雙塔電壓發生器地震反應分析的Rayleigh阻尼矩陣

唐 玉，樓夢麟

(同濟大學土木工程防災國家重點實驗室，200092上海)

電壓發生器設備，在電力系統中占據十分重要的位置，該類設備日趨大型化、高壓化和新型化，對其抗震設計的研究成為國內外抗震研究工作的重要課題之一［1］.由于功能需求特殊，其往往具有細長(高度遠大于寬度)、重心高(頂部質量比重大)以及阻尼比小(約為混凝土的1/7～1/4)等特點，使得這種結構形式十分不利于抵御強風作用或水平地震作用［2］.電壓發生器通常有兩種結構形式［3-4］:一種為單塔式;另一種為多塔式.多塔式結構，以雙塔為例，本體與分壓器之間由保護電阻相連接，構成了較復雜的結構體系.

在對結構進行地震反應分析時，構造合適的阻尼矩陣十分重要.目前最為常用的阻尼矩陣建模方式為Rayleigh阻尼矩陣，由于該矩陣在數學處理方面十分便捷，因此很多商業有限元軟件都包含了這個矩陣模型.Rayleigh阻尼矩陣由質量矩陣和剛度矩陣線性組合而成，并通過選取的結構兩階自振頻率及其對應振型的阻尼比求得相應的質量和剛度比例阻尼系數［5-6］.

由于雙塔電壓發生器在地震作用下表現出主從結構反應形式，計算Rayleigh阻尼系數時，需要同時考慮兩個塔體的動力反應特性，因此選取合適的兩階頻率顯得尤為重要.為此，本文采用不同的頻率組合，計算相應的Rayleigh阻尼系數并組建阻尼矩陣，利用有限元軟件對某雙塔電壓發生器結構基于不同阻尼矩陣的地震反應進行分析，探討不同建模方式對此類結構地震反應的影響，從而確定最優阻尼模型，為相似結構的地震反應分析提供可靠依據.

1 計算模型

1.1 結構簡介

本文分析的結構為北方地區一室外雙塔電壓發生器，如圖1所示.主體結構包括位于圖左側的本體塔架、本體屏蔽罩和位于圖右側的分壓器塔架、分壓器屏蔽罩，以及連接兩塔架的保護電阻.本體塔架和分壓器塔架分別設置4根斜拉桿，以增強其穩定性.

圖1 雙塔式電壓發生器結構示意

本體塔架的左邊立柱由高度為2.9 m的濾波電容器、交流上支柱，1.5 m的倍壓電容器以及1.6 m的交流下支柱組成;右邊立柱由高度2.9 m的濾波電容器、1.432 m的直流上支柱，以及1.632 m的直流下支柱組成.兩立柱總高均為14.844 m，其底部至屏蔽罩頂部的總高度為16.3 m，立柱間在水平向由斜向硅堆管連接，豎向由法蘭盤連接.分壓器塔架由3個六層立柱組成，每層高度為2.4 m，底部金屬支座高0.4 m，總高度14.4 m，底部至屏蔽罩頂部的高度為16.2 m.3個立柱組成的結構平面為邊長1.2 m的正三角形，各立柱間在水平向由水平鋼桿相連，豎向由法蘭盤相連.本體與分壓器的屏蔽罩之間配置3個保護電阻，并通過金屬掛管相連.

總體上，立柱材料為復合絕緣套管，水平連桿為鋼管，保護電阻為玻璃絲管，本體與分壓器屏蔽罩內部支撐為型鋼構件，斜拉桿為引拔棒.各類構件材料的具體物理性能參數如表1所示，表中復合絕緣套管和引拔棒的各項強度為破壞強度，鋼Q235 的強度為設計強度［7］.

表1 材料物理性能

1.2 有限元模型

本文應用ANSYS程序對結構體系進行計算分析，根據直流電壓發生器結構體系的特點，分別采用不同單元建立結構體系的計算模型.其中，本體倍壓電容器、濾波電容器、直/交流支柱、高壓硅堆及分壓器立柱等采用PIPE16管單元模擬;本體與分壓器的連接桿、大保護電阻、均壓罩中的支撐構件等采用BEAM188梁單元模擬;本體與分壓器的斜拉桿采用LINK180受拉桿單元模擬;本體大/小腰形罩、中部均壓罩以及大保護電阻中/端部均壓環的質量分布用MASS21質量單元來模擬.模型中有84個管單元，969個梁單元，113個質量單元，16個受拉桿單元，共 447個節點，2 634個自由度.結構的有限元模型如圖2所示.

