不同思維類型對數學解題的影響研究

張躍紅

（南京師范大學附屬中學，江蘇 南京 210003）

1 問題提出

思維類型的研究由來已久.美國學者安東尼·格里高根據知覺的具體與抽象，規則的次序與隨機將人類的思維分成了4種：具體而有序的思維、抽象而有序的思維、具體而隨機的思維、抽象而隨機的思維[1].具體分類及其特征如下：

安東尼的研究受到廣泛的重視，在許多學科學習研究中被引用.目前，思維類型在數學學科對學習產生影響的研究，主要是針對單一類型的思維.比如，發現性思維的調查分析[2]、數學創新思維的魅力[3]、學生創造力發展的實驗研究[4]、中學生數學學習中抽象概括的思維障礙研究[5]，等等.那么，這4種思維類型對數學學習的影響，特別是它對數學解題的影響是怎樣的？就此類問題進行的針對性研究尚顯匱乏.鑒于此，從實證研究的角度探討不同思維類型對數學解題的影響狀況，以期獲得發展思維能力、提高解題效能的策略與建議.

2 研究方法

2.1 研究目的

通過對不同思維類型學生解決問題的過程分析，了解學生解決問題過程中的思維方式，引導學生在解決問題過程中充分發揮自己的思維優勢，揚長避短.同時，在教學中可以因材施教，給學生提出合理性建議，幫助他們發展思維能力，提高學習效率.

2.2 研究對象

考慮到研究的可操作性和代表性，選取南京師范大學附屬中學高一年級的4個班（2個普通班和2個實驗班），高三年級2個班（1個物生普通班和1個物化實驗班）.每班40人，共計240人.

其中，高一實驗班的成績明顯高于普通班，歷次考試的班級均分（滿分100分）的差值在10分左右；高三物化實驗班是南京師范大學附屬中學高三年級成績最好的班級，歷次考試與物生普通班的均分（滿分200分）相差25分左右.

選擇不同年級的學生參與測試的目的是，統計分析思維類型是否會隨著年齡及所學知識的豐富而有所改變；選擇不同層次的班級參與測試的目的是，統計分析學習成績是否與思維類型有著必然的聯系.

2.3 研究過程

研究工具：采用的是2014年3月19日舉行的“中法中學生數學交流活動”測試題目中的第6題進行測試.

如圖，四邊形ABCD四個頂點的坐標為A(-4, 2)、B(2,-6)、C(3, 6)、D(1, 2).請在答題紙對應圖中畫出這個平面直角坐標系，并敘述作法.

此題目的解法眾多，且不同解法在思考角度上有較大區別，能很好地體現不同思維類型的學生在解決相同問題時反映出的差距，有利于問題的研究.

測試時間及要求：所有學生答題時間均為15分鐘，不分年級與層次.要求學生寫出詳細的解答過程，如若不能將題目完整解答，也請寫出自己或多或少的想法.

測試結束后，收回有效試卷（非空白卷）240份.之后，將所有有效試卷進行分類統計分析.

3 數據統計與分析

在收回的有效試卷中，其中有52份（高一普通班27份，實驗班25份）未得到正確答案，其余的188份試卷全部正確，正確率為78.33%.高一普通班的正確率為66.25%，實驗班的正確率為68.75%；高三兩個班的正確率均為100%.高三與高一學生完成本題的正確率差距較大，而同一年級的差距不大.通過統計，正確解答的主要方法共有12種.而在12種解法中，主要集中在方法3和方法6.采用方法2的人數最少，其他方法人數相差不多.每種方法獲得滿分的人數及所占比例見表1.

表1 測試結果

結合安東尼提出的4種思維類型，經過對12種方法的比較分析，進行了如下劃分.

3.1 具體而有序的思維

具體而有序的思維是有條理的、有序的、線性的，即思維沿著由低到高、由淺到深、由遠到近的程序一步步推進，是一種單向的、單維的，缺乏變化的思維方式.他們的解題過程往往是從模仿入手，通過對知識的內化，能形成良好的解題習慣[6].

方法1：如圖1，以A、B、C、D四點為圓心，分別以、2、3、為半徑作圓，4個圓的交點即為原點.又因為A、D兩點的縱坐標相等，所以x軸為過原點且平行于AD的直線，y軸為過原點且垂直于AD的直線.最后，根據各點坐標值的大小確定x軸的正方向向上，y軸的正方向向左.

