四邊支承預應力混凝土雙向板內力重分布

王曉東，鄭文忠，王 英

(1.結構工程災變與控制教育部重點實驗室(哈爾濱工業大學)，150090哈爾濱;2.哈爾濱理工大學建筑工程學院，150001哈爾濱)

GB50010、JGJ92和ACI318等國內外設計規范關于無粘結筋應力增量的計算和彎矩調幅設計都是針對單向受力梁板提出的，四邊支承預應力混凝土雙向板中無粘結筋應力增量的計算及這類板的彎矩調幅計算未見相關報道［1-4］.由于四邊支承混凝土雙向板中非預應力筋受拉屈服后形成的塑性鉸線區別于單向塑性鉸，且板中各位置處的無粘結筋應力增量也不相同，因此對四邊支承無粘結預應力混凝土雙向板應用預應力混凝土連續梁中的無粘結筋應力增量及彎矩調幅系數計算公式進行內力重分布設計將產生較大偏差.而無粘結預應力混凝土雙向板內部受力復雜，一般方法很難對全過程分析達到理想精度.因此本文采用ABAQUS有限元軟件建立了四邊支承無粘結預應力混凝土雙向板精細化模型，該模型充分考慮了材料的非線性以及無粘結預應力混凝土結構的特點，可深入揭示無粘結筋應力變化、滑移效應、內力重分布、結構塑性變形等復雜特性.基于有限元分析結果，建立了正常使用階段和承載能力極限狀態下預應力混凝土雙向板中無粘結筋應力增量計算式，以及彎矩調幅系數計算表達式.

1 有限元模型的建立

ABAQUS有限元軟件，具有 Standard和Explicit兩個分析模塊［5］.本文利用 Standard 分析模塊對預應力混凝土結構的塑性性能進行有限元分析.

1.1 有限元模型的建立過程

無粘結預應力混凝土雙向板有限元模型的主要單元為混凝土板殼單元和非預應力筋與預應力筋桁架單元.板殼和桁架的端部節點用ABAQUS的內在約束MPC連接，為模擬無粘結筋和混凝土之間沒有粘結作用可產生相對滑動的特點，將無粘結筋和混凝土節點間設置剛性彈.無粘結筋預應力的建立通過“降溫法”來實現.即在 initial condition中定義溫差，使預應力作用下板靜態平衡后桁架單元的應力值與實際有效預應力一致［6］.

1.2 單元選擇

本文采用8節點六面體線性減縮積分單元“C3D8R”來模擬混凝土板，該單元具有位移結果精確的優點.為防止產生沙漏，沿板厚方向劃分4個單元.非預應力筋和無粘結筋采用桁架單元“T3D2”模擬，該單元為在空間中只能承受拉伸和壓縮荷載作用的線狀構件.

1.3 材料本構關系

1.3.1 混凝土本構模型

國內外學者提出了多種考慮混凝土塑性性能的本構模型，本文在ABAQUS分析中對混凝土采用可考慮材料拉壓性能的損傷塑性模型.

對于單軸向混凝土本構模型，本文采用過鎮海等［7］提出的混凝土單軸受拉和受壓應力-應變曲線(圖2).該應力-應變曲線在應力峰值點處導數連續，可根據不同材料對曲線進行調整，適合本文對預應力混凝土結構的精細化分析，模型應力、應變方程可采用過鎮海［7］提出的相關公式.對于混凝土多軸應力應變關系，采用江見鯨等［8］提出的模型方程，屈服條件采用由Lublinear等［9］提出的模型方程，在混凝土損傷塑性模型中的塑性勢面采用Drucker等［10］提出的靜水壓力面.

圖1 混凝土單軸應力-應變曲線

1.3.2 預應力筋與非預應力筋本構模型

非預應力筋采用圖2所示的理想彈塑性本構模型，預應力筋本構關系采用三折線模型.

圖2 鋼材的本構關系

2 模型驗證

2.1 雙向板模型試驗

大連理工大學宋永發等［11］進行了2塊四邊簡支的無粘結預應力混凝土雙向板(編號WB-1、WB-2)的試驗研究，雙向板模型尺寸為4 200 mm×4 200 mm，板厚100 mm.所用混凝土強度等級為C30，預應力筋為fptk=1 860 MPa的φs5高強鋼絲，張拉控制應力為(0.60～0.65)fptk．非預應力筋按φ6.5@200雙層雙向均勻布置，屈服強度實測值為321.6 MPa.試件各材料強度實測平均值及其他參數見表1.該雙向板模型采用16個點的集中荷載模擬均布荷載.

