數學視野下的3D打印課程設計

陳揚帆

課程設計與課程定位

本課程是浙江省溫州中學面向高一年級開設的一門理論與實踐并重的知識拓展類課程。課程以3D建模為落腳點，主要介紹如何在3D建模軟件（OpenSCAD）中創建3D模型，以數學方法描述物體和它們之間的空間關系，用數學函數、數學運算符號與計算機語言，創建立體三維模型，并用數學中的相關知識去解釋、分析模型的形成和結構特點，使學生在獲得知識的同時，提高綜合處理問題的能力，培養學生的創新意識和創新能力。

與傳統數學教學稍顯不同的是，本課程旨在鋪設一個3D建模的平臺讓學生明白數學有什么用，如何用數學方法解決問題，即培養學生如何從數學視角來觀察身邊的世界。

課程目標：培養學生掌握常用SCAD語言以及輔助工具的使用；能繪制中等復雜程度的3D模型；了解運用數學思想進行3D建模的一般過程，掌握幾種常用函數模型，并能夠利用模型做簡單的運用；提高學生推理論證、運算求解、數據處理、語言組織、語言表達等基本能力；提高其科學地提出、分析和解決問題的能力。發展數學應用意識和創新意識，力求對現實世界中蘊涵的一些數學模式進行思考并做出判斷。

本課程以學生上機操作的方式，分為“初識3D打印”“3D數學博物館”“SCAD基本操作”“SCAD基礎立體模型”“SCAD基本語言”“SCAD綜合應用”“認識Google SketchUp”七個專題共18個課時。

課程開展形式以小組為單位，3～4人一組，完成平時作業及期末作品。

本課程的結課作業為“你眼中的溫州中學”。具體如下：

①小組為單位，討論決定最終的目標模型（可以是溫州中學的某個建筑，如英語角、行政樓；也可以是某個裝飾物；或者自行設計一個校園建筑物）；

②帶上工具（紙、筆、相機等）在校園中記錄下必要的數據（如建筑的比例等），畫出平面圖、三視圖；

③分工合作，用OpenSCAD或SketchUp做出模型，并用3D打印機打印出成品。

課程特色

1.數學的應用性與科技新技術（3D打印）巧妙結合

本課程以3D打印為背景，以3D建模為落腳點，用數學方法描述物體和它們之間的空間關系，用數學函數、數學運算符號與計算機語言創建三維立體模型。

例如，在第二章“3D數學博物館”第一節“誰讓數學‘活了”中，運用3D打印技術將一些有趣的數學模型具體化，如分形幾何體（如圖1）、莫比烏斯環（如圖2），讓學生了解拓撲領域，走近數學，讓原本枯燥的數學學習變得生動有趣。

2.數學建模的初體驗

數學的重要應用便是建模，本課程就是以培養學生建模能力為目標之一的課程。從第二章開始，介紹如何從二維平面建模拓展到三維空間模型的建立，引入空間直角坐標系，學會運用坐標系在3D空間中精確度量位置、距離和角度。

第四章從四個基本幾何模型（球體、長方體、圓柱體、多面體）的建立開始，掌握決定模型形狀的幾個參數。第五章中鏡面對稱（mirror）語句的運用，需要學生有較強的空間想象能力。

第六章中介紹幾個集合運算（交、并、補），如圖3中兩個模型的交集便是圖4所示的形狀，這是高中數學必修一“集合”一章的最恰到好處的直觀感受和實際應用。

在第六章“常見的數學案例”中，鼓勵學生將高中階段所學習的幾個常見的函數用OpenSCAD進行描述、建模。

3.探究學習與自主學習為主體

本課程教學地點在微機房，每節課每位學生都能自己操作嘗試，以小組為單位，教師以引導、釋疑為主，側重探究性學習和討論學習，引導學生自主思考，創新設計。

4.教與學的開放性與發展性

每節課都有一個開放性的作業，學生在上機操作、小組討論、完成作業的過程中往往能夠探究出超出本節課教學目標的知識，而教師也可以通過課堂上學生的發言、檢查學生作業的過程發現問題，并進一步完善本課程的教學。

案例——構建一個亭子

本節課選擇了一個切入點——旋轉擠壓（rotate_extrude），通過一個實例“構建一個亭子”，運用問題鏈層層深入，啟發學生明確空間體形成的一個過程規律。

本節課旨在培養學生對立體幾何體從二維到三維形成過程的理解，提高學生的空間想象能力，并挖掘學生的創造力，提高學生對數學的學習熱情。

在課堂開始，帶領學生回顧之前所學的幾類基本語言，包括基本模型（方體、球體、圓錐體、多面體等）、基本動作語言（位移、旋轉、對稱等）以及兩類基本運算（求交和求差），在此前的學習基礎上，啟發學生能否用已有的知識建立一個具體的模型——亭子（如圖7）。

課堂活動以小組討論為主，之后小組代表上臺闡述本小組對于亭子的建構的設計方案以及過程中可能會遇到的一些技術問題，得到的結論是：若想使模型建構得更加精致，語言更加簡潔，我們還需要學習新的語言，從而引入“旋轉擠壓”。

在介紹“旋轉擠壓”的語法及原理后，以圓錐體的形成為例，教師現場操作如何把直角三角形繞其直角邊旋轉一周得到圓錐體，讓學生對此語言有一個直觀和清晰的認識。

接下來，給出學生三個問題。問題一：如何構建一個圓柱體——引導學生發現多邊形中“點”的設定是有一定順序的；問題二：如何做一個內空的頂蓋——強調平面圖形在形成三維圖形中的重要性；問題三：如何做一個復雜的多邊形頂蓋——強化學生訓練“旋轉擠壓”語言，以便熟練操作。這三個問題，逐步給出，每一個問題均由學生自己探索后上臺演示。

最后環節，讓學生以小組為單位，建立一個亭子的模型，并給予展示。

整節課用幾何體的變換，從點到線，進而到面的變形，讓學生充分發現空間幾何體內在的聯系，提高學生的空間變換能力，將3D課程與數學學科特色相結合，以3D打印為立足點，真正將數學“學”在生活，“用”在生活。