凸顯數(shù)學(xué)思維價值，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力

【摘 要】數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)。數(shù)學(xué)思維是嚴(yán)密的、有序的。數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)重視數(shù)學(xué)思維教育，高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過程中，應(yīng)給學(xué)生留足思維的空間，提供發(fā)展數(shù)學(xué)思維的機會，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);思維教育;思維價值;思維能力;二項式定理

【中圖分類號】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A 【文章編號】1005-6009（2015）38-0034-03

【作者簡介】張松年，南京市金陵中學(xué)（南京，210005）教師，江蘇省特級教師，正高級教師。

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》指出：“數(shù)學(xué)在形成人類理性思維和促進(jìn)個人智力發(fā)展的過程中發(fā)揮著獨特的、不可替代的作用。數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分，數(shù)學(xué)素質(zhì)是公民所必須具備的一種基本素質(zhì)。”“高中數(shù)學(xué)課程對于認(rèn)識數(shù)學(xué)與自然界、數(shù)學(xué)與人類社會的關(guān)系，認(rèn)識數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、文化價值，提高提出問題、分析和解決問題的能力，形成理性思維，發(fā)展智力和創(chuàng)新意識具有基礎(chǔ)性的作用。”這表明：數(shù)學(xué)價值包括思維價值、應(yīng)用價值、文化價值等多個方面，而思維價值又是數(shù)學(xué)的核心價值，是數(shù)學(xué)學(xué)科獨有的價值;數(shù)學(xué)教學(xué)要培養(yǎng)學(xué)生多種能力，而最終都可以歸結(jié)為數(shù)學(xué)思維能力，或者說，數(shù)學(xué)思維能力是數(shù)學(xué)能力的核心，也是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心。

就中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)而言，如何在課堂教學(xué)中凸顯數(shù)學(xué)思維價值，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力，應(yīng)是每一個中學(xué)數(shù)學(xué)教師必須思考的問題。本文以蘇教版《高中數(shù)學(xué)·選修2-3》“二項式定理”教學(xué)為例，對這個內(nèi)容的教學(xué)進(jìn)行分析，并結(jié)合具體的教學(xué)案例提出教學(xué)建議。

一、凸顯數(shù)學(xué)思維價值

數(shù)學(xué)研究的基本對象就是“數(shù)”和“形”，數(shù)學(xué)研究的基本內(nèi)容是數(shù)量間和空間內(nèi)的關(guān)系和形式。數(shù)學(xué)思維強調(diào)用數(shù)學(xué)的眼光看世界，從思維的層面理解、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的內(nèi)容、意義和方法，在實踐中自覺將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而思考問題、分析解決問題。

數(shù)學(xué)思維的價值是給每一個普通人以數(shù)學(xué)的意識，能夠發(fā)現(xiàn)周圍世界存在的客觀規(guī)律。當(dāng)他面對生活和工作中的事情時，能從數(shù)學(xué)的角度進(jìn)行思考，制訂切實可行的計劃，提出合理的建議。面對現(xiàn)實中的許多事情，有的人總是能善于概括和總結(jié)，事半功倍地處理，就是得益于長期運用數(shù)學(xué)思維的結(jié)果。數(shù)學(xué)的思維價值主要體現(xiàn)在以下幾個方面：從知識和工具的角度來看，數(shù)學(xué)是認(rèn)識自然的基礎(chǔ)，是科學(xué)研究的工具和交流的載體;從思想和方法的角度來看，數(shù)學(xué)促進(jìn)了近代科學(xué)的高速發(fā)展，邏輯證明和公理化體系已經(jīng)成為任何一門學(xué)科數(shù)化自身體系的普遍思想，甚至影響到人文、社會科學(xué)領(lǐng)域;從精神層面來看，數(shù)學(xué)是人類從事實踐活動的行為意識、思維活動和心理狀態(tài)，是一種理性的探索精神，是一種對完美愿望的追求。

