平面桿件體系幾何組成分析方法的探討

陽令明　肖穗花

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平面桿件體系幾何組成分析方法的探討

陽令明1肖穗花2

（1.湖南科技學院 土木與環境工程學院，湖南 永州 425199；2.邵陽市洞口縣東邊中學，湖南 邵陽 422000）

平面桿件體系幾何組成分析是結構力學教學的重點與難點之一，具有概念抽象、技巧性強、結構體系多變的特點，在結構力學多年的教學體會與反思的基礎上，分析和總結了自由度W=0的平面結構如何應用幾何不變體系的組成規則及零載法進行結構分析的思路及技巧，并輔以例題具體說明，對學生掌握好本知識點內容具有指導意義。

結構力學；平面桿件體系；幾何組成分析；方法

結構力學是土木工程專業一門重要的專業基礎課，它既是前續《理論力學》、《材料力學》課程的深化與延續，也是后續《混凝土結構設計》、《鋼結構》等專業課程的基礎。平面體系幾何組成分析是結構進行力學分析與計算的基礎，它的目的是確定體系的幾何組成屬性，判斷其能否作為結構，也通過了解體系的各個部分的相互關系，改善和提高結構的受力性能，以及確定結構的計算方法和計算順序。由于這一章的內容概念性及技巧性均較強，結構體系又千變萬化，初學者常常會感到無從下手，部分教學工作者對于如何掌握這部分內容已展開了研究和探討，主要集中在特殊或典型問題的總結[1~5]。本文基于幾何不變體系的組成規則及零載法的分析，探討對于自由度W=0的平面體系進行幾何組成分析的解題思路及技巧，幫助學生理解和掌握該知識點的內容。

1　幾何組成的基本規則

結構力學教材中[6]，自由度W=0的平面幾何不變體系，其幾何組成基本規則有三種方式：一點一剛片通過兩不共線鏈桿連接（二元體規則），兩剛片通過三不共點（不全平行）鏈桿連接或不共線一鉸一鏈桿連接（兩剛片規則），以及三剛片通過不共線三鉸連接（三剛片規則）。采用幾何不變體系的組成規則解題，其關鍵是剛片的選擇，約束的判斷及組成規則的靈活應用，即如何選擇剛片，如何利用規則分析判斷。

1.1 剛片的選擇

剛片是指不論其具體形狀如何，本身為幾何形狀不變者，可以是鏈桿（直桿、曲桿、折桿），基礎或基礎的擴大部分，以及已確定的幾何不變部分。解題時應首先判斷基礎是否作為剛片，當支桿S=3時，可把基礎去掉，只分析體系本身的幾何屬性，當支桿數S＞3時，應把基礎當成一個剛片。其次，根據體系組成兩剛片規則，一個剛片與另一剛片應有三個聯系，按照三剛片規則，剛片兩兩間應有兩個聯系，即一個剛片和外界應有四個聯系，這樣我們可以試著選擇一個剛片，根據該剛片與外界的聯系來選擇其他的剛片[5]。最后，應用幾何組成規則進行分析判斷。

1.1.1去掉基礎剛片

如圖1所示的體系[6]，體系與基礎有三個聯系，由兩剛片規則，可去掉基礎這一剛片，只分析體系內部幾何關系，如果內部幾何關系為幾何不變部分，則結構是幾何不變的，同時利用二元體規則，依次去掉ACD、BJK、CDE、JIK二元體，留下GEDKI結構體系，體系有兩個鉸結三角形，任選GEF為第一剛片，它與外界有ED、FK及鉸G（或GH、GI）四個聯系，判斷出DK、GHI（或HI）分別為第二或第三剛片，形成實鉸O1、O2、O3，三鉸不共線，GEDKI結構體系是幾何不變的，故整個體系是幾何不變體系且無多余約束。

圖1 圖2

1.1.2 基礎作為第一剛片

如圖2所示的體系[6]，體系與基礎有四個聯系，基礎應作為第一剛片，其伸出的四個聯系為AB、AC、HE、GF，判斷出CDE、BF為第二或第三剛片，形成虛鉸O1、O2、O3，三鉸不共線，幾何不變體系且無多余約束。

1.1.3擴大后的剛片

如圖3所示的體系[6]，體系與基礎有三個聯系，可只分析體系內部幾何關系，此時宜首選鉸結三角形作為第一剛片， CDB、AHG為鉸結三角形，DEB、AFG分別為CDB、AHG上的二元體，則選擇AFH或BEC作為第一剛片，它與外界有EF、BH、AC三個聯系，判斷BEC或AFH為第二剛片，根據兩剛片規則，為幾何不變體系且無多余約束。