表1 試件基本數據

2.2 試驗結果分析

由有限元模型分析得到的雙向板荷載-跨中最大變形曲線與試驗曲線的對比見圖3.雙向板在加載過程中跨中變形的有限元分析結果與實測值吻合較好，說明本文建立的有限元模型具有一定的計算精度.

圖3 板中心變形的試驗值與計算值對比

3 雙向板設計

3.1 荷載確定

3.1.1 恒載

本文無粘結預應力混凝土雙向板設計中考慮的恒荷載見表2.

表2 恒載統計

3.1.2 活載

參見GB5009—2012《建筑結構荷載規范》中表4.1.1，可以發現活荷載標準值在2～5 kN/m2范圍分布最多.從適應實際工程應用考慮出發，四邊支承無粘結預應力混凝土雙向板的模型設計均考慮了活荷載分別為2、3、4、5 kN/m2時的情況.

3.2 板厚確定

根據工程經驗，無粘結預應力混凝土雙向板的跨度一般在7～10 m內，故本文設計的雙向板模型中，板的跨度有 7、8、9、10 m 共 4種類型.每種跨度下的板厚可由最小高跨比1/45確定.

3.3 混凝土及鋼筋材料的確定

各雙向板模型中預應力筋采用抗拉強度標準值fptk=1 860 N/mm2的φs5無粘結預應力鋼絲，混凝土強度等級為 C40(μfcu=49.8 N/mm2)，彈性模量Ec=3.25×104N/mm2.

對于非預應力筋，本文根據中國近年頒布的GB 50010—2010《混凝土結構設計規范》及GB1499.2—2007《鋼筋混凝土用熱軋帶肋鋼筋》國家標準，將雙向板的模型設計考慮了非預應力筋鋼 種 分 別 為:HPB300、HRB335、HRB400、HRB500及HRB600時的情況.

3.4 雙向板模型設計

四邊支承無粘結預應力混凝土雙向板按其邊界條件可分為6類:四邊簡支、四邊固支、兩臨邊簡支兩臨邊固支、三邊固支一邊簡支、三邊簡支一邊固支、兩對邊簡支兩對邊固支［12-13］.其中四邊支承雙向板模擬獨立的四邊墻支承和梁支承雙向板;四邊固支雙向板模擬內區格板;兩臨邊簡支兩臨邊固支雙向板模擬角區格板;三邊固支一邊簡支雙向板模擬邊區格板;三邊簡支一邊固支雙向板模擬一方向連續、一方向單跨的端區格板;兩對邊簡支兩對邊固支雙向板模擬一方向連續、一方向單跨的中區格板.它們基本涵蓋了所有邊界支承條件的雙向板類型.根據各四邊支承條件下的雙向板在不同外載下的彈性內力計算值，可分別進行配筋設計.

4 雙向板中無粘結筋應力增量計算

4.1 無粘結筋應力增量計算

為盡量減少有限元分析過程中雙向板中預應力筋的應力誤差，并考慮到已驗證雙板的有限元變形分析結果與實測結果擬合程度較好，本文通過無粘結筋在雙向板受荷后的整體變形求得其應力增量值.大體思路是由雙向板中無粘結筋的變形前后節點坐標進行曲線擬合，通過弧長積分得到其變形前后的長度差值即無粘結筋伸長值，進而根據本構關系確定無粘結筋的應變及應力增量［14］.

本文預應力混凝土雙向板為均勻配置預應力筋，這是因為“均勻布筋”、“中密邊疏”、“僅中間分布”等布筋形式的雙向板中無粘結筋應力增量是不同的，而基于均勻布筋得出的結論用于其他情況是偏于安全的.為方便計算，本文將四邊不同支承條件下的雙向板跨中最大變形所在截面所對應的無粘結筋應力增量做為基本考察對象并建立相應的無粘結筋應力增量計算公式，進而探索板中任一截面處的無粘結應力增量與板中最大變形截面處無粘結筋應力增量的關系式.