數(shù)學(xué)教育的目的之一是通過對概念的抽象性、推理的嚴(yán)密性和理論的應(yīng)用性來培養(yǎng)人的理性精神、思維品格、思辨能力，啟迪人的智慧，開發(fā)潛在的創(chuàng)造力。在高中階段，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)具體做到：（1）努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過程和本質(zhì)，注意對數(shù)學(xué)本質(zhì)的形式化刻畫;（2）講求邏輯推理，通過典型例子的分析和學(xué)生自主探索活動，使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、結(jié)論逐步形成的過程，體會蘊涵在其中的思想方法，追尋數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史足跡，把數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為學(xué)生易于接受的教育形態(tài)。

“二項式定理”是蘇教版《高中數(shù)學(xué)·選修2-3》第一章“計數(shù)原理”第5節(jié)的第1課，是初中數(shù)學(xué)中多項式乘法的延伸，是高中數(shù)學(xué)中兩個基本計數(shù)原理的應(yīng)用。教材在完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2的基礎(chǔ)上，通過對等式（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3，（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4的觀察，提出“你能寫出（a+b）n（n∈N*）的展開式嗎”這一核心問題。我們看到，這一編排方式為實現(xiàn)上述目標(biāo)提供了契機。

二、培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力

數(shù)學(xué)是思維的體操。在高中階段，很多數(shù)學(xué)問題都可以根據(jù)某些假設(shè)，經(jīng)過邏輯推理得到結(jié)論。學(xué)生應(yīng)當(dāng)能從一些特殊的事例中，發(fā)現(xiàn)一般的規(guī)律，找到一些內(nèi)在的關(guān)系，并可以對總結(jié)出的結(jié)論按照一定的程序絲絲入扣地給予證明，甚至列出等式對未知的對象進(jìn)行求解。要達(dá)到這樣的目標(biāo)，教師在教學(xué)中就應(yīng)當(dāng)注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)注意提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，這是數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一。人們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和運用數(shù)學(xué)解決問題時，不斷地經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、空間想象、抽象概括、符號表示、運算求解、數(shù)據(jù)處理、演繹證明、反思與建構(gòu)等思維過程。這些過程是數(shù)學(xué)思維能力的具體體現(xiàn)，有助于學(xué)生對客觀事物中蘊涵的數(shù)學(xué)模式進(jìn)行思考和做出判斷。數(shù)學(xué)思維能力在形成理性思維中發(fā)揮著獨特的作用。”

數(shù)學(xué)來自于實踐，從林林總總的現(xiàn)象中抽象出本質(zhì)，并對抽象出的結(jié)論進(jìn)行邏輯論證。抽象是人類創(chuàng)造性思維的最基本特征，而數(shù)學(xué)每前進(jìn)一步，都離不開嚴(yán)密的邏輯推理。推理的嚴(yán)密性在數(shù)學(xué)的發(fā)展過程中不可或缺。推理一般包括合情推理和演繹推理。合情推理是根據(jù)已有的事實和正確的結(jié)論、實驗和實踐的結(jié)果及個人的經(jīng)驗和直覺等推測出某些結(jié)論的推理過程，歸納、類比是合情推理常用的思維方法。在解決問題的過程中，合情推理具有猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論、探索和提供思路的作用，有利于創(chuàng)新意識的培養(yǎng)。演繹推理是根據(jù)已有的事實和正確的結(jié)論，按照嚴(yán)格的邏輯法則得到新結(jié)論的推理過程。合情推理和演繹推理之間緊密聯(lián)系、相輔相成，對培養(yǎng)人的發(fā)散性思維和創(chuàng)造性思維具有重要的作用，人類的發(fā)明創(chuàng)造始于感性的發(fā)散性思維，止于理性的收斂性思維。

