基于LQR的二級旋轉(zhuǎn)倒立擺電液控制系統(tǒng)研究

曾紹平，張超

(1.江西工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院機(jī)械工程分院，江西南昌330039;

2.江蘇城鄉(xiāng)建設(shè)職業(yè)學(xué)院公用事業(yè)系，江蘇常州213016)

0 前言

目前，順著控制技術(shù)和計(jì)算機(jī)技術(shù)的快速發(fā)展，各種電液控制系統(tǒng)面向高度集成化、精確度高、非線性強(qiáng)和穩(wěn)定性好的方向發(fā)展［1］。作為一種檢測比較控制算法的實(shí)驗(yàn)平臺，倒立擺 (Inverted Pendulum)裝置在電液控制系統(tǒng)中得到廣泛應(yīng)用。原因在于倒立擺裝置的特性 (高階次、不穩(wěn)定、強(qiáng)耦合、非線性等)與工業(yè)過程的非線性系統(tǒng)具有很強(qiáng)的相似性。倒立擺作為一個(gè)自然非線性不穩(wěn)定系統(tǒng)，需要通過人為的控制，讓其達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，通過對該裝置的系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究，能夠揭示系統(tǒng)控制過程中的各種問題，如系統(tǒng)不確定性、傳感器靈敏度、控制算法的可靠性等。對倒立擺的研究有很多，有對擺起控制方法的研究，有對倒立擺行程方面的研究，還有研究倒立擺仿真和控制器魯棒性方面。而對于倒立擺的研究起源20世紀(jì)50年代，麻省理工學(xué)院專家成功地設(shè)計(jì)了一級倒立擺實(shí)驗(yàn)設(shè)備，該設(shè)備是參考火箭發(fā)射助推器原理設(shè)計(jì)出的［2］。進(jìn)入60年代，倒立擺被人們以非線性的控制實(shí)例正式地推到研究人員的面前，其中以Schaefer和Cannon為代表的成功將Bang-Bang控制理論和倒立擺結(jié)構(gòu)結(jié)合，實(shí)現(xiàn)了曲軸在倒立擺裝置的穩(wěn)定［3］。60年代后期和70年代初，倒立擺作為一個(gè)不穩(wěn)定、嚴(yán)重非線性系統(tǒng)，專家學(xué)者提出了多種控制算法，并用其檢驗(yàn)控制方法對不穩(wěn)定、非線性和快速性系統(tǒng)的處理能力，受到世界各國科學(xué)家的重視［4-6］。

CASTILLO T B和SOOYONG J針對傳統(tǒng)倒立擺行程問題設(shè)計(jì)了環(huán)形倒立擺結(jié)構(gòu)，能夠有效的克服行程限制，實(shí)現(xiàn)3個(gè)自由度的多方向運(yùn)動［6-7］。文獻(xiàn) ［8］在能量的甩控基礎(chǔ)上對單擺甩起時(shí)間進(jìn)行了最優(yōu)化的求解，給出了最短時(shí)間的計(jì)算模型;文獻(xiàn) ［9］改進(jìn)了基于滑塊的魯棒控制的滑模趨近律，減小了系統(tǒng)輸出的振動性，縮短了趨近運(yùn)動時(shí)間;文獻(xiàn) ［10］研究了控制系統(tǒng)的魯棒性和抖振之間的關(guān)系，表明二者關(guān)系成反比關(guān)系，有一定的矛盾性。本文針對控制系統(tǒng)的魯棒性和抖振狀況，以旋轉(zhuǎn)倒立擺裝置 (行程無限制)為研究對象，建立理論模型，并設(shè)計(jì)Linear Quadratic Regulator(LQR，線性二次型調(diào)節(jié)器)控制器，測試選著合適的Q、R參數(shù)，通過計(jì)算機(jī)仿真研究倒立擺控制系統(tǒng)的控制效果即魯棒性以及抖振狀況，從實(shí)時(shí)圖中可以看出二級倒立擺裝置在跟蹤輸入方波時(shí)，有一定的抖振現(xiàn)象，在出現(xiàn)人工干擾狀況下，系統(tǒng)能夠及時(shí)反應(yīng)達(dá)到平衡狀態(tài)，表現(xiàn)出較強(qiáng)的魯棒性，并對抖振現(xiàn)象有一定的削弱作用。說明文中設(shè)計(jì)的控制方法對二級倒立擺的控制是十分優(yōu)越的一種控制方法。