方法2：如圖2，由A、D兩點的縱坐標相同，可知x軸平行于直線AD，y軸垂直于直線AD.又線段AD的長為5個單位，P為其中一個五等分點，過點P作AD的垂線即為y軸，再將點P向右移動2個單位長度，得到原點，過原點作y軸的垂線為x軸，最后確定坐標軸的正方向.

這兩種方法體現的是具體而有序的思維特點.

圖1 方法1圖

圖2 方法2圖

方法1，根據坐標系的定義，按著先確定原點再確定坐標軸的順序，按部就班的完成.在確定原點時，沒有突出某些點的坐標的特征，4個點坐標一起使用.

方法2，是按照先確定坐標軸再確定原點的順序完成的.在確定坐標軸時，緊緊圍繞A，D兩點坐標進行，沒有考慮其它點的坐標特征.

可以看出，具有此類型思維特征的學生，在解決數學問題時，思維方式比較單一，不善于聯系各個點之間的關系以及多角度觀察已知條件，要么4點平等對待，要么只關注其中的兩個點，思維的發散性偏弱.

從統計結果來看，使用方法1的學生有9人，方法2僅有1人.不同年級相比，高一所占比例偏高；不同層次相比，實驗班與普通班基本相同.其中，使用方法1的兩名高三學生，并沒有畫出四個圓，而是畫出了半徑為、2、3的3個圓來確定原點.這3個數值存在關系，且少畫一個圓，顯然更易操作.

3.2 抽象而有序的思維

抽象而有序的思維是邏輯、有序的，對數學文字語言非常敏感，而且善于閱讀，能抓住關鍵點和重要的細節，分析問題有條理[6].但在思考問題時，發散性思維、創造性思維較弱.

方法3：如圖3，由A、D兩點的縱坐標相等，且BC中點M的縱坐標為0，所以x軸為過點M且平行于AD的直線.又AD之間的距離為5個單位，選擇靠近點D的一個五等分點P，過點P作垂直于x軸的直線為y軸，兩軸的交點為原點，最后確定坐標軸的正方向.

方法4：如圖4，由題設可知CD的中點N的坐標為(2,4)，則C(3, 6)，N(2, 4)，D(1, 2)三點與原點O共線，且OD＝DN＝NC，故可在射線CD上找到原點O.又因為A、D兩點的縱坐標相等，所以x軸為過原點且平行于AD的直線，y軸為過原點且垂直于AD的直線.最后確定坐標軸正方向.

圖3 方法3圖

圖4 方法4圖

方法5：如圖5，可求出CD中點N的坐標為(2, 4)，則C(3, 6)、N(2, 4)、D(1, 2)三點與原點O共線，且OD＝DN＝NC，故可在射線CD上找到原點O.又因為B、N兩點的橫坐標相同，所以y軸為過原點且平行于BN的直線.又D、A兩點的縱坐標相同，所以x軸為過原點且平行于DA的直線.最后確定坐標軸的正方向.

圖5 方法5圖

以上3種方法體現的是抽象而有序的思維特點.

方法3，抓住了A、D和B、C兩點坐標的特征來建立坐標軸.建立y軸是靠A、D兩點的坐標，沒有利用其它條件.

方法4、5，均發現了C、D兩點的連線過坐標原點的特征.在確定原點位置時，這兩種方法很相似，均是利用距離，而沒有利用其它條件.

可以看出，具有此類型思維特征的學生，在解決數學問題時，能發現問題的關鍵點（比如，A、D兩點的縱坐標相等，B、C兩點的縱坐標互為相反數，C、D兩點的連線過原點）.但是，他們挖掘題目中隱藏的信息的深度，以及多角度觀察問題的能力還有待提高.比如，方法3在建立y軸時，如果再想想題目中其它點的特征，就會回避將AD五等分這種比較麻煩的方法.使用方法4、5的學生，發現了C、D兩點連線過原點的特征是難能可貴的，但是在確定原點時，僅靠距離，則思維略顯單一.如果能挖掘出x軸是過BC中點且平行于AD的直線，思維則會提高一個層次.

3.3 具體而隨機的思維

具體而隨機的思維有創造性，發散思維能力強[6].但是，發散的結果有正有誤，有優有劣.

方法6：如圖6，由C(3, 6)、D(1, 2)兩點坐標成比例關系，可知原點在直線CD上.又A、D兩點的縱坐標相等，且BC中點M的縱坐標為0，所以x軸為過點M且平行于AD的直線l，直線l與直線CD的交點即為原點.過原點作x軸的垂線得y軸，最后確定兩軸的正方向.