4.2 正常使用階段無粘結筋應力增量

以預應力混凝土雙向板控制截面受拉非預應力筋屈服做為正常使用極限狀態的標志，基于有限元模型分析結果，可得到正常使用極限狀態下與四邊不同支承條件相對應的以單位板寬綜合配筋指標為自變量、以板跨中最大變形處無粘結筋應力增量Δσpy為因變量的關系曲線．以配有HRB400級非預應力筋的雙向板為基礎，以四邊簡支和四邊固定雙向板為例，β0-Δσpy計算結果見圖4．

圖4 Δσpy與β0的擬合曲線

從圖4可看出，在正常使用極限狀態下，與雙向板跨中最大變形處所對應的無粘結筋應力增量Δσpy隨著綜合配筋指標β0的增大而增大．這是因為綜合配筋指標β0反映了預應力筋與非預應力筋對截面抗彎承載力的綜合影響，在正常使用階段，隨著雙向板中β0的增大，截面抗彎承載力提高，推遲了雙向板控制截面非預應力筋的受拉屈服，給雙向板的彎曲變形留下了較大空間．

各四邊支承條件下雙向板數據點的下包線做為非預應力筋為HRB400的預應力混凝土雙向板中無粘結筋應力增量ΔσpyHRB400計算式的擬合曲線，可由式(1)表達:

式中系數ay、by與四邊支承條件相關，取值見表3．

表3 正常使用階段無粘結筋應力增量計算系數

為考察非預應力筋鋼種對無粘結筋應力增量的影響，令μpy為在綜合配筋指標等基本參數相同的情況下分別配有HPB300、HRB335、HRB500和HRB600非預應力筋的雙向板與配有HRB400非預應力筋的雙向板在正常使用極限狀態下無粘結筋應力增量的比值.則非預應力筋抗拉屈服強度fy與μpy關系見圖5．

取圖5中數據點的下包線得非預應力筋鋼種影響系數μpy為

圖5 μpy與 fy關系

則配置任一非預應力筋鋼種的無粘結預應力混凝土雙向板跨中最大變形處無粘結筋在正常使用極限狀態下的應力增量Δσpy為

4.3 承載力極限狀態無粘結筋應力增量

以預應力混凝土雙向板受壓區外邊緣混凝土達到極限壓應變做為承載能力極限狀態標志.基于有限元模型分析結果，可得到在承載能力極限狀態下與四邊不同支承條件相對應的以單位板寬綜合配筋指標β0為自變量、以板跨中最大變形處無粘結筋應力增量Δσpu為因變量的擬合曲線．以配有HRB400級非預應力筋的雙向板模型為基礎，以四邊簡支和四邊固定雙向板為例，Δσpu-β0計算結果見圖6．

圖6 Δσpu與β0的擬合曲線

從圖6可看出，在承載能力極限狀態下各支承條件下的雙向板中無粘結筋應力增量Δσpu都隨著β0的增大而減?。@是因為隨著β0的增大，也即預應力筋與非預應力筋配筋量的增加，使得預應力混凝土雙向板延性降低，配筋較多的雙向板在承載能力極限狀態塑性鉸線發展要明顯低于配筋較少的雙向板，從而影響了無粘結筋極限應力增量．

分別取各四邊支承條件雙向板數據點的下包線做為非預應力筋為HRB400的預應力混凝土雙向板中無粘結筋應力增量ΔσpuHRB400計算式的擬合曲線，可由式(4)表達:

式中系數au、bu與四邊支承條件相關，取值見表4．

表4 承載能力極限狀態無粘結筋應力增量計算系數

為考察非預應力筋屈服強度對雙向板中無粘結筋應力增量的影響，令μpu為在單位板寬綜合配筋指標等基本參數相同的情況下分別配有HPB300、HRB335、HRB500 和 HRB600 非預應力筋的雙向板與配有HRB400非預應力筋的雙向板在承載能力極限狀態下無粘結筋應力增量的比值.則根據有限元模擬計算結果，可得到與非預應力筋抗拉屈服強度fy對應的μpu關系，見圖7．

由圖7可知，隨著非預應力筋屈服強度的提高無粘結筋極限應力增量有所增大.取圖7中數據點的下包線得到μpu的方程曲線為

則在承載使用極限狀態下，配置任一非預應力筋鋼種的預應力混凝土雙向板跨中最大變形處無粘結筋應力增量Δσpu為

圖7 μpu與 fy關系

4.4 任意截面無粘結筋應力增量計算

由式(3)、(6)可分別得到在正常使用和承載能力極限狀態下雙向板最大變形處無粘結筋應力增量.由于雙向板變形的不均勻性，其他截面處無粘結筋應力增量將小于該值，因此無粘結筋應力增量應與其在板中的位置相關.由此引入無粘結筋分布系數η來考慮這一問題，η定義為:某一方向編號為i的無粘結筋至與其平行的固支邊最短距離li與該固支邊邊長l之比．若與該無粘結筋平行的兩邊都為簡支邊，則li為該無粘結筋至與其平行簡支邊的最短距離，l為該簡支邊邊長．同時，令該無粘結筋應力增量Δσpi與板內同一方向無粘結筋最大應力增量Δσpmax之比為κ．