1 二級旋轉(zhuǎn)倒立擺理論模型

1.1 二級旋轉(zhuǎn)倒立擺物理模型

文中研究的旋轉(zhuǎn)倒立擺裝置，相比于研究較多的直線倒立擺裝置具有行程無限制的特點(diǎn)。其主要結(jié)構(gòu)如圖1所示，主要有自由擺桿和驅(qū)動臂組成。驅(qū)動臂圍點(diǎn)O做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動，因?yàn)樵隍?qū)動臂運(yùn)動過程中，增加了離心力，表現(xiàn)為具有3個(gè)自由度，旋轉(zhuǎn)運(yùn)動過程給控制帶了更大的難度。進(jìn)入對控制算法提出了更高的要求。自由擺桿分為上擺桿和下擺桿，在驅(qū)動臂運(yùn)動過程中，分別繞中心點(diǎn)O1和O2做自由運(yùn)動，保持倒立狀態(tài)。

圖1 二級倒立擺物理模型

對圖1中的二級倒立擺物理模型參數(shù)進(jìn)行設(shè)定，設(shè)驅(qū)動臂的長度為L0，旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動慣量為J0，τ為驅(qū)動臂上的控制力矩，C0為驅(qū)動臂的摩擦力矩系數(shù)，θ0、·θ為驅(qū)動臂的轉(zhuǎn)角和角速度;下擺桿的質(zhì)量為m，01桿長為L1，擺桿質(zhì)心到轉(zhuǎn)軸O1的距離為l1，設(shè)C1為下擺桿的摩擦力矩系數(shù)，θ、·θ為下擺桿的轉(zhuǎn)角和角11速度;m2、L2、l2分別表示為上擺桿的質(zhì)量、桿長和擺桿質(zhì)心到轉(zhuǎn)軸O2的距離，設(shè)C2為上擺桿的摩擦力矩系數(shù)。針對以上物理模型設(shè)定的相關(guān)參數(shù)變量，建立旋轉(zhuǎn)二級倒立擺理論模型。

1.2 理論模型的建立

在忽略各種空氣流動干擾因素下，根據(jù)1.1中設(shè)定的物理模型參數(shù)，以驅(qū)動臂所處位置為勢能的零位置，進(jìn)行理論推導(dǎo)，分別對驅(qū)動臂、下擺桿和上擺桿進(jìn)行動能、勢能和耗散能的求解。

(1)驅(qū)動臂的勢能、動能和耗散能

式中:T0、V0、D0分別代表是驅(qū)動臂的動能、勢能和耗散能。

(2)下擺桿的勢能、動能和耗散能

對下擺桿動能、勢能、耗散能的求解過程，需要將通過坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換矩陣，進(jìn)行不同坐標(biāo)系的質(zhì)量的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化。通過一次轉(zhuǎn)動和一個(gè)平動完成坐標(biāo)系Oxyz→O1x1y1z1的轉(zhuǎn)換，其轉(zhuǎn)換矩陣為:

根據(jù)公式 (2)，實(shí)現(xiàn)下擺桿坐標(biāo)到旋轉(zhuǎn)桿坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換，得到下擺桿質(zhì)點(diǎn)的速度:

(3)上擺桿的勢能、動能和耗散能

根據(jù)下擺桿能量求解過程方法，對上擺桿坐標(biāo)系到下擺桿坐標(biāo)以及再到旋轉(zhuǎn)臂坐標(biāo)系進(jìn)行齊次矩陣變換，視Oxyz→O1x1y1z1→O2x2y2z2為坐標(biāo)系的在OTO1基礎(chǔ)上的一個(gè)平動，表達(dá)式如下:

將上擺桿上的一點(diǎn)坐標(biāo) (xs2，ys2，zs2，1)轉(zhuǎn)化到驅(qū)動臂坐標(biāo)中的表達(dá)式為:

對公式 (6)右邊的轉(zhuǎn)換坐標(biāo)進(jìn)行求導(dǎo)，得到上擺桿上該質(zhì)點(diǎn)的速度，根據(jù)上擺桿對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量J2和勢能、動能以及耗散求解公式，求得上擺桿的動能、勢能和耗散能分別為:

(4)系統(tǒng)總勢能、動能和耗散能

系統(tǒng)的總動能、勢能和耗散能包括對驅(qū)動臂、下擺桿、驅(qū)動臂的能量總和，如下所示:

(5)拉格朗日法建立微分方程

根據(jù)拉格朗日函數(shù)和拉格朗日方程建立系統(tǒng)的微分方程:

求解微分方程，得到旋轉(zhuǎn)二級倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型:

其中:F ＝ ［τ、0、0］T，Θ ＝ ［θ0、θ1、θ2］T，G ＝［0、 -(m1gl1＋ m2gL1)sinθ1、 -m2gl2sinθ2］，M 和 C是3×3的系數(shù)矩陣，求解系數(shù)表達(dá)式如下:

至此二級倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型和參數(shù)定義已經(jīng)完成。

2 理論參數(shù)的確定

對二級倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型中設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行取值，如表1所示。

表1 旋轉(zhuǎn)二級倒立擺模型結(jié)構(gòu)參數(shù)

倒立擺在平衡位置時(shí)θ1和θ2都接近于零度，可利用近似關(guān)系sinθ＝0，cosθ＝1，并忽略高次項(xiàng)，對非線性模型在不穩(wěn)定平衡位置進(jìn)行線性化。

如果取 u ＝ Vm，取狀態(tài)變量為 X ＝［θ0、θ1、θ2、目的是為了補(bǔ)償當(dāng)控制器作用時(shí)，由于不可避免的系統(tǒng)測量偏差所引起的穩(wěn)態(tài)誤差。將已知參數(shù)代入后可得狀態(tài)方程為:

基于LQR最優(yōu)控制對二級倒立擺系統(tǒng)的進(jìn)行控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)，因此選定Q和R的參數(shù)分別為:

3 二級倒立擺LQR控制器設(shè)計(jì)與仿真實(shí)現(xiàn)

針對以上建立的旋轉(zhuǎn)二級倒立擺數(shù)學(xué)模型，設(shè)計(jì)線性二次型調(diào)節(jié)器 (LQR)，其特點(diǎn)系統(tǒng)的狀態(tài)方程是線性的，性能指標(biāo)函數(shù)表現(xiàn)為二次性函數(shù)，具有較明確的物理概念，能夠處理各種擾動信號適用于時(shí)變系統(tǒng)。為使得二次性能指標(biāo)函數(shù)達(dá)到最小，選著合適的參數(shù)輸入使得系統(tǒng)具有較好的魯棒性與穩(wěn)定性。考慮系統(tǒng)被控對象的狀態(tài)空間方程公式 (12)。其中，A為n×n維常數(shù)矩陣，X為n維狀態(tài)向量，B為n×r維常數(shù)矩陣，u為r維控制向量，且不受約束。

對狀態(tài)反饋控制律進(jìn)行選著:

通過反饋控制方程 (15)，基于控制系的性能指標(biāo)最下化，求得最優(yōu)控制矩陣K。進(jìn)一步通過構(gòu)造漢密爾頓 (Hamilton)函數(shù)并對其求導(dǎo)數(shù)和化簡可得黎卡提 (Riccati)方程:

求解黎卡提 (Ricatti)方程可得狀態(tài)控制律為:

求得最優(yōu)控制矩陣K的表達(dá)式為:

可見，對線性二次型指標(biāo)數(shù)學(xué)處理能夠?qū)崿F(xiàn)對反線性反饋規(guī)律進(jìn)行線性表達(dá)，實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)狀態(tài)的閉環(huán)控制和線性反饋閉，是系統(tǒng)的設(shè)計(jì)分析的一種有效方法。