圖2 結構計算有限元模型

1.3 基本運動方程

一致地震輸入作用下，多自由度體系的強迫振動［5］可以表示為

式中:{u}、}和}分別為相對位移、相對速度和相對加速度，［M］、［C］和［K］分別為質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣，{Ⅰ}為地面運動影響向量，g(t)為地面運動加速度．阻尼矩陣［C］選用Rayleigh阻尼矩陣，即:

式中α和β分別為質量比例阻尼系數和剛度比例阻尼系數．

若已知結構的前N階頻率和模態為ωk和{φk}(k=1，2，…，N)，則結構位移由廣義坐標位移表示為

將式(3)代入式(1)，并前乘{φk}T后得:

式中γk、Mk和ζk分別為第k階振型的參與系數、廣義質量和振型阻尼比的計算值．當結構系統的各階阻尼比均為ζ時，有

式中ωm、ωn為結構任意兩階頻率，經試驗得到復合絕緣套管的阻尼比為ζ=0.012 4．

1.4 地震作用

根據 GB50011—2010《建筑結構抗震規范》［8］，該地區的抗震設防烈度為8度，II類工程場地，水平輸入地震加速度的峰值為0.2g.選用II類場地上記錄的3條實際地震波:Taft波、El-Centro波和寧河波.地震輸入方式采用控制水平方向(垂直于本體與分壓器水平連接方向的Z向)+豎直方向(Y向)，3條波分別選取相應的水平分量和垂直分量，其中垂直地震加速度峰值取為水平地震加速度峰值的1/2.各輸入地震波的水平加速度時程曲線、傅里葉幅值譜以及反應譜如圖3～5所示.

圖3 輸入水平地震波的時程曲線

圖4 輸入水平地震波的傅里葉幅值譜

圖5 輸入水平地震波的反應譜

2 結構動力特性和地震反應

2.1 自振特性

表2列出了結構前七階自振頻率ωi、自振周期 Ti、各階振型 3 個方向的參與系數 ηix、ηiy、ηiz，其中第1階振型為以本體水平Z方向振動為主的振型，第2階振型為以分壓器Z方向振動為主的振型，第5階振型為以分壓器水平X方向振動為主的振型，第7階振型為以本體X方向振動為主的振型，如圖6所示．表中還列出了明顯以Y方向豎向振動為主的第19階振型．

2.2 不同Rayleigh阻尼矩陣建模方式

由式(6)可知，結構地震反應分析中采用Rayleigh阻尼矩陣形式時，各階振型阻尼比的計算值是本階振型頻率ω與比例系數α和β的函數．其中α、β可由結構體系兩階控制振型的頻率和相應的振型阻尼比來確定．由于確定α和β值時，選取兩階自振頻率的任意性將改變未參與比例系數計算的其他振型的真實阻尼比，使得Rayleigh阻尼矩陣下各階振型阻尼比的計算值存在一定的誤差.圖7為當各階振型阻尼比的實際值相等時，按式(5c)計算得到的振型阻尼比變化曲線.從圖7可見，位于兩階控制頻率之間的振型阻尼比計算值小于真實阻尼比，將會導致高估相應模態的結構動力反應;而位于兩階頻率以外的振型阻尼比的計算值大于真實阻尼比，將會導致低估相應模態的結構動力反應.尤其當對結構地震反應貢獻較大的振型較多時，會造成結構的地震反應產生較大失真.已有研究表明［9-10］，選擇合適的控制振型是保證結構地震反應計算準確性的關鍵.

