以單位名數為抓手重新建構除法意義的教學

倪玲玲

【關鍵詞】單位名數 建構 除法 余數 商

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2015）08A-

0082-03

在教學人教版數學二年級下冊《有余數的除法》時，學生對商和余數的單位名數不是很清楚。四則運算中加法、減法、乘法的算式的結果只有一個，名數很好確定，問題中用什么名數，就是什么名數。在除法中，如果沒有余數的情況，名數的確定不難，而倘若遇到有余數的情況（有兩類：一是商和余數名數一致，二是商和余數名數不一致）時，學生則出現了問題——對于第二類情況在確定名數時存在一定的困難。

一、成因分析

學生對于單位名數的認識不清其實是對除法含義的理解有偏差。比如，除法中無余數和有余數這兩種情況，孩子看似能比較輕松地確定單位名數，是因為掌握了“技巧”，從問題中找到“幾”或“多少”這些字后面的那個詞表示單位名數。假設問題中不給出單位名數，又有多少學生能根據除法算式的含義正確標注出單位名數呢？而對于有余數的第二種情況，商和余數名數不一致時，學生標注商和余數的單位則存在困難。

其實這個困難的存在，原因就在于學生對于除法中是等分除還是包含除的認識不夠。因此，要想正確區分這兩類除法，讓學生能夠清楚地辨析是等分除還是包含除，關鍵是教師要先了解和分析其中的成因。

（一）教材原因。教材編排除法的含義是將平均分的等分和包含分兩個例題來編排的，而且這兩個例題缺少相關性，也缺少聯系、比較和辨析、綜合。學生在學習這兩個例題時弄不明白到底要讓他們掌握什么，只知道都是要求做到每份一樣多，就是做到平均分，用除法來解決問題。因此，學生只要明白了平均分之后，看到這樣的題目就按照“大數÷小數”來解決問題。然而，到底是屬于哪種平均分學生并不清楚。

（二）教學原因。對于教學除法的含義，平均分有兩種不同的情況：等分和包含不夠辨析明了。我們往往是將這兩個內容分開教學，缺少對等分除和包含除二者的辨析、比較和綜合。由于學生在最后面對問題時，這兩類的除法是交替出現的，因而他們在解題之前不會先辨析屬于哪種除法，不能明白除法算式中每一個數真正的意義。

（三）學生學習原因。學生學習除法這個內容時，對于除法的含義和認識理解得不夠深入和到位，對于除法算式和各個部分的含義也不是特別清楚。對于為什么要這樣列除法算式，學生也不是真明白，或者對于總數、每份數、份數這三者間的內在聯系和各自的含義理解得不夠到位。

二、解決策略

對如上成因進行了分析之后，筆者認為，要想讓學生理解除法的真正含義，就必須讓學生先理解除法算式中每個數字的含義和單位名數。在具體教學中，教師可以這樣操作：

（一）突破教材。教授除法的認識，在起始課時必須先夯實學生對于除法含義的認識，并讓學生通過單位名數理解平均分的兩種情況：等分和包含，而不是讓學生一味地死記硬背。同時，在講授等分和包含這兩個內容時，采用同樣的情境讓學生明白等分其實求的是每份數，而包含其實求的是份數。為了讓學生真正理解這兩個內容，筆者打破了原來“將有余數的除法含義的認識，以及余數與除數之間關系的認識這兩個內容放在一個課時內完成教學”的做法，針對前期正好完成表內除法教學的內容（筆者認為學生對除法含義的認識還不夠深刻、到位），希望借助《有余數除法》這個單元的起始課，讓學生認識有余數除法含義這個內容，再次夯實除法含義的教學。同時，借助余數的單位名數和商的單位名數做比較辨析，讓學生更深刻地明白除法算式中每一個數的真實含義，從而提升他們對除法包括有余數除法的意義的認識。

