單部件劣化系統(tǒng)的維修成本優(yōu)化研究

（中南大學(xué)商學(xué)院 湖南長(zhǎng)沙410083）

一、引言

隨著技術(shù)的進(jìn)步，設(shè)備變得越來(lái)越復(fù)雜化，企業(yè)花費(fèi)在設(shè)備維修上的成本占企業(yè)運(yùn)營(yíng)成本的比例也變得越來(lái)越大。從單臺(tái)設(shè)備的生命周期成本角度來(lái)看，維修成本是全生命周期成本的重要組成部分。因此，優(yōu)化維修成本對(duì)降低企業(yè)運(yùn)營(yíng)成本、提高企業(yè)競(jìng)爭(zhēng)力和全生命周期成本的優(yōu)化有很大貢獻(xiàn)。

目前檢測(cè)到系統(tǒng)的狀態(tài)變得越來(lái)越容易和可信，從而視情維修逐漸成為研究的熱點(diǎn)。視情維修是通過(guò)對(duì)設(shè)備進(jìn)行定期或序貫的或連續(xù)的檢測(cè)來(lái)獲知系統(tǒng)狀態(tài)，進(jìn)而安排維修工作以避免產(chǎn)品失效。系統(tǒng)劣化過(guò)程是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，對(duì)于單調(diào)和逐漸劣化的隨機(jī)過(guò)程，用Gamma過(guò)程描述是最合適的。Gamma過(guò)程具有很好的數(shù)學(xué)特性，是一個(gè)具有獨(dú)立、非負(fù)增量的隨機(jī)過(guò)程。Abdel-Hameed提出用Gamma過(guò)程作為描述系統(tǒng)發(fā)生隨機(jī)劣化的適當(dāng)模型，稱為 “Gamma磨損過(guò)程”。Park、Kong和 Park以 Gamma過(guò)程描述系統(tǒng)的劣化過(guò)程，以維修費(fèi)用率最小為目標(biāo)，建立了檢測(cè)周期固定的視情維修模型，用解析法求得最優(yōu)預(yù)防維修狀態(tài)閾值。程志君進(jìn)一步考慮維修延遲，以系統(tǒng)的平均費(fèi)用率最低為目標(biāo)，聯(lián)合優(yōu)化檢測(cè)間隔期和預(yù)防維修閾值。李玲等將Gamma過(guò)程與幾何過(guò)程相結(jié)合，提出一種加速劣化模型，以系統(tǒng)平均費(fèi)用率最小為目標(biāo)，求解最優(yōu)視情維修策略。Huynha et al.考慮系統(tǒng)的劣化和創(chuàng)傷性事件兩種競(jìng)爭(zhēng)失效模式，以維修費(fèi)用率最小為目標(biāo)，建立視情維修的定期檢測(cè)/更換模型，得到最佳檢測(cè)間隔期和預(yù)防維修閾值。在目前視情維修的研究中，在以維修成本最低為目標(biāo)時(shí)，很少考慮維修時(shí)間且沒(méi)有考慮維修期間內(nèi)的生產(chǎn)損失。

本文針對(duì)連續(xù)劣化單部件系統(tǒng)，考慮實(shí)際中普遍采用的定期檢測(cè)，建立了以系統(tǒng)平均維修成本率最低為優(yōu)化目標(biāo)，以檢測(cè)間隔期和預(yù)防維修閾值為變量的維修優(yōu)化模型。在模型中，假設(shè)預(yù)防維修時(shí)間和故障后維修時(shí)間服從一般分布，考慮檢測(cè)成本、預(yù)防維修成本、故障后維修成本、維修期間的生產(chǎn)損失和維修延遲的停機(jī)損失。

二、模型建立

（一）模型假設(shè)與分析

1.將連續(xù)兩次更新系統(tǒng)至全新?tīng)顟B(tài)的期間定為一個(gè)周期。

2.用隨機(jī)變量 X（t）表示系統(tǒng)在時(shí)刻 t的劣化狀態(tài)，若無(wú)維修行為，X（t）是連續(xù)且單調(diào)遞增的。當(dāng)t=0時(shí)，X（t）=0，表示系統(tǒng)處于全新工作狀態(tài)。隨機(jī)變量 X（0），X（1）-X（0），… ，X（t）-X（t-1）是非負(fù)、平穩(wěn)和相互獨(dú)立的。

3.對(duì)系統(tǒng)采取視情維修策略，在一個(gè)周期內(nèi)進(jìn)行定期檢測(cè)，檢測(cè)間隔期為 T，檢測(cè)時(shí)刻 tk=kT（k=0，1，2…），每次檢測(cè)成本為Ci，檢測(cè)時(shí)間忽略。

