所以兩個迭代表達式相差甚大。這就導致了希臘學者所提出的聚類中心迭代式 （8）與其正確的目標函數式 （9）嚴重的不一致，下面將對其進行分析推導及改正。

利用拉格朗日乘子法建立新的無約束優化的目標函數為

對目標函數關于隸屬度uki求導并令其導數為零，即

化簡得

將式 （12）代入式 （11）解得

對目標函數關于聚類中心vk求導并令其為零，即

其中

解得

上述推導所得隸屬度迭代表達式 （13）與希臘學者的隸屬度迭代表達式 （7）一致，但是正確的聚類中心迭代式（14）與希臘學者的聚類中心迭代式 （8）有很大的差異，可以看出希臘學者沒有考慮到像素點x 的鄰域像素點xj對聚類中心的影響。從而進一步說明了聚類中心迭代式 （8）是不科學的。

3 核空間模糊局部C－均值聚類分割法

為了改善模糊局部信息C－均值聚類分割算法的分割精度和抗噪能力，我國學者公茂果等［14］提出了改進型核函數模糊局部C－均值聚類分割法。

3.1 核函數的引入

近年來，利用核函數將非線性規劃問題轉化成線性問題來求解是機器學習中的一個熱點，核函數的主要思想是：構造新的特征向量，將輸入低維空間映像到高維特征空間，從而使原輸入空間的非線性問題轉化為高維空間的線性問題。其定義如下

式中：x——輸入空間，Ф（x）——特征空間，Ф：x→Ф（x）是核函數導出的特征變換，一般情況下，變換函數Ф（x）要比核函數K（x，y）復雜的多。目前來說有很多種內核函數，不同的內核函數對于原始空間會產生不同的測度。高斯核函數是最廣泛應用之一。表達式為

式中：σ——尺度參數，σ表達式為

式中：di＝ xi－是像素xi到聚類中心的距離，是di的均值，聚類中心的值和di的均值d珚 的表達式分別為

3.2 核函數模糊局部C－均值聚類分割法

為了進一步增強圖像分割的抗噪能力，公茂果等［14］通過引入內核函數對模糊局部信息C－均值聚類算法進行改進，即核函數模糊局部C－均值聚類算法。基于核函數的聚類算法有很多優點：①對圖像的特征具有很好的適應性；②不需要先驗知識來確定各區域的拓撲結構；③對噪聲具有很好的抑制能力。文獻 ［14］所給的目標函數如下所示

式中：G′ki——新的模糊因子。模糊因子的公式

式中：uki——第x 個像素屬于第k 類區域的隸屬度，K（xi，vk）——核函數，wij——權模糊因子。文獻 ［14］給出的求目標函數Jm的極小值并所使用的隸屬度和聚類中心迭代表達式分別如下

其中

3.3 核函數模糊局部C－均值聚類分割法的分析與改正

對公茂果等的核函數模糊局部C－均值聚類所對應的聚類中心迭代式 （23）分析發現，它與模糊局部C－均值聚類算法中所求的聚類中心迭代式 （8）存在類似的錯誤，下面將對其進行分析推導及改正。

根據拉格朗日乘子法建立新的無約束優化聚類目標函數為

對目標函數關于隸屬度uki求導并令其導數為零，即

化簡得

將式 （28）代入式 （27）解得

對目標函數關于聚類中心vk求導并令其為零，即

解得

其中，Q1，ij和Q2，ij分別表示為

上述表達式 （30）與文獻 ［14］聚類中心表達式 （23）存在巨大差異，其中聚類中心表達式 （23）是核空間模糊C－均值聚類算法的聚類中心表達式，它與核空間模糊C－均值聚類分割算法的目標函數不吻合。針對本文所獲得的核空間模糊局部C－均值聚類所對應的隸屬度和聚類中心表達式 （29）和式 （30），本文根據分析與推導設計一種核函數模糊局部C－均值聚類分割算法如下：

