基于APOS理論下數學分析課程中概念教學的探討

基于APOS理論下數學分析課程中概念教學的探討

文/曾云輝王艷群肖娟

摘要：本文通過分析APOS理論應用于數學分析課程中概念教學的可行性、基本模式以及注意事項，闡述了如何應用APOS理論提高數學分析課程中概念教學的效率。

關鍵詞：數學概念；APOS理論；教學設計

作者簡介：曾云輝(1978—)，男，湖南衡陽人，講師。

中圖分類號:G633.6

文獻標志碼：A

文章編號：2095-9214(2015)09-0088-02

基金項目：2014年衡陽師范學院教學研究項目資助(項目編號：JYKT201403)。

引言

數學概念是數學邏輯的起點，是數學思維的基礎，也是解決數學問題的前提，它在數學分析的教學和學習中占有重要的地位。只有正確理解數學概念，學生才能更好的掌握數學分析這一門學科。然而學生普遍對數學分析有畏難情緒，數學分析中的概念又比較抽象，在數學分析中又是難中之難。那么如何才能加強學生對數學分析中概念的理解與學習成為擺在教師面前的迫切義務，本文將討論如何應用APOS理論來提高數學分析中概念的教學效率,應用APOS理論指導數學分析中的概念教學，幫助學生更好的學習掌握數學概念，也讓教師在備課和上課中有一些依據去把握課堂，在一定程度上提高了數學分析課堂的效率。

1.APOS理論應用于數學分析課程中概念教學的可行性

根據數學概念的具體性和抽象性等特點，在學習的過程中，如果把抽象的概念轉變為現實，也就容易被學生掌握，結合APOS理論，操作階段就相當于現實客觀的具體化再現，應用抽象性概念，使它具體化，就可以理解為是理論到實際的過程，使概念具體化，而過程階段與抽象性思維類似，圖式階段便是具體與抽象的靈活轉換階段。

根據數學概念的定義方式，數學概念具有內涵和外延的雙重性，概念的內涵是指本質屬性，我們把一個所反映的所有對象的共同本質屬性的總和，叫做這個概念的內涵。我們概念所適合的全部范圍，叫做概念的外延。APOS理論就是把定量的問題作用于學生，讓其自己進行思維操作，抽象思考出概念的內涵，主動的經歷概念形成的過程，掌握概念的本質。

根據數學概念的二重性，數學概念可以分為過程和對象兩個不同的方面。過程就是具備了一定的可操作性的公式、原理、法則等；而對象則是數學定義的結構關系。大部分的概念即有過程和操作的表現，又有對象和結構的形式，這就是概念的二重性。數學思維的認知發展不是人們隨意編排出來的，而是具有從過程到對象的先后順序；APOS理論具有從操作階段到圖式階段的順序過程，正是符合學生的認識發展規律的；因此，APOS理論應用于數學分析中的概念教學是可行的。

2.APOS理論應用于數學分析課程中概念教學的模式

教學模式是指圍繞著數學教學活動的某一主題，在一定的教學思想指導下，形成穩定化和系統化的相對穩定的教學模型。應用APOS理論于數學分析課程中概念教學可以分為以下幾個階段：

(1)在“活動”階段，教師先要確定好教學內容和目標，學生已有的知識結構，再以感性材料作為基礎去設計活動，材料要注重典型性、適度性和有效性。這一階段的目的是啟動學生的思考，如果所提供的感性材料數量太少又不典型，會直接的影響下一階段對概念本身特征的把握和提煉。但是如果材料使用過度，那不但浪費了時間，也會使學生產生乏味的感覺。所以，在設計“活動”時，我們要充分發揮學生參與操作的積極性，找準知識的“生長點”。

