“教育數學”研究中的問題與建議

王成營

（湖北工程學院 教育與心理學院，湖北 孝感 432000）

“教育數學”是張景中院士（1989）參照歐幾里得的《幾何原本》、柯西的《分析教程》和布爾巴基的《數學原理》等諸位教育數學大師的著名教材范例，創造性地提出，并積極地倡導的一個全新的數學教育理論，并出版了著作《從數學教育到教育數學》[1].教育數學概念提出伊始就被寄予厚望，被認為是提高中國數學教育水平、拓廣學生視野、改變數學教學方法、降低數學學習難度的可行方案.為了實現教育數學的學科化，在全國數學界、教育界等同行專家的共同努力下，中國高等教育學會于2004年5月15日專門成立了教育數學專業委員會.然而，在中國知網（CNKI）中檢索近30年來的期刊論文，有關“教育數學”的研究論文僅有十幾篇，其影響未及預期.既然數學被認為是最難學、最難懂的課程，而教育數學提供了一個可以降低數學學習難度，提高數學教學效率的研究理論和研究方向，為什么關注的人如此之少，教育數學的學科化進程如此緩慢呢？研究者在綜述教育數學研究現狀的基礎上，針對其中的幾個問題，提出了幾條建議與同仁商榷，希望能為教育數學研究注入些許活力，使教育數學能夠走入課堂，深入一線教師心中，其不妥之處請張院士及關注教育數學發展的專家批評指證.

1 教育數學的研究現狀

1.1 教育數學內涵方面的研究狀況

在國外，20世紀50年代，美國教育心理學家布魯納曾經依據認知學習理論發起了“新數學運動”，將全部數學歸結于代數結構、序結構和拓撲結構3種母結構，本質上也是對數學知識的一種結構化和系統化改造，但這種改造主要是基于心理學立場，而不是教育學立場.除此之外，國外尚未發現與“教育數學”相關的研究成果和文獻.在國內，張景中院士提出教育數學概念之前，徐利治先生（1949）最早注意到文化數學的重要性，認為數學哲學、數學史與數學教育的結合是數學教育改革的一個重要方向，是培養學生數學思維能力的關鍵[2].鄭毓信（1999）分析了數學史、數學哲學與數學教育的重要聯系，提出并建構了數學文化學的基本框架[3].在張景中院士提出教育數學概念后，鄭余梅（1999）首先對《從數學教育到教育數學》的觀點表示贊同，認為書中所提出的問題具有普遍意義，數學教育和教育數學代表著兩個不同的研究領域[4].沈文選（2003）認為教育數學是與純粹數學、應用數學并列的第三個研究領域，主張教育數學的研究可先從數學現實、數學難點、數學新點等方面著手，然后再進行理論體系建設[5].為了幫助大家更好地理解“教育數學”，張景中院士（2004）比較了教育數學與數學教育的關系，提出了教育數學研究的3條原理：在學生頭腦里找概念；從概念里產生方法；方法要形成模式[6].沈文選（2004）論述了數學教師專業化與教育數學研究的關系，認為數學教師專業化的措施之一是深入進行教育數學研究[7].張奠宙（2005）認為數學有原始形態、學術形態和教育形態3種形態，教育數學是具有教育形態的數學[8].張雄（2006）認為數學分為研究性數學和教育性數學，研究性數學主要注重科學邏輯的序，而教育性數學則注重科學邏輯的序與認知心理的序之間的完美結合，是在研究性數學基礎上的再創造、再提高[9].黃龍源、肖錫錳（2007）則認為教育數學是一門涉及數學方法論、數學課程論、數學教育學以及教育經濟學等學科的交叉性、邊緣性很強的學科[10].

1.2 教育數學應用方面的研究狀況

除了“教育數學是什么”的討論外，有學者嘗試對教育數學進行應用性研究.李光華、黃兒松（2006）從教育數學的視角探討了《高等數學》的教學方法[11].訾玉梅（2007）根據教育數學思想探討了中學數學教改問題[12].韓云瑞、劉慶華（2005）[13]與王成營（2008）[14]相繼探討了教育數學觀點下的高等數學教材改革問題.沈文選、吳仁芳（2009）探討了教育數學研究的行動綱領和主要途徑問題[15].2010年，張景中院士牽頭、組織知名數學家、院士、名師、專家、科普作家執筆撰寫了《走進教育數學》叢書，著力改造傳統數學體系，使之更適宜于教學和學習需要，從學術高度、歷史高度、文化高度和欣賞高度設計取材，謀篇布局，代表著教育數學自提出以來的最大成果.

