基于響應面法的印制電子噴印機結構多目標優化設計

劉德仿，顧春榮，周臨震，王斌

(1.鹽城工學院機械工程學院，江蘇鹽城224051;2.南通大學機械工程學院，江蘇南通226019)

0 前言

與傳統電路制版方法相比，印制電子技術具有很多優勢［1］。印制電子噴印機通過其運動系統與打印噴頭，在預先編制程序的控制下，將導電墨水噴到基材上形成線路［2］。目前，國外印制電子噴印產品重量約為國內同類產品的60%。因此使噴印機具有較小的重量來降低生產成本，已成為國內印制電子噴印產品設計的迫切需求。同時，作為一個移動設備，噴印機必然會受到電機的激勵，為確保噴印機在減重的同時，滿足打印精度與穩定性的設計要求，其機械結構須具有良好的動態特性。

對印制電子噴印機結構進行優化設計，實際上是在減重過程中保證其機械結構動態性能的多目標優化問題。由于噴印機結構復雜，其約束函數、目標函數的導數絕多數不連續，難以用顯示表達，采用傳統基于梯度的優化方法很難找到最優解。目前，運用基于統計學的響應面法能大大降低計算量，在一定程度上很好地解決復雜機械結構的多目標優化設計問題，如姜衡等人［3］將響應面法應用與立式加工中心結構優化設計中，在保證原整機動靜態性能的前提下減輕整機質量，取得了很好地優化結果。夏鏈等人［4］采用正交試驗法構造響應面模型，對床身結構進行優化設計并得到最優解，大大降低了試驗次數，提高了優化設計效率。

本文作者簡要介紹了響應面法，制定了噴印機結構多目標優化設計路線，以噴印機結構重量和動態特性為優化目標，利用響應面法與多目標遺傳算法，基于ANSYS Workbench協同仿真平臺，通過調整和優化其關鍵結構參數，實現產品多目標優化設計。

1 有限元模型的建立及其動態特性

建立印制電子噴印機結構的有限元模型，并進行模態分析，可以得到其動態特性，將其作為優化問題的約束與目標，為后續的優化設計提供依據。

1.1 有限元模型的建立

印制電子噴印機機械結構主要分為床身、工作臺及基座3個部分，如圖1所示。噴印機共有3個方向運動:X軸運動模組為含有噴頭的Z模組工作運動;Y軸運動模組為放置基材的工作臺運動;Z軸運動模組為噴頭的上下運動以調整基材的厚度。

圖1 印制電子噴印機機械結構圖

噴印機機械結構是作為重要組成部件，承載著整機的全部質量，因此文中主要針對機械結構進行建模與分析。同時，為提高分析效率、改善網格劃分質量，需要簡化或去除模型中對分析結果影響較小的零部件或細節特征 (如工藝孔、倒角等)。對伺服電機、底封板和擋板等附件用集中質量單元來模擬對噴印機的影響。采用Solidworks建立噴印機簡化后的三維參數化模型，完成后通過修改模型中的關鍵尺寸參數名稱 (加前綴“DS_”)，將其導入ANSYSWorkbench的DM模塊中，實現模型與設計變量的無縫連接。

大理石平臺、龍門橫梁及兩個立柱采用濟南花崗石，其余零部件采用結構鋼。六面體網格具有網格數量少且計算精度高等特點，通過對復雜零件的切片的方式，使模型能夠被掃掠，從而在網格劃分時生成規則的六面體單元。對于結合面接觸，采用綁定接觸和不分離接觸來分別模擬噴印機的固定結合面和導軌結合面。由于整個打印機是依靠底面的四個腳與地面接觸來支撐的，將機床四個底面與地面的摩擦理想化為無窮大，即無相對滑動，施加約束時將四個腳支座處的接觸面設為固定約束。建好的噴印機有限元模型如圖2所示。

圖2 噴印機有限元模型

1.2 有限元模態分析結果

對噴印機有限元模型進行模態分析，得到其固有頻率與振型。由于高階固有頻率對結構影響較小，文中只取噴印機前4階模態，分析結果如表1和圖3所示。

表1 噴印機前4階模態分析結果

圖3 噴印機前4階振型

由分析結果可知，噴印機第1階固有頻率為46.75 Hz，但由于實際生產與工作環境的影響，噴印機的實際頻率會低于理論值，故應適當對結構進行優化，提高噴印機打印精度與穩定性，改善其動態性能。