(2)在“過程”階段，需要教師運用探索性和漸進性的問題去啟發、誘導學生對“活動”階段進行主動地思考?！盎顒印敝粸閷W生提供了思維的土壤，問題才能引導思維的深入。通常，教師可以提問學生“你想到了什么？”、“你是如何得到這一結論的”、“你為什么會有這樣的想法”等。要讓學生自己思考、自己發現問題、自己尋求解決辦法。有時候“過程”的抽象概括很難，這就需要老師有針對性的引導；用由淺入深的問題，讓學生不斷調整思考的方向，對感覺進行分析、加工和提煉，形成“對象”的升華，“圖式”的建構。

(3)在“對象”階段，學生只是初步掌握了概念的形式，對它的本質含義還不是很清楚。這時，就需要用更多的“活動”和“過程”幫助學生從“對象”上升到“圖式”階段。這個階段可以充分發揮傳統教學優勢，用例題作為“活動”，把概念的本質和非本質區分開來。同時用開放的實際情景，讓學生自己提出反面論證，構建概念知識結構圖，多方面豐富學生對“對象”的理解，幫助學生上升認識層次，讓學生學習后進行自我反思，達到在反思中建構新“圖式”。

(4)剛開始個體可能從局限于某個特殊公式來思考某個概念，跟隨個體思維的發展，學生便會對所學對象和已有圖式進一步加工，然后逐漸形成更加復雜的“新圖式”。因此，在APOS理論的指導下，不同概念的建構更多的是螺旋上升的而不是線性的。

3.APOS理論應用于數學分析課程中概念教學需要注意的問題

數據庫包含兩部分，空間數據庫和屬性數據庫?？紤]數據存儲規模以及軟件系統性質，數據庫采用微軟公司的SQL Server2008。屬性數據庫從機井信息，配水情況信息，實時監控情況，歷史記錄情況等多個方面綜合考慮進行搭建。

(1)APOS理論的四個階段是連續的過程

APOS理論是學生理解數學概念的心理建構過程，它的四個操作階段是概念在學生腦海中建立的必經之路，所以，他們是相對連續的過程。如果忽略了其中某個階段，比如，忽略“P”階段，直接從“A”階段跳到“O”階段,或者跨越“O”階段直接跳到最后的“S”階段，這都是不現實的。因為概念在學生頭腦的構建過程中，任何一個階段都是必不可少的，如果缺少了其中某一個階段，那么建立起來的數學概念根基就不會牢固，學生在以后看問題會缺乏抽象性，難以提升知識或熟練運用概念。

(2)切忌機械照搬APOS理論的四個階段

在運用過程中，需要注意APOS四個階段的連續性，但是它的順序并不是絕對的，學生在進行某些復雜的數學概念建構時，有必要進行某些階段的循環交替，特別是四階段的中間兩個階段。

一個數學概念由“過程”到“對象”的建立，有時候非常困難，這就需要經過反復多次的循序漸進，采用螺旋上升的教學模式，直到學生能真正理解概念。決不能一蹴而就，忽略概念在學生頭腦中的生成過程。在應用過程中，應該選取生動、新穎的活動，例題的設計應該層次分明。因此教師在課堂上不能只按照四個階段嚴格進行，而應該循環交替的進行教學。

(3)過分強調活動操作

概念的形成，需要聯系實際，尋找它生存的現實土壤，需要利用活動讓學生感知問題，積極思考，從現實情境中去發散數學思維，但是這并不意味著數學的

目前，在以學生為本的教學理念指導下，大多數教師都注意到了要相信學生，發展學生，積極引導學生自主發現問題，理解數學知識。反而忽略了教師的主導性，忘記教師本身應該充當學習的組織者合作者的角色，一堂課下來，活動多，學生積極參與的機會多，但卻沒有對數學知識結論進行總體概括。為了讓學生深刻理解概念，需要教師不但要重視教學知識過程的引導，還要注重對數學結論的整體梳理。要求教師幫助學生理解數學概念需要把握的要點和一節課的整體知識結構。

(作者單位：衡陽師范學院數學與統計學院)

參考文獻:

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