在控制效果方面，LQR控制器能夠?qū)刂浦笜?biāo)進(jìn)行約束，從而能夠控制指標(biāo)變化的幅度，且可通過系統(tǒng)設(shè)計(jì)過程中的自然特性，考慮對控制量變化和跟蹤誤差來選擇合適的LQR的加權(quán)矩陣Q和R的參數(shù)，從而求得最小的狀態(tài)反饋增益矩陣K，表現(xiàn)出較強(qiáng)的魯棒性。

完成了控制器的設(shè)計(jì)，就可以建立系統(tǒng)離線仿真，并參照第2部分相應(yīng)參數(shù)Q和R的選取，進(jìn)行控制系統(tǒng)的實(shí)時(shí)仿真。

4 二級倒立擺的實(shí)時(shí)仿真結(jié)果

根據(jù)第3部分選定的最佳狀態(tài)反饋增益K，將K代入反饋控制器U＝-KX中，實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)仿真系統(tǒng)的仿真，獲取各個(gè)狀態(tài)變量的實(shí)時(shí)變化曲線。在仿真系統(tǒng)輸入過程中，加入了一個(gè)幅值為1，頻率為0.1的方波信號作為擾動，同時(shí)人為持續(xù)對倒立擺穩(wěn)態(tài)狀態(tài)進(jìn)行干擾，從而觀測控制效果如圖2—6所示。

圖2 一級擺桿轉(zhuǎn)角

圖3 二級擺桿轉(zhuǎn)角

圖4 一級擺桿角速度

圖5 二級擺桿角速度

圖6 電機(jī)控制電壓變化曲線

圖2 和圖3分別一級擺桿和二級擺桿的角度的實(shí)時(shí)變化曲線。圖2中，一級擺桿角度θ1的初始狀態(tài)為3.3 rad，在5 s內(nèi)，角度基本回歸到0位，系統(tǒng)很快的到達(dá)平衡位置，由于系統(tǒng)輸入0.1的方波信號作為擾動，故在平衡位置角度0.1 rad的范圍內(nèi)表現(xiàn)出一定的抖振，但是還是比較穩(wěn)定，說明文中針對旋轉(zhuǎn)二級倒立擺裝置設(shè)置的控制器和選用的參數(shù)具有較好的控制效果，反應(yīng)了控制系統(tǒng)的控制性能的快速性和穩(wěn)定性。在圖3中，二級擺桿的角度的變化大體跟隨輸入信號的方波變動而變化，整體表現(xiàn)出較好的穩(wěn)定性，在3、8、20和40 s等個(gè)別時(shí)間點(diǎn)，表現(xiàn)出較大的波動，原因在于人為的對倒立擺穩(wěn)定狀態(tài)的干擾。在干擾效果上來看，人為干擾給系統(tǒng)的穩(wěn)定控制帶來了不穩(wěn)定因素，但是擺角能夠很快的回復(fù)到平衡位置，最大超調(diào)量不超過0.4 rad，最大恢復(fù)不超過2 s，表現(xiàn)出較快的反應(yīng)速度，說明設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)能夠?qū)ο到y(tǒng)抖振有一定的削弱，具有較高的靈敏性。

設(shè)計(jì)系統(tǒng)的靈敏性還可從圖4和圖5中可以看出。圖4和圖5分別為一級擺桿和二級擺桿角速度變化曲線，對應(yīng)與圖2和圖3可以看出，人工干擾情況下，角度超調(diào)量突然變大以及回歸平衡位置，這個(gè)過程能夠從角速度的突變曲線間接反應(yīng)出系統(tǒng)的控制的實(shí)時(shí)性和靈敏度，表現(xiàn)出較好的抗干擾性和魯棒性。

圖6為電機(jī)控制電壓變化曲線，控制曲線的電壓幅值一般穩(wěn)定在±2 V，只有在系統(tǒng)受到外部干擾狀況下，電機(jī)電壓輸出曲線表現(xiàn)出較大的幅值變動，整個(gè)過程表現(xiàn)出良好的穩(wěn)定性。