2 響應面模型的建立

2.1 響應面法

響應面法 (Response Surface Methodology，RSM)［5］是一種數理統計與試驗設計相結合的優化方法，通過對指定設計點集合進行試驗設計，構造顯式近似表達式將涉及設計變量的目標與約束隱式函數替代為顯示函數關系，得到響應面模型，從而預測未試驗點的響應值。文中選用準確性較高的完全二階多項式響應面模型［6］，對于n個設計變量可表示為:

式中:y(X)為擬合函數;X＝(x1，x2，…，xi，…，xn) 為設計變量;β0、βi、βii、βij為未知系數，通過最小二乘法擬合確定。

2.2 試驗設計

試驗點的選取直接關系著響應面模型的構造精度，而試驗設計是建立響應面近似模型的取樣策略，試驗設計理論可以保證生成合理的設計點。采用中心復合試驗設計 (Central Composite Designs，CCD)［7］，它能以最少的試驗循環來提供設計變量與試驗誤差的信息。對于n因子、2水平試驗，試驗點包含以下三部分:

(1)1個中心點，用于提供一致精度與純誤差的估計，即圖4中立方體中心點;

(2)2n個軸向點，表示每個設計變量所在軸上距中心點距離為α的2個對稱點，用于估計響應面模型純平方項βii，即圖4中各○點;

(3)2n-ζ個析因點，用于估計一階項系數βi及交互作用項系數βij，即圖4中立方體各頂點。

圖4 中心復合試驗設計組成部分

故中心復合試驗設計共需 (2n-ζ＋2n＋1)個試驗點。

2.3 響應面模型的評價

對于建立的近似函數模型，即響應面模型，其優劣程度直接影響到優化結果，因此需要對響應面模型進行評價。采用擬合優度 (Goodness of Fit)來評價響應面模型對試驗設計數據的擬合程度，通常用復相關系數R2表示，其數值在 ［0，1］變化，且越接近1，說明誤差越小，即響應面越準確。

式中:E為響應值與響應估計值的平方和，Y為響應值與響應均值差的平方和。

3 多目標優化設計流程

基于響應面法的印制電子噴印機結構多目標優化設計思路如下:首先，根據噴印機床身與基座結構，明確影響優化目標的關鍵參數，在Solidworks平臺建立三維參數化模型，通過無縫連接接口將簡化的模型導入ANSYS Workbench并進行有限元模態分析，為后續的優化設計提供依據。然后選用中心復合試驗來確定試驗點，并進行有限元分析計算，利用這些試驗點數據建立響應面模型。接著，運用轉移哈默斯利(Shifted Hammersley)［8］序列抽樣技術抽取樣本點，當作多目標優化算法的初始種群。最后，通過多目標遺傳算法，得到噴印機優化設計的最優解。具體噴印機結構優化設計流程如圖5所示。

圖5 噴印機結構優化設計流程圖

4 多目標優化設計

4.1 多目標優化數學模型

以印制電子噴印機結構主要零部件關鍵尺寸與位置關系為設計變量，取值在設計允許范圍內，這里取設計變量初始值的10%左右，提取的設計變量如表2所示。以降低噴印機質量和提高結構第1階固有頻率為優化目標，第2階和第3階固有頻率為約束條件。

具體的噴印機多目標優化設計數學模型描述如下:式中:y1(X)為噴印機結構質量，y2(X)為結構第1階固有頻率，yj(X)為第j階固有頻率，yj為優化前固有頻率，X為決策向量，xL、xU分別為設計變量的下限值和上限值。

表2 床身關鍵結構設計參數 mm

4.2 優化過程與分析

通過中心復合試驗設計生成45個試驗點及其有限元分析響應結果，再運用二次插值函數生成響應面與局部靈敏度模型。采用擬合度曲線來評價響應面擬合優度，如圖6所示。橫坐標為設計點實際觀測值，縱坐標為響應面預測值，由圖可知，優化目標質量和第1階固有頻率樣本點均在對角線附近，表示復相關系數R2趨近于1，響應面擬合優度較高。

