題盡教方始
——從一道習題的糾錯談起

葛琳玲

（浙江省寧波市鄞州區橫街中學 浙江寧波 315000）

題盡教方始
——從一道習題的糾錯談起

葛琳玲

（浙江省寧波市鄞州區橫街中學 浙江寧波 315000）

數學課不僅要進行知識的傳授，更要重視數學思維能力的培養.而思維永遠是從問題開始的.課堂之上如果只是就題論題，不給學生發現問題和提出問題的機會，那么如何能提高學生的數學思維呢？筆者認為，在講解習題時要充分挖掘其潛在的數學價值，并讓學生去發現去提問去探究.因此當貌似解答完一個習題時往往是真正探究才剛剛開始之時.下面筆者就從一道習題的糾錯談起。

⒈習題呈現

習題：在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，設c為最長邊.當時，△ABC是直角三角形；當時，利用代數式和的大小關系，探究△ABC的形狀（按角分類）.

⑶當 a=2，b=4時，判斷△ABC的形狀，并求出對應的 c的取值范圍.

⒉在糾錯中探究正解

易得此題中前兩小題的正解：

但對于第⑶小題的解法卻是五花八門，因此課堂上師生共同在糾錯中探究正解.

生：這種解法明顯是錯誤的，因為沒有考慮三角形的存在性問題.比如當c=1時， 滿足條件但此時△ABC并不存在，更談不上是銳角三角形了.

師：你分析得太對了，還舉反例進行說明，很好！那么要使得△ABC存在，c要滿足什么條件？

師：對這種解法，大家有什么不同的看法嗎？

生：此解法忽略了“c為最長邊”這一條件，c的取值范圍是 4

生：當c=b=4時也滿足“c為最長邊”這一條件，所以c的正確取值范圍是

⒊在變式中悟出通徑

師：如果把題設中的“c為最長邊”去掉，那么第⑶小題的結論會發生怎樣地變化呢？現請同學們分小組探究一下，充分發揮你們的數學才能，每組爭取匯總一個合理的結論.

……

小組結論1：由之前的探究過程知：當c為最長邊時 c的取值范圍是①當時即當時，△ABC是直角三角形；②當時，△ABC是銳角三角形；③當時，△ABC是鈍角三角形.

因此只要再考慮當c不是最長邊時的情況即可.當c不是最長邊時，只能 4是最長邊，因此①當時此時△ABC是直角三角形；②當時，△ABC是銳角三角形；③當時，△ABC是鈍角三角形.

小組結論2：在結論1的基礎上，我們還可以把結論整合一下，發現：①當即或時，△ABC是直角三角形；②當時，△ABC是銳角三角形；③當或時，△ABC是鈍角三角形.

師：太厲害了！在同學們的通力合作探究下，最終得到了一個完美的結論，如果用字母來表示這個結論，那么就能得到解決此類問題的通法.

被告:The first，that Opupa,send the phone number to Nigeria to prosecute.(首先，那個Opupa,把電話號碼送回尼日利亞去起訴。)

⒋在驗證中追求完美

師：到這里我們不僅成功地解答了第（3）小題，而且還深入探究得到了解決此類問題的通性通法.那么此題對我們來說還有繼續探究的價值嗎？

……

生：老師，我們不僅要知其然，更要知其所以然！第（3）小題的探究都是基于第（2）小題的猜想才能成立.那么如何驗證第（2小題的猜想呢？

師：你真是太棒了！“疑是知之始”，提出問題往往比解決問題更為重要！你提出了一個很有價值的問題！為更完美地探究此題指明了方向.接下去我們就來嘗試驗證此猜想，不妨先來證明“三邊長分別為6，8，11的三角形是鈍角三角形”這一結論.

……

生：如圖△ABC中BC=6，AC=8，AB=11，過點 A作 BC邊上的高線交直線 BC于點H.在Rt△ABH中在Rt△ACH中則解得所以△ABC是鈍角三角形.

生：我有不同看法.這樣做已經在圖形上默認是一個鈍角三角形了，因為高線畫在三角形外面，也許高線可以在三角形里面呢？因此除了上述情況，我認為還有一種情況也要加以討論.如圖△ABC中 BC=6，AC=8，AB=11，過點 A作 BC邊上的高線交直線BC于點H.在Rt△ABH中在Rt△ACH中則解得所以此種情況排除.綜上所述，△ABC是鈍角三角形

師：你們的思維真敏捷！考慮問題也很細致全面！除了這種證明方法，以后我們在高中時還會學到余弦定理，用余弦定理同樣可以證明“三邊長分別為 6，8，11的三角形是鈍角三角形”這一結論.同理，任意給出一個三角形，只要知道它的三邊長度就可以判定它的形狀.

師：我們在解決一個數學問題時，千萬不能就題論題，而是要充分挖掘它潛在的數學功能，善于發現問題，敢于提出問題，并能在解決新的問題的過程中通過與他人合作交流提高自己分析和解決問題的能力.

結束語：

《課標》要求學生應當有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程.教師要發揮主導作用，處理好講授與學生自主學習的關系，引導學生獨立思考、主動探索、合作交流，使學生理解和掌握基本的數學知識與技能，體會和運用數學思想與方法，獲得基本的數學活動經驗.

［1］中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.