圖6 方法6圖

方法7：如圖7，可求出CD中點N的坐標為(2, 4)，與點B(2,?6)橫坐標相同，所以y軸平行于直線BN.又A、D兩點的縱坐標相等，且BC中點M的縱坐標為0，所以x軸為過點M且垂直于BN的直線.過點D作平行于BN的直線l，量出兩平行線l與BN之間的距離，再將直線l向下平移此距離得到y軸，x軸與y軸的交點即為原點.最后確定坐標軸的正方向.

圖7 方法7圖

方法8 如圖8，可求出CD中點N的坐標為(2, 4)，而B點坐標為(2,?6)，所以y軸平行于直線BN.又因為BC中點M的縱坐標為0，所以x軸為過點M且與直線BN垂直的直線.又C(3, 6)、D(1, 2)兩點坐標成比例關系，所以原點為x軸與直線CD的交點.過原點作x軸的垂線為y軸，最后確定兩軸的正方向.

圖8 方法8圖

方法9：如圖9，由2|xB|=|xA|，可知y軸過AB靠近點B的三等分點M.又因為3|yA|=|yB|，可知x軸過AB靠近點A的四等分點N.A、D兩點的縱坐標相等，過點M作AD的垂線為y軸，過點N作AD的平行線為x軸，兩軸交點為原點，最后確定坐標軸的正方向.

圖9 方法9圖

方法10：如圖10，可求出BC中點M的坐標為, 0)，AB中點N的坐標為(?1,?2)，AN中點E的坐標為(?,0)，所以ME所在的直線為x軸，原點為ME的中點.過原點作x軸的垂線為y軸，最后確定兩軸的正方向.

圖10 方法10圖

方法11：如圖11，可求出AB的中點M坐標為(?1,?2)，與D(1, 2)關于原點對稱，故原點為DM的中點.又因為A、D兩點的縱坐標相等，所以x軸為過原點且平行于AD的直線，y軸為過原點且垂直于AD的直線.最后確定坐標軸的正方向.

圖11 方法11圖

以上6種方法體現的是具體而隨機的思維特點.

在這6種方法中，均使用了題目中某些已知點的中點或某些點的坐標成比例的關系，比如點M、N、E.這些點在已知條件中并不存在，卻能被發現，說明思維的發散性很好.而具有發散的思維，往往是解決難題的關鍵所在.因為解題的難點往往在于“聯想”，即從表面一些不相關的條件中，能尋找到相關的聯系.

但是另一方面，發散卻有優有劣.比如，方法6、7、8都是利用C、D兩點坐標特點，但方法6在思路上就比較簡捷，操作上也容易，不需要太多的度量，只要作出B、C的中點，問題就得以解決，而另外兩種就稍顯麻煩；而方法9、10、11都是利用A、B兩點坐標特點，但方法9就比另外兩種在操作上復雜了很多.

從統計結果來看，使用上述6種方法的人數占總人數的近一半，且方法6人數眾多.不同年級相比，高三所占比例明顯高于高一；不同層次相比，實驗班所占比例略高于普通班.由此可知，被調查的大多數學生本身的思維發散程度比較好，有一定的創造能力，且這種能力會隨著知識的豐富、年齡的增長而提高，并且這種能力還有助于提高他們的成績.

3.4 抽象而隨機的思維

抽象而隨機的思維善于思考，但思維太散，隨意性強，且易受情緒影響[6].

方法12：先在通常情況下的直角坐標系中畫出A、B、C、D四點的位置，然后觀察所得圖形與題目中圖形之間的關系.可以看出，將其按逆時針方向旋轉90°即可得到題目中的圖形形狀，從而得到新的坐標系.

此方法體現了抽象而隨機的思維特征.

可以看出，使用此方法的學生的思維發散程度很高，他們沒有按常理“出牌”，出其不意，想到非常簡捷的解法.但是，他們的思維明顯缺乏嚴謹性，書寫也比較隨意，不規范.比如，在用此方法的19人中，無一人對此方法作出解釋，而僅僅只是給出“旋轉90°即可的”結論.

從統計結果來看，不同年級相比，高一所占比例明顯高于高三；不同層次相比，普通班所占比例高于實驗班.這說明，一方面，隨著知識的豐富，能力的增強，所做題目的增多，卻讓部分學生形成了“思維定勢”，即認為解決數學問題一定要靠計算，而忽略了直覺的判斷，忘記了最本能的解決問題的方法（比如，試一試，猜一猜，等等）；另一方面，成績較好的學生一般會比較嚴謹，更看重邏輯推理.