由有限元分析結果，可分別確定在正常使用極限狀態和承載能力極限狀態下與不同支承條件對應的雙向板中無粘結筋分布系數η與應力增量比例系數κ的關系曲線，并由此得到κ的計算公式．

4.4.1 正常使用極限狀態κs的計算公式

以四邊簡支和四邊固定雙向板為例，正常使用極限狀態下預應力混凝土雙向板中各無粘結筋分布系數η與應力增量比例系數κs的關系曲線見圖8．由于雙向板的變形沿兩方向中心線對稱，因此僅取一半曲線進行考察．

圖8 η與κs的擬合曲線

圖8中若與所考察無粘結筋平行的兩板邊支承情況相同，由于雙向板在該方向的變形沿中心線對稱，因此僅給出一半的κs-η曲線.

正常使用極限狀態下與各支承條件相對應的以分布系數η為自變量的應力增量比例系數κs計算式見式(7)～(15).

四邊固支雙向板:

四邊簡支雙向板:

三邊固支一邊簡支雙向板:

兩邊固支方向

一邊固支一邊簡支方向

三邊簡支一邊固支雙向板:

兩邊簡支方向

一邊簡支一邊固支方向

兩對邊固支兩對邊簡支雙向板:

兩邊簡支方向

兩邊固支方向

兩臨邊固支兩臨邊簡支雙向板:

4.4.2 承載能力極限狀態κu的計算公式

以四邊簡支和四邊固定雙向板為例，承載能力極限狀態下各支承條件下預應力混凝土雙向板中各無粘結筋分布系數η與應力增量比例系數κu的關系曲線見圖9．由于雙向板的變形沿兩方向中心線對稱，因此僅取一半曲線進行考察．

圖9 η與κu的擬合曲線

則承載能力極限狀態下與各支承條件相對應的以分布系數η為自變量的應力增量比例系數κu計算式見式(16)～(24)．

四邊固支雙向板:

四邊簡支雙向板:

三邊固支一邊簡支雙向板:

兩邊固支方向

一邊固支一邊簡支方向

三邊簡支一邊固支雙向板:

兩邊簡支方向

一邊簡支一邊固支方向

兩對邊固支兩對邊簡支雙向板:

兩邊簡支方向

兩邊固支方向

兩臨邊固支兩臨邊簡支雙向板:

4.5 雙向板中無粘結筋應力增量公式

綜上所述，可得到預應力混凝土雙向板中兩方向任一編號為i的無粘結筋在正常使用極限狀態及承載能力極限狀態下的應力增量公式:

正常使用極限狀態下無粘結筋應力增量計算公式為

式中:Δσpyi為編號為i的無粘結筋在正常使用極限狀態下的應力增量，κs根據四邊支承條件由式(7)～(15)確定，Δσpy由式(3)確定．

承載能力極限狀態下無粘結筋應力增量計算公式為

式中:Δσpui為編號為i的無粘結筋在承載能力極限狀態下的應力增量，κu根據四邊支承條件由式(16)～(24)確定，Δσpu由式(6)確定．

5 雙向板內力重分布設計

5.1 四邊支承雙向板的彎矩調幅系數

與預應力混凝土連續梁相似，預應力混凝土雙向板在加荷過程中截面剛度不斷變化，支座截面次彎矩的大小也隨之變化.從公式實用性角度出發，以雙向板支座各截面的外載彎矩Mload與張力引起的次彎矩之和Msec(Mload+Msec)為調幅對象是比較合適的，可與雙向板彈性設計方法相協調．由于雙向板各截面彎矩不均勻，因此在分析時取支座處的總彎矩作為調幅對象．

5.2 參數分析

5.2.1 跨高比的影響

由于無粘結預應力混凝土雙向板的常用跨高比范圍1/40～1/45相差不大，且經分析在此范圍內跨高比對預應力混凝土雙向板彎矩調幅影響不大，因此暫不考慮跨高比的影響.