圖3 　 圖4

1.1.4等效替換后的剛片

如圖4所示的體系[6]，體系與基礎有四個聯系，基礎作為第一剛片，其伸出的聯系為A、B、C、D四個支桿，考慮到剛片的各種形式可相互轉換，分析時把BC、AD、AB、CD四根折桿看成如圖虛線所示的四根直鏈桿，判斷出BC與AD或AB與CD為第二或三剛片，形成虛鉸O1、O2、O3，三鉸不共線，幾何不變體系且無多余約束。

1.2 約束的替換

由于體系各桿件之間或體系與基礎之間是通過約束來實現相互的制約作用，它只與約束的數量及布置有關，與形式無關，因此約束的各種形式（鏈桿、支桿、鉸結點、剛結點）可互相等效替換。比如把鏈桿中的曲桿或折桿、基礎或基礎中的部分支桿替換成直鏈桿，或已確定的幾何不變部分替換成基礎，或把兩個鏈桿約束替換成一個延長線上的虛鉸結點等。如果運用幾何不變體系的組成規則不能直接進行判斷時，可考慮約束的等效替換。

圖5 圖6

如圖5所示的體系，DBAC及F桿是基礎上的幾何不變部分，分析時可等效替換成基礎，如虛線所示。結構DEG與基礎有三個聯系，可只分析體系的內部幾何關系，選擇鉸結三角形DHG或GNE為第一剛片，它與外界有G鉸結點、HN鏈桿三個聯系，則GNE或DHG為第二剛片，根據兩剛片規則，結構為幾何不變且無多余約束。

如圖6所示的體系[6]，結構ABDGH與基礎通過鉸A和鉸H聯系，分析時如果把地基作為第一剛片，則BC、FG為第二或第三剛片，無法利用幾何組成規則進行判定，如果把基礎替換成直鏈桿AH，如虛線所示，便可只分析體系內部幾何關系，選擇鉸結三角形ABC為第一剛片，它與外界有BD、CE、CF、AH四個聯系，判斷出DE、HGF為第二或第三剛片，形成虛鉸O1、O2、O3，三鉸均在無窮遠處，幾何瞬變體系。

2　零載法

在一些復雜的結構體系中，采用幾何不變體系的組成規則無法判斷時，可采用零載法來判定。根據靜定結構的性質，在無荷載作用的情況下，靜定結構中不會產生反力和內力，即靜定結構在零荷載作用下，各未知力的唯一解答只能是零。

應用零載法進行結構分析時，一般先判斷出零桿，對無法直接判斷的桿件先假設其內力值或結構支反力為N，再求出其他所有桿件的內力值，最后得出該內力值N的唯一解答為零，從而判定為幾何不變體系，否則為幾何可變體系，其求解過程就是受力分析過程。

圖 7

2.1 假設支反力為N

如圖8所示的結構[6]，采用幾何組成規則判斷時感覺無從下手，此時考慮用零載法，設A的支反力為，由，可知，取隔離體AFE和BFG，由及，可知，即，故結構是幾何不變的。

圖8

2.2 假設非零桿內力為N

如圖9所示的桁架結構[6]，結構體系復雜，考慮用零載法，圖中虛線部分是零桿。

圖9

3　結語

平面體系的幾何組成分析是結構力學的基礎，也是重點。本文主要針對平面桿系結構幾何組成分析時存在的困難，根據自己教學過程中的體會和反思，論述了平面體系幾何分析的一般方法，對剛片的選取，約束的替換，以及零載法的解題思路及技巧等提出了自己的一些看法，從學生的反映來看，該方法技巧易于掌握，適用性較強。

[1]張琳楠,徐春暉,秦太驗.平面體系機動分析的一般方法[J].力學與實踐,2014,36(6):738-741.

[2]孫麗瑩.平面體系幾何組成分析廣義三角形規則新思路[J].力學與實踐,2013,35(6):84-87.

[3]樊友景,樊大為.幾何構造分析中的等效變換[J].力學與實踐,2012,34(2):77-78.

[4]邱秀梅,戴景軍,孫建武.平面體系幾何組成分析的方法技巧[J].力學與實踐,2009,31(2):80-81.

[5]李秀梅,韋斌凝,陳建芳.基于平面桿系幾何組成規則的剛片選取[J].廣西大學學報(自然科學版)增刊,2004,29:125-127.

[6]朱伯欽,周競歐,許哲明.結構力學（第三版）[M].上海:同濟大學出版社,2014,2:18-38.

（責任編校：何俊華）

2015－06－24

陽令明（1984－），男，湖南邵陽人，工程師，碩士，主要從事力學教學與研究。

G420，O342

A

1673-2219（2015）10-0067-02