（二）突破教學。除了要突破教材之外，我們還要夯實學生對除法算式的含義的語言表征和動作表征，理解清楚除法算式中每個部分的含義，從而夯實符號表征。對此，我們可以利用一圖兩式讓學生經歷從具體到抽象的學習歷程，也讓學生通過對同一幅圖有兩種不同的意思來明白商真正代表的含義。同時，借助一道題將整除和有余數除法這兩種情況融合起來，讓學生體會除法最后是否有余數，以及體會在除數不變的情況下，余數會隨著被除數而變化。這樣教學的目的不是將整除和有余數除法完全割裂，而是讓學生體會它們會在一定條件下發生變化，從而在第一課時有初步的感知，為第二課時的深入探究做好鋪墊。

（三）突破學習。即幫助學生從動作表征這樣的具體操作思維，過渡到語言表征，最后抽象成符號表征，使學生在一圖兩式的過程中經歷從具體到抽象的數學學習過程；然后，教師再通過逆思維讓學生經歷抽象到具體的學習過程，即利用一式兩圖，要求學生看到一個算式能畫出兩幅圖，并能根據圖說清楚自己是怎么分的。從抽象的算式到具體畫圖、說算式含義，學生的數學學習有了雙向深入的溝通，進而深入理解了知識。

以下筆者以《有余數的除法》（第一課時“有余數除法的含義”）為例，介紹具體操作方法：

學習目標：

1.理解有余數除法的意義，能明白有余數除法產生的原因和實際背景，同時掌握有余數除法算式橫式的書寫方式和各部分名稱、意義。

2.能從分、圈的動作表征到說的語言表征，最后做到能寫出算式的符號表征，不斷從具體到抽象，提煉出有余數除法的學習方法。

重點難點：

認識有余數除法算式中每一個數的含義，并通過對商和余數單位的確定，反過來加深對有余數除法的認識。

活動經驗分析：

學生在前段時間正好學習了表內除法，對于除法的含義和平均分的意義理解有較多的活動經驗。

教學活動設計：

一、復習引入，激活已有經驗

1.下面有2堆草莓，每個小朋友分2顆草莓，可以分給幾位小朋友呢？（出示教具磁性貼片）

（1）

（2）

師：請說說你分的結果。

師：原來我們在平均分東西的時候，其實會遇到兩種情況：一種是正好全部分完，一種是還有多余的。對于第二組這樣的情況，我們稱它為有余數的除法。你能用圈的方法在紙上練習表示你剛才分這兩組草莓的過程嗎？

2.你們能寫出這兩組分草莓的算式嗎？

生：6÷2=3

7÷2=3……1

設計意圖：學生在學習表內除法的過程中對“平均分、圈一圈”已有相當充分的學習經驗，出此題的目的是喚起學生原有的學習經驗。這樣的操作既簡單，又能讓學生很自然地體會到平均分會產生兩種不同的結果：一種正好分完，另一種有余數。

二、新知探索，遷移原有經驗

1.你能在7÷2=3……1這個算式中找到余數嗎？

師：介紹余數的意思和寫法。

2.如果要給這個算式添上單位的話，你們能行嗎？

7÷2=3（ ）……1（ ）

生：余數1的后面應該寫“顆”，因為余下1顆草莓；商“3”的后面應寫“人”，因為每人分到2顆，可以分給3人。

師：請小朋友來說7÷2=3（人）……1（顆）這個算式的意義，并指出每個數是什么意思。

生：（略）

師（小結）：對于有余數的除法算式，小朋友覺得有什么特別之處嗎？你看第一個算式只有商，只有一個單位；第二個算式，有商還有余數，商有單位，余數也有單位，并且這兩個單位還不一樣，是因為它們代表不同的含義。

3.這些草莓，平均分到3個盤子里。你能用學具分一分嗎？（教師準備好磁性的草莓貼片作為教具，請學生擺草莓紙片作為學具）

（1）

有23個梨，平均放在（ ）個盤里，每個盤里放（ ）個，還剩（ ）個。

23÷□=□（ ）……□（ ）

有23個梨，每盤里放（ ）個，放了（ ）盤，還剩（ ）個。

23÷□=□（ ）……□（ ）

（2）如果23個梨分好后，媽媽再給你1個梨，仍舊平均地分在這些盤子里，分到的結果又是怎樣的？為什么？