4 結論與建議

從前面的調查研究可以看出，每種思維類型反映在解決數學問題時，各自的特點不同，都存在著優勢和劣勢，這給教師的教學提供了有利的幫助.可以讓教師在教學中，進行合理的設計，有針對性的提升不同學生的思維層次，對學生進行有效的思維培養，讓每一位學生都能在自己現有的思維水平上有所提高.

4.1 結 論

鑒于調查研究的結果，可以得到以下一些結論.

（1）人類的思維有不同類型，而任何有效的思維都必須具有確定性亦即自身同一性，這是人們所公認的[7].雖然思維具有確定性，但是思維品質卻可以提升.比如，同樣使用方法1的不同年級的學生，高三學生明顯優于高一.所以，隨著學習能力的提高，知識的豐富，思維方式是能進行優化的.

（2）思維類型雖然各異，但并無好壞之分，只是思維方式不同而已.比如方法2，雖然在操作上比較復雜，但是從另一方面來看，此種解法只用到了兩個點的坐標，使問題的條件精簡了許多，也是非常難能可貴的.所以，只要了解各種思維類型的利弊，揚長避短，使不同思維類型得以提升，它們都能成為有效的學習方式.

（3）從調查結果來看，在12種方法中，不同層次的班級，實驗班與普通班所占的比例有差距，但差距并不是很大.在思路相對比較簡捷的方法6中，普通班所占比例還高于實驗班.所以，思維類型與成績并無直接的、必然的聯系.

（4）在答案正確的188人中，有162人具有抽象而有序、具體而隨機的思維特征.所以這兩種思維類型，是學生的主要思維方式，了解這一特點有利于教師的教學.

4.2 建 議

為了提升各種思維類型的層次，有如下一些建議.

（1）具體而有序思維的學生，要多做發散性、創造性思維的練習.教師在平時的教學中，就要引導學生學會多角度觀察問題，養成多方法解決問題的習慣.此外，教師還要抓住課堂上抽象概括的機會，比如概念的建構、問題解決的過程，培養此類學生的抽象概括的能力.

由于此類學生知識的獲得往往從模仿而來，所以他們更需要獨立思考，教師不能越俎代庖.如果教師一味的告訴，而不讓學生親自體會，學生永遠都是在模仿教師，而模仿是不能被超越的.

（2）抽象而有序思維的學生，需克服思維定勢的消極影響，對待問題能從正反兩個方面進行考慮，采用順繁則逆、正難則反的思維策略.此外，要注意發散思維的養成，加強思維的靈活性，加強邏輯推理方面的練習.欲學好數學需要“靈活”，而“靈活”思維的形成需要教師指導.在教學中，要指導學生學會分析、比較，學會在遇到不同問題時，能合理選擇方法，而不是一味的生搬硬套.

（3）具體而隨機思維的學生，需培養有序思維、集中思維的能力，研究解題過程的每個環節，總結經驗、積累方法.教師要鼓勵此類學生做好題后的反思總結，反思總結能讓教師積累更多的經驗，有更多的解題途徑，并能在各種途徑中選擇最佳方案，少走彎路.

由于發散思維的結果有正有誤，有優有劣.所以，經過發散思維后，必須運用集中思維，去粗取精，去偽存真，這樣思維才能更進一個層次.

（4）抽象而隨機思維的學生，善于思考問題，卻易受情緒的影響，所以教師要舍得給學生時間，讓他們自己思考、表達，要有耐心，學會等待.讓學生的思維充分暴露出來，有錯誤就找原因，不要撲滅學生思維的“火花”.

此類學生要善于調整自己的學習情緒，發揮自己的長處，多與其他人探討，取長補短，提高自己思維的嚴謹性、批判性.

[1]Anthony Gregory.The Mind Styles Model: Theory, Principles, and Applications: Learner’s Dimension[M].Columbia,Conn.on Computers in Education, 1995.

[2]王玉敏.初中生發現性思維的調查分析[J].數學教育學報，1998，7（3）：29-31.

[3]佟健華.數學創新思維的魅力[J].數學教育學報，2000，9（3）：37-40.

[4]武錫環，王大鹿.數學教學中促進學生創造力發展的實驗研究[J].數學教育學報，2002，11（1）：93-95.

[5]林少杰.中學生數學學習中抽象概括的思維障礙研究[J].數學教育學報，2012，21（4）：87-91.

[6]張志明.初中生不同思維類型對學習數學影響的研究[D].湖南師范大學，2008.

[7]王政挺.思維的確定性——具體類型及其意義[J].浙江師范大學學報（社會科學版），1990，（3）：22-24.