設備隨機故障條件下的經濟生產批量模型

方瀟珞，呂文元 FANG Xiao-luo, LV Wen-yuan

（上海理工大學 管理學院，上海200093）

(Management School, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai 200093, China)

0 引 言

經典的經濟生產批量（Economic Manufacture Quantity, EMQ） 模型通常簡單地默認生產過程一直完好，設備運行可靠，生產的產品均為合格產品。但是，實際情況并非如此理想。考慮到經典的EMQ 模型已與復雜的生產狀況相去甚遠，許多學者從客觀實際出發豐富了EMQ 的拓展研究。

主要研究方向有三點：其一，由于設備的磨損使得生產過程可能由受控狀態轉變為失控狀態，在失控狀態下生產出一定比例缺陷產品。Porteus[1]最早認識到生產過程可能發生劣化，進而生產出一定比例缺陷產品，研究發現小批量生產更經濟；同年，Rosenblatt 和Lee[2]做了類似研究，結論是該模型下的最優生產時間比經典EMQ 模型里的短；Lee 和Rosenblatt[3]假定生產過程劣化發生時間服從指數分布，考慮了對劣化生產系統的檢修，發現最優的檢查間隔期是相等的，給出了最優生產時間和檢查策略；在文獻[3]的基礎上，Lee 和Park[4]認為缺陷產品的售前返修費用明顯小于售后保修費用，通過考慮兩者的差異，研究了劣化生產系統的生產計劃和檢查策略的聯合優化問題；Hariga 和Ben-Daya[5]放寬了文獻[2]中劣化發生時間服從指數分布的假設條件，研究了生產過程劣化發生時間服從任意分布的EMQ 模型，推導出最小費用的自由邊界分布；Kim 和Hong[6]假設檢查只在生產結束后而不是在生產過程中進行；Wang[7]基于文獻[6]的檢查策略假設，指出當把失控狀態的生產系統修復到受控狀態所需的費用大于缺陷產品的費用時，文獻[2]模型中的最優生產時間未必總是比經典EMQ 模型的短。其二，設備可能發生隨機故障，迫使生產中止，影響嚴重。Groenevelt 等[8]首次在EMQ 模型中考慮設備隨機故障的影響因素，發現經濟批量變大且隨著故障率的增加而增加；隨后，他們[9]引入安全庫存，修正了文獻[8]的EMQ 模型；Makis 和Fung[10]研究了缺陷產品和設備故障對最優生產批量和檢查次數的影響；Chakraborty 等[11]對比研究了生產過程劣化和設備隨機故障共同影響下兩種檢查策略的最優生產批量；潘爾順和李慶國[12]改進了田口損失函數，建立了含返修和質量損失成本的EMQ 模型；呂文元和化彬[13]考慮了設備故障維修時間，研究了允許缺貨的EMQ 模型的生產計劃和檢查策略的聯合優化問題。其三，產品質量通常是衡量生產過程狀態的標準，但是Dorris 和Foote[14]研究發現由于檢驗員和儀器的原因，檢查錯誤是存在的，影響生產過程狀態的判斷和產品的質量，有必要考慮檢查錯誤對EMQ 模型的影響。檢查錯誤分為兩類：第Ⅰ類檢查錯誤是指把受控狀態的生產過程判定為失控狀態，誤判的合格產品重新進行修復；第Ⅱ類檢查錯誤是指實際處于失控狀態的生產過程沒有被檢測出，漏判的缺陷產品流入市場。Liou 等[15]和Makis[16]認為兩類檢查錯誤會嚴重影響產品質量，故將其引入EMQ 模型，修正了文獻[3]的模型；Yoo 等[17]從企業利潤最大化的角度，研究了兩類檢查錯誤共同影響下的EMQ 模型。

基于以上文獻，本文綜合考慮生產計劃、設備維修和質量控制三個方面，改進并建立更切合實際的EMQ 模型，研究了生產過程劣化、設備隨機故障及第Ⅱ類檢查錯誤共同影響下的生產計劃和檢查策略的聯合優化問題，目的是求得使單位時間內總費用期望值最低的最優經濟生產批量和檢查次數，為企業生產管理提供更有效的指導。

1 問題描述

圖1 每生產周期的生產—庫存狀態

本文所描述的生產系統與經典的EMQ 模型所描述的有相同之處又有其不同。首先是相同點：生產從庫存為0 時開始進行，經過生產時間Q/p結束。由于生產率p大于需求率d，所以庫存以p-（）d速率上升。在Q/p時，批量Q生產完成，庫存達到峰值，生產停止，庫存隨著需求率d開始下降。當庫存再次減少到0 時，開始下一次的生產，如此循環。與經典的EMQ 模型的不同點如下：