5.2.2 綜合配筋指標的影響

以受壓區外邊緣混凝土達到極限壓應變作為預應力混凝土雙向板的破壞標志，根據分析數據可得到連續板支座處板跨寬度范圍內總彎矩的有限元分析結果相對彈性計算結果的調幅幅度α．取雙向板綜合配筋指標β0為自變量，可得到如圖10所示的連續雙向板支座控制截面彎矩調幅系數α隨綜合配筋指標β0變化的關系圖．隨著綜合配筋指標的增加，彎矩調幅系數隨之減小．由此可看出雙向板的彎矩調幅系數隨綜合配筋指標β0的變化趨勢規律與單向板相似，即隨著綜合配筋指標的增加支座截面的彎矩調幅系數有較為明顯的降低．這是由于預應力筋及非預應力筋用量的增加雖可提高截面的抵抗彎矩，但塑性鉸線轉動能力隨之下降，使得彎矩調幅能力有較為明顯的下降趨勢．

5.2.3 預應力度的影響

為進一步考察在綜合配筋指標一定的情況下預應力度對彎矩調幅系數的影響，對原四邊固支雙向板模型中的預應力筋與非預應力筋用量進行了調整，使之在綜合配筋指標不變的情況下預應力度λ分別控制在0.5、0.6、0.7、0.8四個等級進行分析，不同綜合配筋指標β0下雙向板支座截面彎矩調幅系數α隨λ的變化曲線見圖11．在綜合配筋指標β0相同的情況下改變預應力度對雙向板彎矩調幅影響不大．由此可見雖然預應力度較大的雙向板由于無粘結筋比例的增加使得支座控制截面延性降低，但非預應力筋比例的降低同時使得支座控制截面延性提高．總體上彎矩調幅系數α變化不明顯，因此在彎矩調幅系數計算公式中不計入預應力度的影響．

圖10 α與β0關系

圖11 α與λ關系

5.2.4 非預應力筋鋼種的影響

為考慮非預應力筋鋼種對無粘結預應力混凝土雙向板彎矩調幅系數α的影響，令μs為在單位板跨綜合配筋指標等基本參數相同的情況下分別配有 HPB300、HRB335、HRB500和 HRB600 級非預應力筋的雙向板與配有HRB400級非預應力筋的雙向板彎矩調幅系數的比值.則根據有限元模擬計算結果，可得到如圖12所示與非預應力筋抗拉屈服強度fy對應的μs關系圖．不同預應力筋鋼種對彎矩調幅系數α的影響較為明顯，且隨著非預應力筋強度等級的提高而呈下降趨勢．

圖12 μs與fy關系

5.3 彎矩調幅系數計算公式的建立

綜上所述，影響無粘結預應力混凝土雙向板彎矩調幅系數的主要參數應為綜合配筋指標β0和非預應力筋鋼種．以配有HRB400級非預應力筋的無粘結預應力混凝土雙向板彎矩調幅系數αHRB400的函數表達式做為基本公式，由圖10可得αHRB400函數表達式為

考慮到若調幅過高將造成雙向板產生過度塑性變形，難以保證正常使用階段的撓度及裂縫寬度限制要求，因此建議最大調幅幅度為0.30.

對配有其他強度等級非預應力筋的無粘結預應力混凝土雙向板，彎矩調幅系數α可表達為非預應力筋鋼種影響系數μs與基本計算式αHRB400乘積的形式:

取圖12中數據的下包線作為非預應力筋鋼種影響系數μs的方程曲線:

關于雙向板的彎矩調幅是一個非常復雜的問題，本文僅對四邊固結雙向板的彎矩調幅進行了計算分析，未涉及邊區格板和角區格板.

6 結 論

1)提出了各類四邊支承預應力混凝土雙向板中無粘結筋應力增量的計算公式和彎矩調幅設計計算方法.

2)建立了隨綜合配筋指標β0增大而增大，隨非預應力筋屈服強度提高而提高的正常使用階段無粘結筋應力增量計算公式，和隨綜合配筋指標β0增大而減小，隨非預應力筋屈服強度提高而增大的承載能力極限狀態無粘結筋應力增量計算公式．

3)建立了四邊支承預應力混凝土雙向板固結邊負彎矩調幅系數計算公式，該調幅系數隨綜合配筋指標β0增大而減小，隨非預應力筋屈服強度提高而減?。?/p>

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