組合數學與中學數學的關聯

劉會玲+劉東旭+南華

摘要：本文依據《普通高中數學新課程標準》，主要針對普通高中結合學生的認知水平和對教師的專業素質要求，通過分析案例等方法，探討組合數學在中學教學中的地位，闡明了組合數學不僅在高等數學中起重要作用，而且在中學數學教學中也具有極其重要的地位。

關鍵詞：新課程標準;組合數學;數學文化

中圖分類號：G642.0 ? ? 文獻標志碼：A ? ? 文章編號：1674-9324（2015）19-0256-02

一、引言

人類文化離不開數學，它是其中極其重要的組成部分。數學素養是人類的一種基本素養，在現代社會，每個公民更應具備這種素養。因為這種重要性，數學教育成為了教育必不可少的組成部分。在當代社會，數學教育以是終身發展必不可少的一個方面，是每個公民更進一步學習和發展的需要，是（終身）教育發展不可缺少的基礎。為了使學生學會如何能夠數學地思維，數學地表達，就要求各級各類學校向學生提供數學的基礎知識、基本思想和技能，進而培養、提高學生自身的數學素養。伴隨計算機技術和網絡信息的迅猛發展，作為數學的一個分支的組合數學得到了迅速發展，也越來越受到重視。組合數學研究的主要內容包含離散對象滿足一定條件的方案的存在性，以及這種方案的構造、枚舉計數及最優化問題等內容。它在密碼學、編碼和計算機科學、生物學等學科中有著重要應用。可以這樣認為：近代的工業革命的基礎是微積分學的發展，而現代計算機革命的基礎就是組合數學的發展。如今，普通高中數學課程中也包含計數問題組合計數這部分內容。當然除了計數問題，組合數學還包含組合原理、組合設計、組合優化等內容。本文從中學課程內容特點、數學競賽試題、數學教師專業素質、數學文化的滲透、解題方法等不同角度研究組合數學與中學數學的聯系與影響。

二、數學知識方面的聯系

1.計數問題是組合數學中的重要組成部分，是中學數學課堂教學內容之一。組合數學中研究和應用最多的是計數問題，加法計數原理和乘法計數原理是其中最基本、最重要的兩個基本原理。普通高中數學課程中含有計數基本原理、排列、組合、二項式定理及其應用這些組合數學的內容，要求學生掌握這些基本知識，同時了解計數與實際生活的聯系，會處理實際應用中的計數問題。組合計數、組合思想除在組合恒等式的證明和應用之外，在接下來的高中數學課程如統計與概率等中有著重要應用，排列組合掌握的好與壞常常影響古典概型的求解。

例題1（古典概型問題）：3件產品中包含2件正品a，b和1件次品c，每次從中任意選取一件，連續選取兩次。在下列不同條件下，分別計算選出的兩件產品中恰好有1件為次品的概率。（1）每次選出后不放回;（2）每次選出后放回。注：這里的摸球后放回、不放回是概率問題中常見的條件，也是計數問題中常考慮的限制條件。無論哪一種情況下計算概率都要應用到排列組合知識點。

2.組合數學是數學建模中的重要工具。《普通高中數學新課程標準》中提出：數學建模是運用數學思想、方法和知識解決實際問題的過程，已經成為不同層次數學教育重要和基本的內容。據統計，組合優化在歷年的數學建模比賽所占比例比較重，幾乎占百分之四十左右。配對問題模型、摸球問題模型、分配問題模型、組合優化模型等都是組合數學在建模中的應用。

例題2：自動售貨機內裝有“可樂”、“雪碧”、“健力寶”3種聽裝飲料，投幣后隨機自動滾出一聽，今有5個人若要喝同一品種的飲料，他們至多要投幣幾次？解：把飲料的品種看做“鴿籠”，飲料罐看做“鴿子”。根據抽屜原理，為了使5個人能喝上同一品種的飲料，至少有一個“籠子”內要有5只“鴿子”。從最不利的情形考慮，投幣12次滾出3個品種各4=5-1聽，共12聽，所以這5個人需要至多投幣13次。這就是利用中學數學抽屜原理法建模，當然這類題難度可以再加深。

3.組合數學是數學競賽的重要內容。中小學數學競賽中常考的知識點——抽屜原理和容斥原理是組合計數和組合分析常用的技巧和方法，不僅如此組合計數和組合分析中還有遞推（歸）原理、容斥原理、染色方法等常用方法。這些內容看似簡單，但其中包含極強的技巧性，從小學到高中的數學競賽中常見這類問題。數學競賽題有一定的難度，往往不會輕易解決，對于這類問題一般通過構造的方法建立簡單的數學模型，繼而借助數學原理求解。

例題3（第6屆國際數學奧林匹克試題）：有17位科學家，其中每一個人和其他所有人通信，他們的通信中只討論3個題目。求證：至少有3個科學家相互之間討論同一個題目。注：用平面上任意三點不共線的17個點v■，v■，…，v■分別表示17位科學家。設a，b，c為他們討論的3個題目。兩位科學家討論a，則用黃線連接;討論b用紅線連接;討論z則用藍線連接，那么“以這17個點為頂點的三角形中必有一同色三角形”就是要證的結論。此題屬于組合學中Ramsey問題，其根本思想還是構造抽屜。將幾何圖形與染色問題相結合，再對已知邊按顏色進行分類（分抽屜），最后對幾個或某個抽屜進行分析，就可以解決問題。