教材從（a+b）2、（a+b）3的展開式中每一項是如何得到的入手，對難點進(jìn)行突破，指出：由于（a+b）2=（a+b）（a+b），所以（a+b）2的展開式中的每一項都是從兩個括號中各取一個字母的乘積;由于（a+b）3=（a+b）（a+b）（a+b），所以（a+b）3的展開式中的每一項都是從三個括號中各取一個字母的乘積。當(dāng)然，這樣得到的項有同類項，通過合并同類項，就得到了相應(yīng)的展開式。在此基礎(chǔ)上，通過類比可知：一般地，對任意的n∈N*，由于（a+b）n=（a+b）（a+b）…（a+b），所以（a+b）n的展開式中的每一項都是從n個括號中各取一個字母的乘積，如果取了r（r=0，1，2，…，n）個b，即從n個括號中選取了r個括號，每個括號中取b，那么必定從余下的n-r個括號中都取a，這樣形成的項就為an-rbr。由于這樣的取法共有C■■種，所以an-rbr共有C■■個，表明（a+b）n的展開式中，an-rbr的系數(shù)為C■■，從而得到了二項式定理：（a+b）n=C■■an+C■■an-1b+…+C■■an-rbr+…+C■■bn，其中n∈N*。右邊的多項式叫作（a+b）n的二項展開式，式中的C■■an-rbr叫作二項展開式的通項，用Tr+1表示，即展開式的第r+1項：Tr+1=C■■an-rbr，其中的系數(shù)C■■（r=0，1，2，…，n）叫作二項式系數(shù)。

上述對二項展開式的探求過程，從特殊到一般，將合情推理（歸納與類比）和演繹推理有機地結(jié)合起來，既讓學(xué)生感受了數(shù)學(xué)研究與發(fā)現(xiàn)的過程，又培養(yǎng)了學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度和鍥而不舍的數(shù)學(xué)理性精神，激發(fā)了他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動力。

三、課堂教學(xué)建議

現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展表明，數(shù)學(xué)教學(xué)要倡導(dǎo)自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)方式，這些方式有助于發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為在教師引導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”過程。基于上文中的分析，筆者建議在課堂教學(xué)中應(yīng)提出如下問題，逐步引導(dǎo)學(xué)生深入思考。