步驟1 確定聚類數目c（2≤c≤n），窗口大小Ni，模糊指數m，設定終止迭代條件閾值ε。

步驟2 隨機初始化聚類中心。

步驟3 設定循環次數計數器r＝0。

步驟4 利用文獻 ［13］中相鄰像素權系數計算表達式計算權重因子wij值。

步驟5 利用式 （29）更新模糊隸屬度矩陣。

步驟6 利用式 （30）更新聚類中心。

4 實驗結果與分析

為了驗證本文所提出的圖像分割算法的有效性，本文在實驗運行環境為Matlab7.0，算法參數選取模糊因子m＝2，迭代誤差ε＝0.01，最大迭代次數Tm＝500的條件下，對人工合成圖像 （如圖1 所示）和復雜遙感圖像 （如圖2所示）分別添加概率為0.1，0.3的隨機椒鹽噪聲，以及均值為0且均方差分別為57 和80 的高斯噪聲，采用文獻［14］所建議的分割算法和本文所提出的分割算法對其進行分割測試。

圖1 （a）為人工合成圖像，圖1 （b）為其添加概率為0.3椒鹽噪聲干擾圖像，圖1 （c）為采用文獻 ［14］聚類算法分割結果，圖1 （d）為采用本文算法分割結果。由兩種聚類分割結果來看，兩種分割結果相近，將子圖1 （c）和子圖1 （d）相比較，其分割效果非常相似，差異很小，由此表明對于人工合成簡單對稱圖像采用文獻 ［14］所建議的算法和采用本文所提出的算法分割效果相當，表明本文所建議的分割算法是正確的。

圖1 30%椒鹽干擾圖像及其分割結果

圖2 （a）為遙感圖像，圖2 （b）為其添加概率為0.1的椒鹽噪聲干擾圖，圖2 （c）為采用文獻聚類算法分割結果，圖2 （d）為采用本文算法分割結果。由分割結果來看，兩種聚類分割結果明顯不同，通過對比子圖2 （c）和子圖2（d）的標識區域發現，子圖2 （d）所標注的長方形和橢圓區域顯然要比子圖2 （c）所標注的長方形和橢圓區域分割效果好，子圖2 （c）中對于顏色較深的地方并沒有有效的分割出來，子圖2 （c）所標注的正方形區域要相比較于子圖2 （d）所標注的正方形區域較好。總體來說采用本文聚類算法的抗噪性能比文獻［14］聚類算法更有一定的優勢。

圖3 （a）為篩子圖像，圖3 （b）為其添加均值為0且均方差為80 的高斯噪聲干擾圖像，圖3 （c）為采用文獻［14］聚類算法分割結果，圖3 （d）采用本文聚類算法分割結果。由兩種聚類分割算法所得結果來看，二者分割結果存在顯著差別，其中子圖3 （d）所標注的橢圓區域比子圖3 （c）所標注的橢圓區域分割的效果好，使得圖像輪廓更加完整。說明采用本文聚類算法的分割效果明顯優于采用文獻 ［14］的聚類方法分割效果。

圖2 10%椒鹽干擾圖像及其分割結果

圖3 10%高斯干擾圖像及其分割結果

圖4 （a）為遙感圖像，圖4 （b）是添加均值為0且均方差為57 的高斯噪聲干擾圖像，圖4 （c）為采用文獻［14］聚類算法分割結果，圖4 （d）為采用本文聚類算法分割結果。由兩種算法分割結果來看，二者分割結果存在一定的差異，其中子圖4 （d）所標注的長方形區域比子圖4（c）所標注的長方形區域分割效果好，子圖4 （c）所標注的長方形區域出現明顯的斷裂，不能保證分割圖像的完整性。另外，子圖4 （d）所標注的小正方形區域和大正方形區域比圖4 （c）所標注的小正方形區域和大正方形區域更加平滑連續。

綜合上述不同強度的椒鹽與高斯噪聲干擾遙感圖像的分割結果來看，本文所建議的核空間模糊局部信息C－均值聚類算法相比文獻 ［14］算法更適合強噪聲干擾圖像分割需要，并且表現出良好的抗噪性能。

圖4 5%高斯干擾圖像及其分割結果

5 結束語

本文針對模糊局部聚類算法的聚類中心迭代表達式與其聚類目標函數不一致的缺陷，對聚類目標函數采用拉格朗日乘子法重新推導并設計一種核空間模糊局部C－均值聚類分割算法，改善了模糊局部信息C－均值聚類算法的致命缺點即無法收斂至局部極小值點，使算法具有收斂性。相比文獻 ［14］中的算法，本文所提出的改進的模糊局部均值聚類分割法不僅提高了復雜遙感等圖像強噪聲干擾分割的抗噪能力，而且對于探討新的模糊魯棒分割算法具有積極的促進作用。

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