表2 結構自振特性表

圖6 直流電壓發生器結構體系振型圖

圖7 各階振型阻尼比

由于系統的第1階振型是以本體水平Z向第1振型為主的振型，因此取ωm=ω1．同時，針對雙塔電壓發生器主從結構的反應形式，并參照相關Rayleigh阻尼矩陣的建模方式，ωn采用6種方法進行選取．

方法一:選取ωn為以分壓器水平Z向第1振型為主的系統第2階振型頻率，即ωn=ω2．

方法二:選取ωn為以本體水平Z向第2振型為主的系統第3階振型頻率，即ωn=ω3．

方法三:選取ωn為以分壓器水平Z向第2振型為主的系統第4階振型頻率，即ωn=ω4．

方法四:考慮輸入地震波頻譜影響，取ωn為該地震波反應譜中譜值最大的激振頻率，即ωn=ωr．

方法五:取 ωn為粘滯阻尼轉換頻率［11］，即ωn=ωc．阻尼系數轉換頻率ωc與結構基頻和地震動的頻譜特性有關．通過對多條實際地震動的最佳擬合頻率進行曲線擬合，得到其經驗公式為

式中:fg為傅里葉譜 A(f)重心處的頻率，fg=λ1/λ0，λi為傅里葉譜的譜矩，即

經計算，3條地震波傅里葉譜重心處的頻率分別為3.131 8、3.402 4及1.923 6 Hz，由此得到對應各條地震波的粘滯阻尼轉換頻率均為8.62 rad/s.

方法六:采用直接求解Rayleigh阻尼系數的優化方法［12］.該方法以控制結構動力反應誤差為目的，主要包含4個步驟:①進行模態分析，確定結構自振頻率ωn、振型{φ}n和振型參與系數γn;②根據輸入地震波確定位移反應譜Sd(ζn，ωn);③建立以結構動力特性、振型參與系數以及反應譜為函數的目標函數:

④求解正規方程，得到該地震波下α和β的優化解，并解得相應的最優頻率，則取ωn為該頻率，即ωn= ωy．

表3列出了對應于各方法的ωn值．從表中ωr的數值可以看出，所選3條地震波的反應譜峰值頻率有如下特點:Taft波的ωr大于ω3，El-Centro波的ωr介于ω2和ω3之間，寧河波的ωr介于ω1和ω2之間．圖 8～10分別給出了結構在 Taft波、El-Centro波及寧河波作用下，采用6種頻率組合方式獲得的結構各階振型阻尼比曲線，其中水平實線代表各階振型阻尼比均為精確阻尼比0.012 4.

表3 各工況下ωn的取值 rad·s-1

為了比較不同阻尼模型對結構地震反應的影響，需要確定結構的“實際”反應.在線性條件下，結構的實際地震反應可以采用全部模態疊加后的總反應.文中在假定各階振型阻尼比均為0.012 4的條件下，選取全部振型應用振型疊加法計算結構的地震總反應，并以此作為分析比較的真實解.

圖8 Taft波不同頻率組合下振型阻尼比曲線

圖9 El-Centro波不同頻率組合下振型阻尼比曲線

圖10 寧河波不同頻率組合下振型阻尼比曲線

表4～6分別列出了結構在3條地震波作用下，采用不同阻尼矩陣后關鍵部位的反應峰值，以及各工況下結構線性地震反應峰值的相對誤差.表中A、V、M和N分別表示頂層加速度與支柱底截面上的剪力、彎矩和軸力，其中后三項是結構抗震設計中重點關注的內容.下標B、F和C分別代表本體、分壓器和保護電阻.結構在 Taft波作用下的頂層加速度、本體支柱剪力以及本體支柱彎矩時程曲線同真實解的對比情況見圖11.

表4 不同阻尼矩陣下地震反應峰值比較(Taft波)

表5 不同阻尼矩陣下地震反應峰值比較(El-Centro波)

表6 不同阻尼矩陣下地震反應峰值比較(寧河波)

圖11 Taft波作用下結構關鍵部位時程曲線

計算結果表明:

1)Taft波作用下，工況 ω1+ ωy、ω1+ ωr、ω1+ω3和ω1+ω4計算阻尼比系數存在高估結構動力反應的現象，而工況ω1+ω2和ω1+ωc則低估了結構的動力反應．由地震波的頻譜特性結合振型阻尼比曲線可知，Taft波中高頻分量相對豐富(主要分量在0～5 Hz范圍)，使得相對高階振型對反應的貢獻不可忽略．由于工況ω1+ω2和ω1+ωc對應的阻尼比曲線明顯存在高估高階振型阻尼比的現象，因此這兩組工況下的結構動力反應小于真實解．