2 教育數學研究中存在的問題

深入考察教育數學的研究成果可以發現，阻礙教育數學發展的原因主要在于兩個方面.

2.1 教育數學的研究定位存在偏差且距離數學課堂教學較遠

一方面，研究教育數學的目的是教育取向的——教育數學被看作是“教育形態的數學”（張奠宙）、“教育性數學”（張雄），或者是“交叉性、邊緣性很強的學科”（黃龍源）.然而，這些研究結論都屬于定性研究，沒有從根本上回答“教育數學是什么”的問題，也無法讓人們獲得如代數學、幾何學那樣，有明確對象和內容的認知觀念；另一方面，張院士所呈現出來的教育數學是數學取向的——“教育數學”被明確界定為“教育數學家”重新構造的數學“經典教程”或教育性數學材料，是一種“公理化”的數學，因而其本質上仍屬于基礎數學范疇，需要“數學教育家”進一步進行教學法的加工，才能形成數學教材，才能進入課堂為師生服務.可見，研究教育數學的目的與實際成果之間存在明顯偏差.事實上，不僅“教育數學家”與“數學教育家”在現實中難以區分和界定（通常是指同一批人），而且建立在少數數學概念或經驗（比如面積或無窮）基礎上的“教育數學”在形式上與現行數學教材差異顯著，在內容上距離數學課堂教學太遠，廣大的數學教師無法直接從教育數學中獲益，自然難以吸引他們關注教育數學研究.

2.2 實踐取向的教育數學研究范式尚未形成且一線數學教師無從把握

一方面，從張院士關于將“平面幾何”建立在“面積”基礎上，將“極限概念和實數理論”建立在“無窮”基礎上的研究范式看，教育數學的研究范式是理論取向的，其中有很多數學知識（如“共邊比例定理”、“共角比例定理”、“無界不減列”[6]等）與現行數學教育內容是脫節；另一方面，張院士沒有提供從教育數學（教育性的數學材料）到數學教材，再到數學課堂教學的研究范式，一線數學教師不僅感覺不到教育數學與數學教學的聯系，更無法將其應用于數學教育實踐.

3 教育數學研究未來發展的建議

綜上所述，研究者認為教育數學應該回歸它的本然——以服務數學教育，提高數學教育效率和質量為目標的特殊的數學知識組織形態，教育數學研究應該為數學教與學提供有效的、可操作的數學呈現方式和操作模式.為此，研究者提出如下建議，與同仁商榷.

3.1 建議調整教育數學的研究主體

依據張院士的觀點，數學家們創造的零散的數學成果，需要教育數學家依據“三條原理”進行再創造，形成系統化的教育數學，再經由數學教育家進行教學法的加工，形成師生共同使用的數學教材.其中需要思考這樣幾個問題：首先，數學教育家與教育數學家除了字面上的區別外，有什么本質不同？數學教材的編著者如何整合數學教育家、教育數學家、數學教師的教育思想和理念？其次，教育數學家如何“從學生頭腦里找概念”？如果找到的學生頭腦中的“概念”千差萬別怎么辦，又依據什么確定以某個概念（比如面積）作為建構數學知識體系的基礎概念呢？再次，不論是在教育數學家對數學成果的再創造過程中，還是數學教育家對教育數學的教學法加工中，一線的數學教師和學生在其中應該扮演什么樣的角色，又如何反映他們的實踐需求呢？最后，如果教育數學的內容體系與現行數學教材的內容體系差別巨大，是系統改革現有的數學教育教學體系，使其適應教育數學需要，還是轉變教育數學研究方向，使其服務于當前的數學教育教學需要呢？如果一線的數學教師和學生不能成為教育數學的建構主體，教育數學就很難實現其既定目標.因此，建議擴充教育數學的研究主體，為一線教師預留相應的位置和空間.

