應對“大轉型”政策的高等數學分類教學模式的統計定量研究

徐勇

摘 ?要：本文首先通過統計調查并結合層次分析法得到高校各代表性專業與高等數學主要知識點之間的關聯指標;繼而在關聯指標表的基礎上，對這些專業進行聚類分析;最后利用判別分析法，求得判別函數群，從而方便對專業進行科學的分類。該方法摒棄了過去類似分類問題中分類標準不明晰，分類過程不細致，分類方法不科學的缺陷，提出了嚴格的定量分析結果，使分類更具科學性和說服力。

關鍵詞：高等數學;分類教學模式;統計定量研究

注：本文受到湖北省教育廳科技處科學研究計劃資助項目“應對”大轉型“政策的高等數學分類教學模式的統計定量研究”（項目編號：B2015058）和湖北省教育廳思政處青年項目“高?！贝筠D型“背景下的高等數學分類教學模式的定量研究”（項目編號：15Q163）的資助。

一、引言

目前的高等數學分類教學改革歸結起來大致方針是按理工、財經類等學科劃分的分類教學。主要以專業特色和培養目標的考量為主。但沒有考慮同一科類眾多專業人才培養對公共數學的不同需求， 而且分類趨于粗放，不夠細致嚴謹。這種分類更側重于定性分析，而缺少定量分析。當專業特征區別很大時，分類的正確性尚能保證，當專業間特征區別不夠明顯時，這種定性分析顯然確少說服力和明晰的判別標準。

基于上述研究現狀，我們提出一種對該問題實現定量研究的思路。其核心思想可以分為三個模塊。模塊一：獲取高校各專業與高等數學各知識點的關聯指標表（需求度表）。模塊二：在關聯指標表的基礎上，對這些專業進行基于樣本的聚類分析，通過對聚類結果的分析，得到最佳的分類模式和具體的分類結果。模塊三：利用判別分析法，求得決定上述分類模式的判別函數群，通過對現有的分類結果的再檢驗來確定判別函數群的有效性。

二、獲取高校各專業與高等數學各知識點的關聯指標表

步驟1：確定每個專業中能對本項目調查問題有發言權的三大群體，并由層次分析法得到三個群體的權重。這里的三大群體第一類是社會企事業單位與該專業對口的職業人群;第二類是高等院校從事該專業教學的教師;第三類是該專業已學習了高等數學和專業課程的高年級學生。以三個群體為方案層進行層次分析。層次分析法的進行可以描述如下：

首先按照問卷調查的結果構造各準則相對于目標層的兩兩對比矩陣如下： ? ? ? ? ? ?以及方案層各元素相對于各準則的兩兩對比矩陣如下：

接著，利用上述兩兩對比矩陣并結合軟件Matlab計算矩陣

A的特征值和特征向量，從而得到三個準則相對于目標的權重組成的權向量，即w（1）=（0.166，0.166，0.668）。同理可以得到三個方案分別相對于每個準則的權向量，即w1（2）=（0.595，0.277，0.129），w2（2）=（0.082，0.236，0.682）以及w3（2）=（0.429，0.429，0.142）。根據層次分析法原理，方案層各元素（職業人、教師和學生）占目標的權重應為上述兩層權重結果的組合權重值，這樣我們就得到了職業人、教師和學生在打分問題上的權重。

步驟2：在完成了步驟1之后，我們就可以針對具體專業（如金融專業）就各知識點關聯度進行各群體打分，最后利用上面得到的權重進行整合。得到如表一所示：

表一：金融專業各群體對六知識點需求度打分的均值表

接下來只需利用步驟1中各群體占打分的權重便可計算金融專業就這六個知識點的打分情況，如表二所示：

表二：金融專業對六知識點需求度打分的總表

注意其中知識點1的需求度5.14是三個群體打分5，6，4再結合各自打分的權重組合計算得到的，其它數值類似產生。

步驟3：將需要納入分析的專業按照步驟2的方法一一得到對上述六知識點需求度的總表，將它們合成一個總表。得到的總表如表三所示：

表三：10專業對六知識點需求度打分的總表匯總

三、利用各專業對知識點需求度實現專業的分類

由于數據較多，層次不明晰，很難直接歸類。這里我們采取SPSS中的系統聚類分析方法，將10個專業作為10個樣本，得到所有分類結果的樹狀圖，如圖1所示：

圖1：10個專業按知識點需求度總表進行的系統聚類

從圖中來看專業1，專業5和專業7之間距離很短，它們很自然地歸為一類。同理，專業4，專業8和專業3歸為一類。相應地，專業2，專業6，專業9和專業10歸為一類。當形成這三小類時，若還想繼續合并為兩類，將是這三小類中的后兩小類先進行合并。從圖中顯示的距離可以直觀地看到，10個專業合成

3類比較理想，而合為2類則比較牽強。所以就這10個專業而言，實際上應分為3類。這樣我們就實現了專業科學的分類。

四、利用分類結果生成分類器

上述分類只是對部分專業進行，根據不同時期的需要，對于一些新產生的專業或者未被納入此分類過程的專業，如何知道它們會歸入到其中的哪一類呢？打個比方，若已對10個專業分為了3類，現又得到了5個新專業對各知識點的需求度結果，那么如何將這5個待定的專業進行分類呢？一種直接的方式是將這5個與之前10個專業混合，重新進行上述分類過程。但這種方式顯然部分重復了對分類相關的計算，這種重復工作無疑是希望避免的。相比之下更為理想的方式是在上述分類結果的基礎上建立某種判別體系，形成能實施分類行為的機制，一旦有新的樣本加入到分類，可以很快實現新樣本的歸類。帶著這一目的，我們借助判別分析這一方法。

在上述的分類問題中，最終專業1，專業5和專業7是一類記為第一類;專業4，專業8和專業3歸為一類，記為第二類;專業2，專業6，專業9和專業10作為第三類。以此情況為基礎，利用判別分析，建立三類的判別函數。根據貝葉斯判別法的思想，我們在判別分析中可以為每一類找到一個對應的判別函數，然后將新的樣本帶到每個判別函數中，最大的判別函數值對應的類就是新樣本應歸屬的類。判別函數的建立實際上就是基于各專業對不同知識點的需求度和所屬類別這些信息的。例如對于第一類，其判別函數表達式被找到，表達式為：y=1671.

807x1+6503.746 x2-207.756 x3-639.185x4+4617.898x5+271.05x6

-26562.811

得到了這些判別函數之后，我們只需要將新的樣本（專業）對應的所有6個需求度數值代入這三個判別函數，哪個函數值大，就代表新樣本屬于哪一類。從這個角度而言，這三個判別函數起到了分類器的作用。對于新樣本不需重新進行聚類分析就能得到其歸屬的類別。當然，這些用來判別歸屬的函數是不是性能有保證呢，或者說判別函數的準確性如何驗證呢？只需將根據判別函數得到的已知樣本的歸類結果與它們實際所屬的類別進行對比便可看出這些判別函數對樣本預測類別的行為是否準確。

結語：本文利用了定量分析的方法，對當前“大轉型”背景下高等數學分類教學的問題進行了深入探討。在明確了各專業對高等數學知識點的需求度結果之后，我們采用聚類分析和判別分析的方法，對各專業進行了基于知識點需求度的分類，并構造了分類器，方便不同專業的歸類，為新時期高等數學教學改革提供了新的思路。

參考文獻：

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