（1） 經典的EMQ 模型假設生產過程一直完好，生產的都是合格產品，但在實際生產中，由于設備不斷受到磨損，致使生產過程發生劣化，缺陷產品的出現不可避免。本文所描述的生產系統在每次生產開始時，生產過程都處于受控狀態，生產的產品均合格。在運行一段時間τ 后，生產過程可能轉變為失控狀態，如圖1 中“·”所示，此時開始生產出一定比例的缺陷產品。為了減少缺陷產品帶來的損失，在生產運行期間，對生產過程進行定期檢查，定期檢查如圖1 中“▍”所示，檢查次數為n，在沒有發生設備故障的生產周期中，第n次檢查在生產結束時進行來保證下一生產周期開始時設備處于受控狀態。一旦檢查發現生產過程處于失控狀態，立即對其進行修復，即生產過程重新回到受控狀態，并對缺陷產品進行返修。

（2） 產品質量通常是衡量生產過程狀態的標準，但由于檢驗員和儀器的原因，檢查錯誤是客觀存在的，檢查錯誤分為兩類：第Ⅰ類檢查錯誤是指把受控狀態的生產過程判定為失控狀態，誤判的合格產品重新進行修復；第Ⅱ類檢查錯誤是指實際處于失控狀態的生產過程沒有被檢測出，漏判的缺陷產品直接流入市場。本文考慮第Ⅱ類檢查錯誤的影響，部分缺陷產品沒有得到售前返修直接進入市場，以次充好的情況引起客戶抱怨，從而產生相應的缺陷產品的售后保修費用。

（3） 設備嚴重磨損直接導致故障停機，設備故障是隨機發生的，一旦發生故障，生產停止，并對其進行事后維修。因此，本文的假定條件如下：

（1） 考慮單臺生產設備上單一產品的單周期生產過程。

（2） 產品生產率p和產品需求率d為常量，且p＞d，生產是間歇的，需求是持續的。

（3） 生產過程劣化與生產系統隨機發生故障相互獨立。一般說來，生產過程劣化和設備隨機發生故障是相關的，由于對生產過程經常檢查，可以及時糾正生產過程的失控狀態，因此假定二者相互獨立是合理的。

（4） 檢查時間和檢查修復時間與生產運行時間相比可以忽略不計。

（5） 生產過程經過一個隨機時間τ 從受控狀態變為失控狀態，假定τ 服從參數為λc的指數分布。

（6） 被檢查出來的缺陷產品進行返修可再次投入消耗使用，在考慮第Ⅱ類檢查錯誤的情況下，有一定比例的缺陷產品被漏判，沒有得到返修而直接通過銷售進入市場，這部分缺陷產品會引起一筆售后保修費用。

（7） 生產系統空閑時，不發生劣化和故障。

根據以上描述和假設，該生產系統內的總費用一共包括六項：生產準備費用、庫存費用、生產過程的檢查費用、劣化生產過程的修復費用、缺陷產品的返修費用及保修費用、故障維修費用。研究的目的是通過建立模型找到滿足單位時間內總費用期望值TC*最低的最優生產批量Q*以及最優檢查次數n*。

2 模型建立

2.1 符號假設

d：需求率（個/天）；

p：生產率（p＞d，個/天）；

Q：生產批量（個）；

Cs：每次生產準備費用（元/次）；

h：單位產品單位時間的庫存費用（元/個/天）；

Cd：單位缺陷產品的售前返修費用（元/個）；

Cw：單位缺陷產品的售后保修費用（元/個）；

α：失控狀態時，生產缺陷產品的比例（%）；

β：第Ⅱ類檢查錯誤率（%）；

Ci：每次檢查費用（元/次）；

Cr：失控生產過程的修復費用（元/次）；

Cf：故障維修費用（元/次）；

n：每生產周期的檢查次數（次）；

τ：在每次檢修后生產過程由受控狀態轉變到失控狀態所經歷的時間（天）；

m：相鄰兩個檢查間隔期內生產缺陷產品數量（個）；

mf：設備發生故障的檢查間隔期內生產的缺陷產品數量（個）；

t：故障發生前，總的生產運行時間（天）；

Fd（t） ：t的分布函數；

fd（t）：t的概率密度函數。

2.2 建立模型

對于設備發生故障的生產周期，生產運行時間為t，生產周期的長度為pt/d。生產系統內的總費用一共包括六項：生產準備費用、庫存費用、生產過程的檢查費用、劣化生產過程的修復費用、缺陷產品的返修費用及保修費用、故障維修費用。各項費用如下列公式所示：