3.2 建議重新定位教育數學

研究者認為，從教育學視角，數學可劃分為經驗數學、基礎數學、應用數學、人文數學4種形態.其中，經驗數學是指人們在日常生活、生產實踐中獲得的數學經驗，它是對情境的數學感知，是一種隱性的數學知識，是進行有效數學教育教學的基礎；基礎數學也叫純粹數學，是按照數學理論內部的發展需要，或未來可能的應用需要，對數學結構本身的內在規律進行研究所形成的理論知識，它以純粹形式（抽象的數學符號系統）研究事物的數量關系和空間形式，而不要求同解決其它學科的實際問題有直接的聯系，是數學教育教學的核心內容；應用數學是以基礎數學為工具，去解決工作、生活中的實際問題過程中所形成的理論、模型和方法的總稱，主要內容是研究如何運用基礎數學知識解決科學研究中的各種實際問題，是數學教育教學的重要內容.人文數學是從文化的立場出發，通過數學故事、數學人物、數學問題、數學方法、數學應用、數學史、數學美與數學哲學等多種材料、多種形式、多種視角，努力展示抽象的基礎數學與應用數學中所蘊含的豐富的人文內涵，實現數學科學與人文科學的交相輝映、融合，是數學教育教學的重要途徑和手段.例如，楊渭清[16]、張曉拔[17]、康世剛、胡桂花[18]等分別探討了數學史在數學教育中的價值和與數學教育的整合問題.教育數學不是獨立于以上4種數學形態的一種新的數學形態，而是它們的融合，是基于4種不同的數學視角對教材中的數學知識的多元意義建構（如下所示）.

教育數學不應是由那位或幾位數學教育家或教育數學家構造的一種新的數學知識體系，而應從服務數學教育教學實踐出發，根據數學教育教學實踐中的信息反饋，對數學教材進行教育取向的再加工，使其能夠更有效激發學生已有的數學經驗，更有助于學生對數學知識的理解和建構的一種綜合性數學知識形態.因此，教育數學研究的核心首先是依據教育實踐中的反饋信息對現有數學教材中的知識進行“多元意義建構”，為師生“提供一個基本的意義建構框架或模式”[19]，幫助學生對數學知識形成結構性、整體性認識，其次才是針對現有數學教材中存在的問題對數學教材中的數學知識進行重構.

3.3 建議重構教育數學的研究范式

當前，圍繞初等數學主要有3種研究范式：一是以《走進教育數學》叢書為代表，以公理化思想為指導，基于張景中院士的“三條原理”進行數學知識再創造的研究范式；二是以德國數學家F·克萊因的名著《高觀點下的初等數學》為代表，以高等數學的觀點來認識和理解初等數學知識的研究范式；三是以陳傳理的《競賽數學教程》為代表，以初等數學的知識和方法來研究和解決高等數學問題的研究范式.然而，這3種研究模式通常是服務于數學教師培訓、“數學培優”或“數學競賽”的，不能直接服務于數學課堂教學，這在一定程度上不符合教育數學研究的初衷.

為此，研究者建議根據數學教育教學的實踐需要重構教育數學的研究范式.首先，數學知識在形式上表現為不同的數學符號序列、組合或結構聯結而成的符號文本，所以教育數學研究應注意分析數學文本符號的結構特征，探討數學文本符號的“要素結構”、“聯結結構”、“意義結構”[20]，有效防止學生發生感知性錯誤.其次，數學知識在內容上表現為由數學概念、數學命題、數學問題3種數學知識類型構成的數學知識結構，所以教育數學研究應根據不同類型知識的特點探討不同的研究范式；再次，數學知識在理解過程中存在數學經驗水平、數學知識水平、數學知識結構水平、數學思想方法水平4個不同層次，教育數學研究應在每一種研究范式中區分出4個層次，以便于教師準確判斷學生的理解水平，進行針對性的數學教學設計；最后，不論是哪一種研究范式，教育數學研究都應考慮數學知識的由來（發展歷史）、結構（構成要素）、類型（分類體系）、模型（知識模塊）、方法（思維模塊）5個方面的問題，引導學生全面、深刻地理解和掌握數學的知識與技能、過程與方法，幫助學生形成科學的數學情感態度與價值觀.