圖6 擬合度曲線

采用3D圖形模式表示響應面模型，選擇兩個設計變量分別作為輸入參數的X軸與Y軸，一個優化目標函數作為輸出參數的Z軸，生成的響應面模型如圖7所示。

圖7 響應面模型

由圖可知，龍門橫梁Y向長度P5與Z向長度P2對噴印機結構質量影響較大，而模型中灰色部分為單目標最優部位，即達到結構質量最輕，由于未考慮其它設計變量和優化目標，因此這并不能作為輸出結果最優解。

圖8為各輸出參數的局部靈敏度，即6個設計變量對4個輸出參數的影響程度。通過分析可知，對結構質量影響較大的是大理石平臺Z向長度P4，龍門橫梁Y向長度P5次之;對結構固有頻率影響較大的是基座立柱厚度P6，而由于床身質量越大，整機中心越高，床身零部件的尺寸 (P2、P3、P4和P5)對固有頻率有負面影響。

圖8 局部靈敏度

利用多目標遺傳算法 (MOGA)［9］對目標函數優化求解，設定初始樣本數為100，最大迭代次數為20，收斂準則為70%，結構重量與最大變形的權重大小一致，經過計算得到Pareto最優解集［10］，如圖9所示，兩個坐標系分別對應2個優化目標，橫坐標為噴印機質量，縱坐標為1階固頻。

圖9 質量與1階固有頻率Pareto最優解集

從Pareto最優解集中選取效果較好的一組作為最優解，并以它為設計點驗證優化后的效果，優化前后與圓整后結果如表3、4所示。

表3 關鍵結構設計參數優化前后值 mm

表4 優化前后結果對比

由表4可知，優化并經圓整后的噴印機結構重量為544.26 kg，比優化前降低了8.7%;而第1階固有頻率為54.171 Hz，比優化前提高了15.8%。噴印機的結構動態特性得到較大提升，滿足了產品的多目標優化設計要求。

5 結論

(1)以減輕印制電子噴印機重量和提高結構動態性能為目標，基于ANSYS Workbench協同仿真平臺，結合響應面法與多目標遺傳算法，對噴印機的機械結構參數進行了多目標優化設計，經優化后的結構重量比優化前降低了8.7%，而1階固有頻率提高了15.8%，實現了噴印機的優化設計;

(2)采用響應面法，能夠合理有效地確定初始種群，保證多目標優化算法能夠快速地收斂，從而在可行域內得到Pareto最優解集，提高了多目標優化設計效率。

［1］楊振國.印制電子的研究現狀、技術特性及產業化前景［J］.印制電路信息，2010(1):8-12.

［2］練超逸，呂賜興，劉金鑫，等.面向印制電子的噴印控制系統的設計與實現［J］.制造業自動化，2014，36(3):153-156.

［3］姜衡，管貽生，邱志成，等.基于響應面法的立式加工中心動靜態多目標優化［J］.機械工程學報，2011，47(11):125-133.

［4］夏鏈，陳靜，韓江，等.基于響應面法的機床床身動靜態多目標優化［J］.組合機床與自動化加工技術，2012(9):83-86.

［5］UMBERTO Alibrandi.A Response Surface Method for Stochastic Dynamic Analysis［J］.Reliability Engineering ＆System Safety，2014，126:44-53.

［6］孫光永，李光耀，鐘志華，等.基于序列響應面法的汽車結構耐撞性多目標粒子群優化設計［J］.機械工程學報，2009，45(2):224-230.

［7］曹立波，陳杰，歐陽志高，等.基于碰撞安全性的保險杠橫梁輕量化設計與優化［J］.中國機械工程，2012，23(23):2888-2893.

［8］DIWEKAR U M，KALAGNANAM J R.Robust Design U-sing an Efficient Sampling Technique［J］.Computers and Chemical Engineering，1996，20:389-394.

［9］FONSECA C M，FLEMING P J.Multi-objective Optimization and Multiple Constraint Handling with Evolutionary Algorithms-part I:A Unified Formulation［J］.IEEE Transactions on Systems，Man，and Cybernetics，Part A:Systems and Humans，1998，28(1):26-37.

［10］DEB K，PARTAP A，AGARWALSS，et al A Fast and E-litist Multi-objective Genetic Algorithm:NSGA-Ⅱ［J］.IEEE Transactions on Evolutionary Computation，2002，6(2):182-197.