（1）（a+b）n（n∈N*）能展開嗎？怎么展開？

（2）（a+b）n（n∈N*）的展開式有多少項？你是怎么發(fā)現(xiàn)的？

（3）（a+b）n（n∈N*）的展開式中各項的次數(shù)有什么特點？你是怎么發(fā)現(xiàn)的？

（4）（a+b）n（n∈N*）的展開式中各項的系數(shù)有什么特點？你是怎么發(fā)現(xiàn)的？

（5）對于上面的幾個問題，你遇到困難了嗎？對于（a+b）n（n∈N*）的展開式，還可以怎么理解？

當(dāng)然，在實際教學(xué)過程中也發(fā)現(xiàn)學(xué)生一般很難把上述幾個問題聯(lián)系起來回答，對于問題（1）的回答必定是“能，用多項式的乘法展開”，這種回答是基于他們對“冪”的意義的理解;而對于問題（2）的回答必定是“n+1項，通過觀察、歸納得到”;對于問題（3）的回答必定是“都是n次，通過觀察、歸納得到”;但對于問題（4）的回答就不會那么直接了，學(xué)生最終會找出這些系數(shù)與指數(shù)的關(guān)系，但很難一下子說清楚。也許有的學(xué)生會從n=2，3，4時的展開式是按照a的降冪方式（或b的升冪方式）呈現(xiàn)的前提下，發(fā)現(xiàn)（a+b）3=（a+b）2（a+b）=（a2+2ab+b2）（a+b）=a3+3a2b+3ab2+b3，其中的項a2b可由第一個括號中的2ab與第二個括號中的a相乘得到，也可以由第一個括號中的a2與第二個括號中的b相乘得到，從而a2b的系數(shù)為2+1=3…;（a+b）4=（a+b）3（a+b）=（a3+3a2b+3ab2+b3）（a+b）=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，其中的項a3b可由第一個括號中的3a2b與第二個括號中的a相乘得到，也可以由第一個括號中的a3與第二個括號中的b相乘得到，從而a3b的系數(shù)為3+1=4…，這樣下去，會得到后面將要學(xué)習(xí)的“楊輝三角”，學(xué)生會感覺到這其中有一種規(guī)律存在，但無法用具體的數(shù)學(xué)語言或符號表達(dá)出來。問題（5）就是讓學(xué)生換個角度思考問題：孤立地對每個終端對象（在這里是展開式）的觀察往往是表面的、膚淺的，而對對象產(chǎn)生的過程（在這里是每一項的形成）進(jìn)行觀察、分析，看到的則會是本質(zhì)。只有找到項的形成方式：由于（a+b）n=（a+b）（a+b）…（a+b），所以（a+b）n的展開式中的每一項都是從n個（a+b）中各取一個字母的乘積，才能發(fā)現(xiàn)（a+b）n的展開式中共有2n項，每一項的次數(shù)都是n，其中有些項是同類項，an-rbr（r=0，1，2，…，n）可以看作是從n個（a+b）中選取了r個（a+b），每個（a+b）中取b，從余下的n-r個（a+b）中都取a，經(jīng)過乘積而得，這樣的取法共有C■■種，所以an-rbr的系數(shù)就是C■■。

如果按照b的升冪這一規(guī)則排列，那么（a+b）n的展開式的表達(dá)方式就是唯一的、確定的，就不可能產(chǎn)生歧義或其他理解，就成了定理，從而C■■就反映了二項式（a+b）n的展開規(guī)律，才稱為“二項式系數(shù)”。

二項式定理的本質(zhì)是一個數(shù)可以有兩種不同形式的表達(dá)：冪的形式和多項式的形式，簡單地說，就是“算兩次”。盡管表達(dá)形式不同，但數(shù)值始終相等。根據(jù)二項式定理，不但可以求出（a+b）n的展開式，而且可以直接寫出某個特定的項。

綜上，筆者始終以為，數(shù)學(xué)思維的教育意義，不是為了培養(yǎng)數(shù)學(xué)家，而在于培養(yǎng)人的數(shù)學(xué)觀念和理性精神，為每一個未來公民的發(fā)展打基礎(chǔ);在于培養(yǎng)人積極地尋找、概括一定范圍內(nèi)的事物的共同特征或一定階段內(nèi)事物變化規(guī)律的意識;在于培養(yǎng)人本質(zhì)地看問題的意識，從一定的角度把事物的相關(guān)的質(zhì)提取出來;在于培養(yǎng)人的良好思維習(xí)慣，形成良好的思維策略，增強人的反應(yīng)能力。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，就是要學(xué)會邏輯地觀察、分析、思考問題，使人有條理地按照事物發(fā)展的邏輯順序處理問題，有條不紊地安排工作和生活。

數(shù)學(xué)思維教育就是要為學(xué)生創(chuàng)造最能激發(fā)思維的情境，促使學(xué)生進(jìn)行循序漸進(jìn)、不斷深入的思考，促進(jìn)學(xué)生用數(shù)學(xué)頭腦對待問題，使理性思維得到健康發(fā)展。

在數(shù)學(xué)課堂上，如何拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)觀念，如何有效地促成學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，如何培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性、廣闊性、獨創(chuàng)性，訓(xùn)練學(xué)生的抽象思維能力和形象思維能力，是需要每個教師做出思考與選擇的問題。所以教師在教學(xué)過程中應(yīng)當(dāng)為學(xué)生設(shè)置合理的、有助于學(xué)生思維發(fā)展的臺階，應(yīng)多給學(xué)生留一點思維的空間，給學(xué)生多一點嘗試的機會，讓他們跳一跳能夠達(dá)到一個更高的層次。

【參考文獻(xiàn)】

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