3.4 建議教育數學研究與數學教育教學模式變革密切結合

教育數學理念提出的初衷是為了解決數學教育教學實踐普遍存在的數學“難學”、“難懂”問題，“教育數學的目標是把數學變容易”[21].然而，數學是否變得“容易”不是由數學自身屬性決定得，而是由數學與學習者的之間的認知關系決定的.傳統的數學知識選編模式是建立在教育基本原理和兒童心理發展規律基礎上的，凝聚著歷代數學教育家的智慧，已為廣大數學教師所熟悉、掌握，教育數學研究應根植于中國數學教育實際，解決數學教育教學中的實際問題，不應不顧當前的國情、社情、師情、學情，另起爐灶，為數學教師們呈現完全不同的數學知識.20世紀50年代，由美國數學教育家布魯納主導的“新數學運動”的實踐歷史表明，如果數學教育改革顛覆傳統、推倒重來，其影響是深遠.張院士改造傳統的幾何知識處理模式，建立起一套以“面積”為主線的新方法、新體系，雖然可以引導學生從“面積”這個中心出發，到達平面幾何的各個角落，“使幾何問題也像解代數方程一樣有章可循”[1]，但這種新方法、新體系更適合部分重點中學師生的拓展學習，不能滿足普通學生的數學教育教學需要.因此，教育數學研究不應局限于數學領域，著力對數學成果的再創造，而應與數學教育研究相結合，著力于對數學成果的教育學改造.

教育數學的研究成效最終要到數學教育教學實踐中去接受檢驗，因而如何變革傳統的數學教育教學模式也應成為教育數學的研究內容.數學知識區別于其他知識的特征主要包括符號性、抽象性、結構性、邏輯性、精確性.能否獲得數學文本符號背后隱含的數學意義，能否將獲得的數學意義組成明確的數學結構模型是破解數學“難學”、“難懂”問題的關鍵.具體到數學問題解決中，學生“讀不懂”數學符號就無法明確題意，“組不成”數學模型就無法確定解決方法.傳統數學教育教學注重數學知識的系統講解，恰恰忽視了“數學符號意義獲得能力”[19]的培養和“數學知識結構”的建構.因此，教育數學研究應與數學教育教學模式改革結合起來，逐步培養和提高學生的以“數學符號意義獲得能力”和“數學知識結構建構能力”為核心的數學自主學習能力和數學創新能力.

教育數學研究與數學教育研究的結合主要表現在研究成員的構成、研究問題的選擇、研究成果的檢驗3個方面.在研究人員的構成上，教育數學研究團隊應包括數學史、基礎數學、應用數學、數學哲學、數學美學、數學思想方法等方面的專家與不同類型、不同層次學校的一定數量的師生，以保障教育數學研究能夠取得具有廣泛共識的研究成果.在研究問題的選擇方面，宜采取“民主集中制”：先由研究團隊成員基于各自立場提出教育數學研究的主要課題，再在集體討論、有效整合的基礎上，共同確定教育數學研究的核心課題與課題研究的先后次序.在研究成果的檢驗方面，教育數學研究團隊應密切合作：一方面，在理論研究與方案設計中，來自的一線的師生要充分發揮自己的經驗優勢，為數學和數學教育專家提供修改建議；另一方面，在方案實施中，專家要進行全程指導，將方案的設計意圖真正轉變為一線師生的數學教育教學活動行為.

綜上所述，“改造數學使之更適宜于教育”[21]是教育數學的終極任務.“教育數學”不應以歐幾里得的《幾何原本》、柯西的《分析教程》、拉格朗日的《解析函數論》那樣的純數學著作為研究“藍本”，而應以改造現行數學教材，使之更有效地服務于數學教育教學實踐為研究目標.教育數學不應是為數學教育家提供的待加工的“數學材料”，而應是為廣大師生提供的易于“消化和吸收”的“數學食材”.教育數學只有實現這種研究轉向，才能受到廣大師生的歡迎，取得應有的社會效益.

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