2)El-Centro波作用下，工況ω1+ωy計算阻尼比系數存在高估結構動力反應的現象，而其余工況則低估了結構的動力反應.由地震波的頻譜特性結合振型阻尼比曲線可知，El-Centro波中高頻分量相對豐富(主要分量在0～5 Hz范圍)，高階振型對反應的貢獻同樣不可忽略.除了工況ω1+ωy，其余工況對應的阻尼比曲線明顯存在高估高階振型阻尼比的現象，因此這些工況下的結構動力反應均小于真實解．

3)寧河波作用下，各工況計算阻尼比系數均存在低估結構動力反應的現象.由地震波的頻譜特性結合振型阻尼比曲線可知，寧河波的主要能量集中在低頻段(主要分量在0～1.5 Hz范圍)，使得各工況對應的阻尼比曲線明顯高估了高階振型阻尼比.

綜合表4～6的數據可知，當地震波反應譜中譜值最大的激振頻率大于結構前兩階振型頻率時，ωn的選擇主要考慮輸入地震波中主要分量頻率的影響，建議ωn取為地震波反應譜峰值頻率和優化頻率的較小值，這樣能保證不低估結構地震反應;當地震波反應譜中譜值最大的激振頻率低于結構第2階振型頻率時，地震波反應譜峰值頻率對應的解和優化解對結構地震反應分析已無實際意義，ωn的選擇主要考慮結構各階振型的貢獻情況．由此可見，利用Rayleigh阻尼模型進行地震反應分析時，若想得到較為精確的結果，其阻尼比例系數的選取非常關鍵，且對不同物理量會有不同的影響，應綜合考慮地震波的頻譜特性及結構的自振特性進行選取.

3 結語

電壓發生器設備因其具有長細比大、重心高、阻尼比小等特點，十分不利于抵御水平地震作用或強風作用.本文以明置于室外地表的某雙塔電壓發生器為例，計算并分析了在具有不同激振頻率分布特性的地震波作用下，結構在不同阻尼矩陣模型下的結構動力反應.計算結果表明:不同Rayleigh阻尼系數的選取對結構動力反應將產生很大影響，因此利用Rayleigh阻尼模型對結構進行地震反應分析時，應綜合考慮地震波的頻譜特性和結構的自振特性選取兩階自振頻率及相應的振型阻尼比，從而使計算結果更接近真實解.

［1］李杰.生命線工程抗震［M］.北京:科學出版社，2005.

［2］同濟大學土木工程防災國家重點實驗室.汶川地震震害［M］.上海:同濟大學出版社，2008.

［3］樓夢麟，董云.大型直流電壓發生器塔架結構地震反應分析［J］.防災減災工程學報，2013，33(1):35-40.

［4］樓夢麟，潘曦.電容器雙塔結構地震反應分析［J］.結構工程師，2009，25(6):84-88.

［5］RAY W C，JOSEPH P.Dynamics of Structures［M］.Berkeley:Computers ＆Structures，Inc.，1995.

［6］翟長海，謝禮立，張茂花.阻尼對工程結構等延性地震抗力譜的影響分析［J］.哈爾濱工業大學學報，2006，39(10):1705-1708.

［7］GB 50009—2001建筑結構荷載規范［S］.北京:中國標準出版社，2006.

［8］GB 50011—2010建筑抗震設計規范［S］.北京:中國建筑工業出版社，2010.

［9］樓夢麟，張靜.大跨度拱橋地震反應分析中阻尼模型的討論［J］.振動與沖擊，2009，28(5):22-26.

［10］樓夢麟，張靜.結構爆破地震反應計算中的阻尼模型［J］.防護工程，2009，31(1):15-19.

［11］樓夢麟，潘旦光.滯后阻尼在土層時域分析中的應用［J］.同濟大學學報，2004，32(3):281-285.

［12］樓夢麟，董云.基于結構基頻確定Rayleigh阻尼系數的優化方法及其討論［J］.湖南大學學報，2014，41(2):8-13.