數形結合，讓算理與算法交融

王芳

算理和算法在計算教學中相輔相成，缺一不可。算理和算法又十分抽象，對于以直觀形象思維為主的小學生來說是學習的難點。數形結合思想是通過數與形的相互轉化，將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來解決問題的思想方法。有效運用數形結合的思想方法可以化抽象為直觀，幫助學生理解算理和掌握算法，提高計算教學效率。下面以“分數乘分數”一課為例談談具體的做法。

一、以形解數，感知算理

基于學生的生活經驗和思維，分數乘分數計算的算理和算法對于他們來說很抽象、難以理解的。所以，為分數找對應的圖形，以圖形來表達分數，解釋其中的算理，使學生在直觀操作中理解算理。

【片斷一】

1.探究1/2 ×1/4

師：像1/2 ×1/4 這樣的分數乘分數問題怎樣研究呢？如果用一個長方形表示“1”，那么怎樣畫圖表示出算式中的分數？請同學們試一試。

師：畫圖時先分了什么，表示了哪個分數？

生：先把單位“1”平均分成2份，取這樣的1份。

師：接著怎么分的？又取了幾份？

生：再把這一份平均分成4份，取其中的1份。

課件演示：

師：通過畫圖我們知道了1/2 ×1/4 實際上是求1/2 的1/4 是多少。那1/2 的1/4 到底是多少呢？是怎么知道的？

生：只要把剛才平均分的虛線畫下去，也就是把空白部分一起平均分，就能看出是1/8 。

師：8在哪里？1在哪里？

2.探究1/2 ×3/4

師：怎樣在長方形圖中表示出1/2×3/4？請大家畫畫看。

學生反饋：

師：1/2 的3/4 積是多少呢？怎樣修改這幅圖？

生：只要把整個大長方形豎著平均分成4份，整個大長方形一共平均分成了8份，所以1/2×3/4 =3/8 。

【教學分析】

在探究算理的過程中，以長方形作為探究材料。第一次讓學生嘗試畫圖，理清畫圖的方法，得出“分了取，再分再取”的畫法，“以形助數”，使學生理解1/2×1/4 = 1/8 是怎樣得到的；第二次畫圖則更注重以形解數，在追問中讓學生感知1/2×3/4 = 3/8 中3/8 的算理。兩次經歷從數到形，再從形抽象出數的過程，學生初步感知了算理。因此，在探究算理時，先教給學生準確的畫圖方法，再引導學生以形解數，層層遞進來感知算理。

二、以數思形，深化算理

畫圖操作初步理解算理后，常會發現學生很難用完整的數學語言對操作的結果加以提煉和概括，主要是因為學生由動手操作到抽象概括缺少了“表象”這一支撐點。兒童的認識規律，一般是從直接感知到表象，再到形成科學概念的過程，表象介于感知和形成科學概念之間，所以需要幫助學生建立這個支撐點，引導學生由具體思維合理地向抽象思維轉化，從而深化算理。

【教學分析】

在深化算理的環節中，教師讓學生靜靜地“想一想，先畫什么？再畫什么？”看似多余的一個過程卻非常有必要。因為“分數乘分數”算理模型的構建從具體思維向抽象思維轉化，對于學生來說是具有難度的，如果沒有留給學生一個思考的空間，沒有借助“在腦中畫圖”這種半具體半抽象的表象操作，那么一些學生難以實現從形象思維到抽象思維的有效轉化。

三、以數質形，向算法過渡

算理是算法的依據，它保證了計算的合理性和正確性；而算法是算理的概括，它為計算提供了快捷的操作方法。學生只有真正理解了算理和算法，才能靈活、準確地進行計算。因此，在對算理有了較深的理解后，要幫助學生從算理過渡到算法。

四、數形互釋，生成算法

算理和算法是計算教學中不可分割的兩個方面，只有實現算理和算法的相互交融，才能促進算法的有效生成。那么如何溝通“數”與“形”之間的聯系，促進算理和算法的交融，讓學生更進一步明晰“分母相乘、分子相乘”這一算理，從而有效生成算法呢？

【片斷二】

1.師：如果按照剛才的想法，3/5×4/7 怎樣計算？

生：5乘7作分母，3乘4作分子，積是12/35 。

師：我們利用長方形圖來驗證一下，該怎么分怎么取？

生：先把這個長方形橫著平均分成5份，取3份；再豎著平均分成7份，這樣一共平均分成了35份。

師：再取4份，最終取了多少份？

生：最終取了12份。所以3/5 ×4/7 的積是12/35

2.師：只驗證一題，還不能夠說明。換一題再試一試，行嗎？

出示：5/6 ×7/8

師：從圖中你知道了什么？

生：6×8算的是把整個長方形一共平均分成了多少份，5×7算的是最終取了多少份。

師：觀察剛才兩題的驗證過程，想一想，分母相乘實際算的是什么呢？分子相乘又是算的什么呢？

生：分母相乘是求把單位“1”平均分成的份數，分子相乘就是取的份數。

師引導學生自主歸納出“分母相乘就一共分了多少份，分子相乘表示一共取了多少份”。

【教學分析】

上述教學中教師緊緊抓住引導學生驗證的過程，通過數形互釋，打通了算理和算法之間的聯系，有效促進算理和算法的相互交融。用“數解釋形” ，讓學生明白一共35份是指把整個長方形平均分成了5行7列，5×7就是35份；最終取了3×4=12份。由“形解釋數” ，使學生清晰了6×8算的是把整個長方形一共分成了48份，5×7算的是最終取的35份，從而自然得出“分數乘分數，分母相乘的積作分母，分子相乘的積作分子”的計算方法。學生再次經歷了自主驗證的過程，通過觀察、比較、驗證、歸納，在算法形成與鞏固的過程中進一步明晰算理，在真正理解算理的基礎上掌握算法，從而形成計算技能。再次利用圖形來溝通算理和算法的聯系，在數形互釋中進一步理解算理和掌握算法，使學生對計算方法做到知其然，更知其所以然。

在計算教學中，有的放矢地運用數形結合思想方法，為學生構建一個算理算法交融的課堂，引導學生在算法探究中理解算理，在理解算理的基礎上形成算法，那么計算課堂同樣會是精彩的。

【作者單位：太倉市城廂鎮第四小學 江蘇】