關于《微積分》中級數教學的一些建議

張巖

【摘 要】 級數是《微積分》課程的重要內容之一，本文對數項級數的教學深入思考，提出一些建議。

【關鍵詞】 數項級數;收斂;發散

Some proposals on the teaching of series in differential and integral calculus

Yan Zhang

（Bei fang University of Nationalities， School of Mathematics and Information Science， Yinchuan， 750021）

【Abstract】The series is one of important context of differential and integral calculus. This paper presents some proposals on the teaching of series.

【Key Words】Series， convergence， divergence

【中圖分類號】G642.22 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2015）25-0-01

1、問題

我們知道用簡單表示復雜，用簡單認識復雜是人們認識事物的基本方法。《微積分》的研究對象是實函數。在這里，我想問大家一個問題：在你腦海中，能夠將圖像和表達式聯系在一起的函數有幾個：我相信每個人腦海里這樣的例子并不多。級數可以為我們認識函數提供一個新的視角。三角函數與多項式函數是我們熟知的函數。通過級數，我們可以用三角函數系來表示周期函數，這種表示揭示了一個深刻的物理學規律：任何一個周期信號均可表示為簡諧振動信號的疊加;通過級數，我們可以用多項式函數來逼近一般函數;級數還可以用來表示許多非常有用的非初等函數;級數還可用于近似計算，例如圓周率，自然對數的底數。由此可見，級數是《微積分》中一個重要的數學概念。

大多數《微積分》教材中均直接引入級數定義及收斂與發散的概念。我們認為這種寫法是極不自然的，不符合人們的認識規律。一個概念的引入應遵循人們認識事物的規律，從感性到理性，從直接到抽象，逐步深入。有限加法是人們熟知的運算，它具有加法的交換律、結合律、分析律。我們應該從有限加法引入級數的概念。為此，我們提出以下建議。

2、建議

建議一：“鋪陳布新”——通過有限和引入級數概念

首先我們回顧有限加法：

任給，我們知道

（運算封閉）;

（交換律）;

（結合律）;

（對乘法運算的分配律），

進而，對任意有限個數，上述運算規律依然成立。一個自然的問題：對一個數列，是否可以作和？怎樣作和？若可作和，是否滿足類似有限加法的運算規律？為此，我們引入級數定義：

定義1設是一數列，對它的各項用加號連接起來的表達式

（記為）

稱為數項級數，簡稱為級數;其中，稱為級數的通項。

注意到一個事實：上述定義僅僅給出級數的記號意義，并沒有實際的運算意義，因為我們僅僅是將數列的每一項用加號連接，可否作和我們并不知道。我們要賦予它運算意義，并研究它的運算規律。

建議二：“舉例說明”——通過例子引入收斂與發散。

例1：級數：

注意到：（目標為）;

（目標為），

若以來表示前項求和，則在例1中，，沒有確定目標，感覺不可作和。

例2：級數：

此時，在實數域中沒有目標，因而不可作和。

例3：級數：

此時，即在實數域中有確定目標，感覺可作和。

比較分析例1，例2，例3，我們可得到兩點認識：1）對級數而言，若在實數域中有確定目標，則可作和;若無確定目標，則不可作和;2）在級數求和過程中，，即：級數前項求和構成的部分和數列起著至關重要的作用。為此，我們引入收斂與發散的概念：

定義2：若級數的部分和數列收斂于，此時稱級數收斂，且和為，記為：;若發散，則稱級數發散。

定義2告訴我們：級數的斂散性取決于部分和數列的斂散性。

建議三：“層層深入”——考察級數的運算規律

在確定了級數是否可作和，即斂散性問題之后，我們自然地問：若級數可作和，是否有類似有限加法的運算規律？進一步，我們可類似地考察收斂級數的性質。

參考文獻

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[2]王向東.數學分析的概念與方法[M].上海科技文獻出版社，1989年.

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