每生產周期的生產準備費用為：

每生產周期的庫存費用的期望值為：

故障發生前，已進行的檢查次數為「npt/Q」，則每生產周期的檢查費用的期望值為：

假定生產過程由受控狀態轉變到失控狀態的時間即劣化率服從參數為λc的指數分布，則每個生產檢查間隔期的修復費用的期望值為：

所以，每生產周期的缺陷生產過程的修復費用的期望值為：

假設設備發生故障的生產檢查間隔期的生產運行時間為Tf，則有：

設備發生故障前的每個生產檢查間隔期所生產的缺陷產品數量的期望值為：

所以，設備發生故障的生產檢查間隔期所生產的缺陷產品數量的期望值為：

考慮第Ⅱ類檢查錯誤率β，即缺陷產品漏判的概率為β，那么：

所以，由式（7）、式（8）、式（9） 可得每生產周期所生產的缺陷產品的返修及保修費用的期望值為：

每生產周期的故障維修費用為：

在一個生產周期中，如果設備沒有發生故障，那么生產運行時間為Q/p，周期長度為Q/d。則生產周期內各項費用如下列公式所示：

每生產周期的生產準備費用為：

每生產周期的庫存費用的期望值為：

每生產周期的檢查費用的期望值為：

每生產周期的缺陷生產過程的修復費用的期望值為：

每生產周期的缺陷產品的返修及保修費用的期望值為：

綜合上述式(1) 至式(16)，每生產周期的總費用的期望值為：

根據定義，每生產周期長度的期望值為：

每生產周期的單位時間內總費用的期望值為：

將式（17） 和式（18） 代入式（19），利用Matlab 等軟件以及優化算法，即可以求出滿足單位時間內總費用的期望值TC*最低的最優生產批量Q*以及最優檢查次數n*。

3 算例分析

應用一個算例來說明本文所建模型的有效性。假設生產過程劣化率、設備故障率分別服從參數為λc、λd的指數分布，具體參數取值如表1 所示：

表1 參數值

將表1 的參數值代入，利用粒子群算法進行求解，其計算結果如表2 所示。

分析計算結果可知：

（1） 當故障率λd和缺陷率λc一定時，單位時間內的總費用期望值TC*伴隨著第Ⅱ類檢查錯誤率β 的增大而明顯增大，最優檢查次數n*也增多。其中原因在于，第Ⅱ類檢查錯誤率β 的上升，意味著更多的缺陷產品沒有被檢測出來，跳過內部售前返修而直接流向市場，以次充好的情況加劇，引起更多客戶抱怨，因此企業需要承擔和支付的售后保修費用增加；為了降低第Ⅱ類檢查錯誤率β，一方面除了提高質檢人員的技能，更重要的方面是盡可能減少缺陷產品的生產數量，因此投入的檢查次數自然增多以保證生產過程盡可能處于受控狀態，檢查費用增加。由于生產的產品均投入消耗使用，經濟生產批量Q*和第Ⅱ類檢查錯誤率β 沒有明顯的正相關抑或負相關關系，經濟生產批量Q*在一定小范圍內維持穩定波動。

表2 模型的計算結果

（2） 當故障率λd和第Ⅱ類檢查錯誤率β 一定時，隨著缺陷率λc的增加，單位時間內的總費用期望值TC*和最優檢查次數n*都呈現正相關變化。其中原因在于，缺陷率λc的上升表明生產過程由受控狀態轉移到失控狀態的可能性變大，生產的缺陷產品數量增多，進而導致更多的缺陷產品的返修和保修費用；為控制生產過程不要轉移到失控狀態，必然要提高檢查次數，檢查費用增加以及修復失控狀態的生產過程的修復費用增加。由于生產的產品都用于消耗使用，經濟生產批量Q*和缺陷率λc沒有明顯關系，經濟生產批量Q*較穩定。

（3） 當缺陷率λc和第Ⅱ類檢查錯誤率β 一定時，隨著故障率λd的增加，經濟生產批量Q*和單位時間內的總費用期望值TC*也在增加，然而最優檢查次數n*基本不變。其中原因在于，故障率λd的上升是指設備發生故障停機的可能性變大，停機的次數增加意味著更多故障維修和設備重啟，增加了設備維修費用和生產準備費用；為了減少設備啟動次數，就要提高經濟生產批量，從而增加了庫存費用；當經濟生產批量Q*增幅不大時，生產運行時間基本相近，且缺陷率一定，故最優檢查次數n*不變，然而當經濟生產批量Q*的增幅較大，相應的生產運行時間自然延長，所以，最優檢查次數n*小幅增加也在情理之中。

這與實際的生產狀況相符，表明了本文模型的有效性。企業一方面要重視檢查錯誤的惡劣影響，嚴格控制，減少不必要的售后成本，保障企業信譽；另一方面要加強對設備的維護和保養，降低設備的缺陷率和故障率可以有效降低生產成本，幫助企業獲得更大收益。

4 結束語

本文研究了生產過程劣化、設備隨機故障及第Ⅱ類檢查錯誤共同影響下的不可靠生產系統。通過建立含生產過程劣化、設備隨機故障及第Ⅱ類檢查錯誤的定期檢查的單周期EMQ 模型，求得使單位時間內總費用期望值最低的最優經濟生產批量和檢查次數。算例分析的結果是：①隨著第Ⅱ類檢查錯誤率β 的上升，單位時間內的總費用期望值TC*明顯增加，最優檢查次數n*增加，對經濟生產批量Q*影響甚微；②隨著缺陷率λc的上升，單位時間內的總費用期望值TC*增加，最優檢查次數n*增加，經濟生產批量Q*未受影響；③隨著故障率λd的上升，單位時間內的總費用期望值TC*增加，經濟生產批量Q*增加，最優檢查次數n*基本不變。

未來還可以考慮檢查修復時間、設備更新等因素的影響，有待進一步研究。

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