從圖2—6，觀察各個(gè)狀態(tài)變量的實(shí)時(shí)變化曲線，總的來說，除了作為擾動信號的方波信號以外，人為的干擾給系統(tǒng)的的穩(wěn)定性帶來很大的波動。但文中設(shè)計(jì)的LQR控制器對二級倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行了有效的控制，能夠很快對二級倒立擺進(jìn)行精確的控制，使二級倒立擺在跟蹤輸入方波擾動時(shí)，能夠迅速達(dá)到平衡狀態(tài)并削弱抖振現(xiàn)象，控制擺角的精確度在10-3數(shù)量級，表現(xiàn)出較好的控制效果。

5 結(jié)論

從離線仿真及實(shí)時(shí)控制效果來看，此系統(tǒng)的控制指標(biāo)是令人滿意的，觀察各個(gè)狀態(tài)變量的實(shí)時(shí)變化曲線，可以得出，系統(tǒng)控制器的性能是很好的，對二級倒立擺進(jìn)行了精確的控制。二級擺相對于一級擺自由度多了一個(gè)，非線性、抖振性和耦合特性等更加嚴(yán)重，給控制器提出了更高的要求。所設(shè)計(jì)的LQR控制器，通過反復(fù)測試選擇合適的Q，R，選擇最佳的參數(shù)對二級倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行了有效的控制，使二級倒立擺在跟蹤輸入方波擾動時(shí)，能夠迅速達(dá)到平衡狀態(tài)，削弱抖振現(xiàn)象，同時(shí)控制擺角的精確度在10-3數(shù)量級，證明文中設(shè)計(jì)的基于LQR方法對二級倒立擺的控制是十分優(yōu)越的一種控制方法。

［1］陳剛，朱石沙，王啟新，等.電液控制技術(shù)的發(fā)展與應(yīng)用［J］.機(jī)床與液壓，2006(4):1-4.

［2］YANG JH，SHIM SY，SEO JH，et al.Swing-up Control for an Inverted Pendulum With Restricted Cart rail Length［J］.International Journal of Control，Automation，and Systems，2009，7(4):674-680.

［3］彭恒，劉白雁，李秋敏，等.基于摹矩陣的倒立擺擺起的最優(yōu)控制［J］.控制工程，2008(S1):151-154.

［4］孫靈芳，孔輝，劉長國，等.倒立擺系統(tǒng)及研究現(xiàn)狀［J］.機(jī)床與液壓，2008，36(7):305-310.

［5］馮帥，馬州，周珂，等.虛擬線性倒立擺模型在行走機(jī)器人雙腿支撐相中的應(yīng)用［J］.清華大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2011(7):960-964.

［6］CASTILLO T B，OBREGóN P G，ESPINOSA G O.Structurally Stable Regulation for a Class of Nonlinear Systems:Application to a Rotary Inverted Pendulum［J］.Journal of Dynamic Systems，Measurement＆ Control，2006，128(4):18-19.

［7］SOOYONG J，WEN JT.Nonlinear Model Predictive Control for the Swing-up of a Rotary Inverted Pendulum［J］.Journal of Dynamic Systems，Measurement＆ Control，2004，126(3):666-674.

［8］王鐵軍，張明廉.單擺甩起時(shí)間優(yōu)化軌跡的計(jì)算方法［J］.系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào)，2004，16(5):1034-1037.

［9］姚中華，孫躍，唐春森，等.連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)滑模趨近律的改進(jìn)［J］.重慶大學(xué)學(xué)報(bào)，2013，36(4):51-55.

［10］YAO Z H，SUN Y，TANG C S，et al.An Improve Sliding Mode Reaching Law for Continuous-time System［J］.Journal of Chongqing University，2013，36(4):51-55.

［11］RONG X，OZGUNER U.Sliding Mode Control of a Class of Under Actuated Systems ［J］.Automatica，2008，44:233-241.