基于模糊C均值聚類算法的溫度測點優化與建模研究

黃娟，肖鐵忠，李小汝，羅范杰

(1.四川工程職業技術學院機電工程系，四川德陽618000;2.西南科技大學制造科學與工程學院，四川綿陽621010)

0 前言

隨著制造業向著高效率、高質量、高精度、高智能發展，精密和超精密加工已經成為現代制造業最重要的發展方向。大量研究表明:熱誤差占總誤差的40% ～70%［1］，對于高精密機床熱誤差所占比重更大。因此，熱變形導致機床加工誤差的問題日益突出。總的來說，減少熱誤差有誤差防止法和誤差補償法［2］。相對于“硬技術”的誤差防止法，誤差補償法是一項具有顯著經濟價值并有效提高機床精度的手段［3］。

要建立魯棒性較好，預測精度高的熱誤差模型，溫度測點的選擇是一個難點。由于機床的溫度場分布非常復雜，要想獲取整個機床的溫度場需要布置大量的傳感器，但這會導致數據處理量過大、數據耦合、布線過多、影響加工等問題。因此對溫度測點的優化選擇成為機床熱誤差補償研究的重要方向之一［4］。結合不同的應用場合，國內外學者們提出了許多模糊聚類算法，如模糊關系方法［5］、相似性關系方法［6］、基于模糊等價關系的傳遞閉包法［7］、基于模糊圖論的最大支撐樹法［8］、動態規劃［9］等方法。然而上述方法均不能適用于數據量大的情況，實用性較差。文中采用基于目標函數的模糊C均值聚類 (FCM)方法對溫度測點進行分組優化，結合相關分析找出測溫關鍵點，并利用多元線性回歸對機床熱誤差進行建模，驗證該方法的有效性。

1 溫度測點的優化選擇

1.1 FCM模糊聚類分析

FCM聚類是屬于基于目標函數的模糊聚類，是硬C均值聚類算法的改進，通過對目標函數進行優化，得到數據集中的每個樣本與類中心之間的隸屬度矩陣，從而實現對數據樣本的自動分類。根據機床的結構和溫度場分布情況 (可用有限元分析或者熱成像儀獲得初步的溫度場結果)，在機床的主要發熱源部件如主軸箱、軸承等重要位置布置N個測點進行聚類。需要分類的溫度測點集合為:X＝{x1，x2，…，xN}集合中每個溫度測點xk有S個觀測數據，設xk＝(xk1，xk2，…xks)T，如果將溫度測點集合X劃分為C類，則X的模糊C劃分空間為:

其中:uik表示樣本xk與子集Xi(1≤i≤C)的隸屬關系。在模糊C劃分空間中定義FCM模糊聚類算法的目標函數為:

U＝［uij］C×N表示C個子集構成的模糊函數矩陣。V＝［v1，v2，…，vC］表示 C類的聚類中心向量;d(xj，vi)表示第j類中的觀測值與第i類的中心之間的歐式距離，可以表征兩個量之間的相似程度。m為加權指數 (或平滑指數)，m＞1，目前沒有相關證明和理論能夠確定m的最佳值，根據實際經驗通常m＝1.5～3［10］，并構建一個新的目標函數:

其中，λj＝1，2，…，N為拉格朗日倍增因子。

聚類的準則為~JFCM＝(U，V，λ)取到極小值算法迭代結束。具體流程如下:

步驟一:初始化數據。給定聚類數目C，2≤C≤N，N是數據個數，設置目標函數迭代停止的閾值ε，加權指數m，聚類原型V(0)，并設置迭代計數器b＝0;

步驟二:用公式 (4)和公式 (5)更新模糊劃分矩陣U和聚類中心矩陣V

步驟三:判斷迭代終止條件‖vb-vb＋1‖＜ε是否成立，若成立則聚類結束，同時返回劃分矩陣U和聚類中心矩陣V，否者迭代計數器b＝b＋1，返回步驟二繼續迭代。

1.2 FCM模糊聚類測溫點實例分析

由于機床溫度場的分布比較復雜，溫度測點的布置一般都是由工程經驗判斷進行，文中以一臺立式銑床為研究對象，采用熱成像儀得到機床的溫度場分布情況如圖1所示，根據熱成像儀的溫度場分布情況，在機床主要發熱部位布置PT100傳感器，具體為:前軸承處 (1#，2#)，后軸承處 (3#，4#)，主軸箱(5#，6#，7#，8#，9#)，立柱 (10#，11#，12#)，環境溫度 (13#)。

圖1 熱成像儀溫度場

實驗中對機床采取500 r/min的轉速運行2 h，接著1 000 r/min的轉速運行3 h，每隔10 min采集一次數據。用電渦流位移傳感器檢測主軸前端X，Y，Z 3個方向的熱變形。實驗過程如圖2所示。

圖2 試驗現場圖

得到各測點的溫升和主軸熱變形曲線如圖3和圖4所示。從圖3可以看出，各測溫點具有較強的線性相關性，需要對測點進行分組優化選擇。

圖3 溫升曲線

圖4 熱變形位移曲線

文中采用FCM模糊聚類進行測點分組優化，從物理意義和聚類的有效性考慮，加權指數m一般為2，設置分類數為5，迭代156次后目標函數收斂，目標函數的變化曲線如圖5所示，根據模糊劃分矩陣得到聚類結果如表1所示。

將聚類結果可視化得到3D聚類圖如圖6所示。從圖6可以看出，各類分割明顯，聚類效果較好。

表1 聚類分組結果

圖5 目標函數變化圖

圖6 溫度測點3D聚類圖

根據每個分組的溫度變量與機床主軸的綜合熱誤差 (X，Y，Z三方向熱誤差的加權綜合)的相關系數大小來選擇每個組的關鍵溫度點，見表2，最終選擇 T5，T9，T1，T11，T6用于建模。

表2 測溫點的相關系數

2 多元線性回歸建模

應用多元回歸分析建立機床熱誤差與關鍵溫度測點的數學模型可表示為［11］:

其中，(β0，β1，…，βn)是待確定的相關系數。ε是一個服從正態分布的隨機變量。以最小二乘估計法，將新測量的機床優化后的溫度和熱誤差數據代入公式 (6)，建立回歸方程。由于機床X方向結構對稱，熱誤差很小，因此只建立Y和Z方向的熱誤差模型如下:

以新測量的關鍵點溫升和主軸熱變形數據對回歸模型進行試驗驗證，得到如圖7和圖8的模型預測、實測對比驗證圖。

圖7 Y方向熱誤差模型驗證

圖8 Z方向熱誤差模型驗證

從圖7和圖8可以看出，采用多元線性回歸方法建立的熱誤差模型，能有有效的預測機床的熱變形，Y方向的熱誤差最大殘差值為5.3μm，Z方向最大殘差值為8.9μm，同時也驗證了FCM模糊聚類測點優化方法的有效性。

3 結束語

結合FCM模糊聚類方法和相關分析對立式銑床的溫度測點進行了分組優化，有效的將測溫點由13個減少到5個，減少了熱誤差溫度數據測量的工作量，同時利用多元線性回歸方法建立了以優化后溫度測點為變量的熱誤差模型，將Y，Z方向的熱誤差從最大50μm減小到9μm以內，驗證了FCM測點優化方法的有效性，為數控機床熱誤差補償提供了參考。

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［2］趙海濤.數控機床熱誤差模態分析、測點布置及建模研究［D］.上海:上海交通大學，2006.

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［7］趙瑞月，梁睿君，葉文華.基于模糊聚類與偏相關分析的機床溫度測點優化［J］.機械科學與技術，2012，31(11):1767-1771.

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