三、滲透數學文化方面的聯系

數學文化的內涵狹義上的理解就是數學的思想、精神、方法、觀點、語言，以及它們的形成和發展;廣義上的理解是除這些內涵外，還包含數學家、數學史、數學美、數學教育、數學發展中的人文成分、數學與社會的聯系、數學與各種文化的關系等。“體現數學的文化價值”這是《普通高中數學新課程標準》基本理念之一，并且對數學文化有教學要求。中學期間，數學文化不會限定學時，不會專門設置幾堂課進行數學文化教學，而是將數學文化貫穿于整個高中數學課程中，滲透在每個模塊或專題中，也是一部分重要內容。

1.通過學習組合數學可以激發學生學習數學的興趣，體會數學的內在美。組合數學源于數學游戲，許多問題看似簡單，卻蘊含很深數學原理。比如“柯克曼女生問題”、“幻方”等，這些數學游戲豐富了組合數學的研究方法與內容。游戲往往比抽象的理論更有吸引力和挑戰性，通過數學游戲、趣味問題激發學生學習數學的興趣，讓學生感受到數學不僅是一種重要的“工具”也是一種思維模式，從而促進學生的數學學習以及數學觀的發展。endprint

2.經典歷史名題，讓學生領略數學文化。古老的數學游戲和經典的數學名題是重要的數學史料，數學史料又是數學文化中的一個重要的組成部分，而歷史名題又是數學史料的一種很好的載體。教學中結合數學史的文化背景進行講解，可以使學生在感受趣味性同時，體會其中的文化性和思想性，領略數學文化。例如著名的Fibonacci兔子問題：把一對小兔子（雌、雄各一只）在某年的開始放到圍欄中，一個月后長成大兔子。之后每個月這對兔子都生出一對新兔子，其中雌、雄各一只。一個月后，每對新兔子每個月也生出一對新兔子，也是雌、雄各一只。問一年后圍欄中有多少對兔子？第n個月的兔子的對數用F■來表示，則它滿足帶初值的二階遞推關系式。法國的數學家Binet求出了數列{F■}■■的通項。而且由斐波那契數列中前一項與后一項的比值組成的分數列以■≈0.618為極限，這正是“黃金比”，由它產生的優選法“0.618法”是運用離散的手段來處理最優化問題。通過賞析名題，能夠使學生感受到數學不僅僅是一門科學，更是一種文化。

四、提高數學教師的專業素質方面的聯系

1.組合數學能夠提高數學老師的數學修養，進而提高教學質量。我們知道教師要上好一堂課，只了解和解決課本和參考書上的知識和問題是遠遠不夠的。教授必須具有與這堂課相關的許多直接或間接相關的知識，這就是對教師數學素養的要求。組合數學里包含的歷史典故及蘊含的組合思想，會讓數學教師了解和掌握更豐富的數學知識，從而提高數學教師的數學素質，提高解決問題的能力。因為組合數學問題在高中數學課程的各個模塊都有不同程度的應用，而且在數學競賽中出現頻率較高，更加需要數學教師掌握一定的組合數學知識和組合思想。

2.掌握組合數學中的解題思想、解題方法，提高數學教師的業務水平和能力。組合問題求解方法層出不窮、千變萬化，通過解決組合問題可以發現、歸結出許多有用的解題方法：（1）從組合學基本概念、基本原理出發的解題方法：①利用容斥原理、遞推關系、母函數方法——解計數問題。②利用抽屜原理——解決存在性問題。（2）從組合思想出發的解題方法：如組合對應法（一一對應）、分類法、組合分析法、放球模型法等。（3）在解決組合數學問題時還經常會用到數論方法：應用奇偶性、整除性等數論性質解決存在性問題。以及反證法和數學歸納法等。

組合數學的解題方法技巧性很強，教師通過學習組合數學更進一步學會數學思維，理解和掌握不同的解題方法，也可以積累豐富的解題技巧、思想，有助于拓展分析問題的思路進而提高教師的解題能力，提升專業素質。

參考文獻：

[1]許胤龍，孫淑玲.組合數學引論[M].合肥：中國科學技術大學出版社，2010.

[2]黃小龍，鄧勇，胡曉惠，袁茵.基于棋盤編碼粒子群算法的衛星資源調度方法[J].計算機工程與設計，2013，（1）.

[3]戴朝壽，孫世良.數學建模簡明教程[M].上海：高等教育出版社，2007.

[4]馬洪炎，沈虎躍，許康華.高中數學競賽解題方法[M].浙江：浙江大學出版社，2006.

[5]張文穎，鞏誠，于濤.采用多種方式在大學數學教育中滲透數學文化[J].中國科教創新導刊，2010，（31）.

[6]陳永川.話說組合數學[J].科學中國人，2003，（5）.

[7]佘守憲，胡頡.黃金數與Fibonacci數列[J].物理與工程，2006，（16）.endprint