三角函數有理式的一種簡單積分法

鄧敏（湖南交通職業技術學院，長沙　410004）

三角函數有理式的一種簡單積分法

鄧敏
（湖南交通職業技術學院，長沙410004）

本文通過分析、解答幾種具有代表性的三角函數有理式不定積分問題，介紹了一種求三角函數有理式不定積分的簡單方法——關聯輔助積分法。

三角函數有理式積分關聯輔助

求三角函數有理式的不定積分是高等數學中一種常見的、重要的積分問題，但是沒有一種統一的積分方法適用于所有情形的三角函數有理式積分，其積分方法非常靈活，也非常多，常用的有湊微分法、換元積分法（萬能代換法）、分部積分法、待定系數法等，特別常用的是萬能代換法。但是，對很多三角函數有理式的積分，如采用以上所述的常規方法來求，一般過程很繁瑣，有的題甚至無法求出。學生往往對此類積分問題望而生畏，敬而遠之。下面介紹一種求三角函數有理式不定積分的比較簡單的方法——關聯輔助積分法。

以上方法是用換元法，把被積的三角函數有理式先轉化為代數有理式，再求該代數有理式的積分。但我們看到這個轉化的過程往往相當繁瑣，轉化后的代數有理式函數的積分，也比較難求（以上例題一般用待定系數法把被積的三角函數有理式拆分成三個容易積分項的積分），有的甚至無法求出，下面介紹一種較為巧妙而簡單的積分方法——關聯輔助積分法。

解法二：用關聯輔助積分法

用這種積分法則容易多了

不過用這種方法要注意的是，在找關聯輔助積分時，一定要本著原積分與輔助積分所構成的線性組合積分比原積分要容易求為原則。［1］

解法一：用分部積分法，此題一般就是用分部積分法，要兩次運用分部積分法，然后出現循環現象，通過解方程間接得出結果。

以上關聯輔助積分法是將求積分的問題化為解線性方程組的問題，簡捷、容易！如果被積函數比較復雜，則更能體現出用關聯輔助積分法的優越性。［2］

該形式的積分正類似于吉米多維奇著《數學分析習題集》第2042題所述公式，但該公式難記，學生一般記不住。解題時不用記如此復雜的公式，用以上關聯輔助積分法可即時求解。

同時也可求I1和I2。

關聯輔助積分法就是找出與所求不定積分相關聯的一個（或兩個）不定積分，再構造所求不定積分與這一個（或兩個）不定積分的兩個（或三個）線性組合積分，因為這兩個（或三個）線性組合后的積分容易求出，所以最后通過解二元（或三元）一次方程組就可求出原積分和其相關聯的這一個（或兩個）輔助積分。

［1］李艷萍.一類三角函數的輔助積分法［J］.北京電力高等專科學校學報，2009年4月：152-153

［2］萬麗， 王劍俠.一種含三角函數式積分的特殊方法［J］.高等數學研究，2000，3卷（4期）：23-24

鄧敏（1967—），女，副教授，碩士研究生，研究方向：高等數學、數學課程論的教學與研究。