4.當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)超過(guò)預(yù)防維修閾值時(shí)，進(jìn)行預(yù)防維修；系統(tǒng)發(fā)生劣化故障時(shí)，進(jìn)行故障后維修，均修復(fù)如新。其中預(yù)防維修時(shí)間服從均值為βp的一般分布，故障后維修時(shí)間服從均值為βc的一般分布；預(yù)防維修成本為Cp，故障后維修成本為Cc，均不包括生產(chǎn)損失。 其中 Ci≤Cp≤Cc，βp≤βc。

5.系統(tǒng)劣化故障需要檢測(cè)確定，如果發(fā)生劣化故障，直至下次檢測(cè)前系統(tǒng)是失效的，這時(shí)單位時(shí)間內(nèi)失效停機(jī)的生產(chǎn)損失為Cd。

6.系統(tǒng)維修優(yōu)化的目標(biāo)是系統(tǒng)的平均維修成本率最低。

系統(tǒng)存在兩個(gè)狀態(tài)閾值L和M，L是劣化故障閾值，一般由制造商給定，M是預(yù)防維修閾值。對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行定期檢測(cè)，在第k個(gè)檢測(cè)時(shí)刻tk檢查到的系統(tǒng)狀態(tài)是 X（tk）。 若 X（tk）

如果預(yù)防維修閾值M設(shè)置得過(guò)低，會(huì)使預(yù)防維修工作增多，可能造成維修過(guò)剩，增加維修成本；設(shè)置的過(guò)高，可能導(dǎo)致維修不足，發(fā)生劣化故障的概率增加，從經(jīng)濟(jì)性和安全性來(lái)看，都是不應(yīng)該發(fā)生的。同樣，檢測(cè)間隔期設(shè)置不當(dāng)也會(huì)造成維修不足或維修過(guò)剩。因此，要使平均維修成本率最低，就要找到最優(yōu)的預(yù)防維修閾值M*、定期檢測(cè)間隔期T*。

圖1 系統(tǒng)周期示意圖

（二）劣化過(guò)程

本文用Gamma過(guò)程來(lái)描述兩次維修行為之間的系統(tǒng)劣化過(guò)程。假設(shè)連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過(guò)程 {X（t），t≥0}是平穩(wěn)Gamma過(guò)程，則在時(shí)刻t劣化水平的概率密度函數(shù)是形狀參數(shù)為αt、尺度參數(shù)為β的Gamma密度函數(shù)。

Gamma過(guò)程是一個(gè)非減的連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過(guò)程，隨α和β的不同，可以描述系統(tǒng)不同的劣化特征。平均劣化率為 α/β，方差為 α/β2。

設(shè)τx表示系統(tǒng)從全新?tīng)顟B(tài)到達(dá)狀態(tài)X的時(shí)間，則τx的分布函數(shù)計(jì)算如公式（2）所示：

其概率密度函數(shù)為：

（三）建立系統(tǒng)平均維修成本率模型

由更新定理可知：系統(tǒng)平均維修成本率可以看作在一個(gè)周期Γ內(nèi)的維修成本率，因此系統(tǒng)平均維修成本率C（T，M）可表示為公式（4）。

假設(shè)系統(tǒng)在一個(gè)周期內(nèi)檢測(cè)Nk次后更換，則一個(gè)周期的平均長(zhǎng)度E[Γ]和平均維修成本E[C]的計(jì)算如公式（5）、（6）所示。

其中：Pp是系統(tǒng)在一個(gè)周期內(nèi)發(fā)生預(yù)防維修的概率，Pc是系統(tǒng)在一個(gè)周期內(nèi)發(fā)生故障后維修的概率，βp是預(yù)防維修時(shí)間的期望，βc是故障后維修時(shí)間的期望，P｛Nk=k｝表示系統(tǒng)在第k次檢測(cè)時(shí)更換的概率，E[Nk]是系統(tǒng)在一個(gè)周期內(nèi)檢測(cè)次數(shù)的期望值，E[d]是系統(tǒng)在一個(gè)周期內(nèi)維修延遲的平均時(shí)間。

由公式（4）、（5）和（6）可得到系統(tǒng)平均維修成本率C(T，M)，可表示為公式（7）：

（四）維修優(yōu)化模型

要找到最優(yōu)的預(yù)防維修閾值M*、定期檢測(cè)間隔期T*，使系統(tǒng)平均維修成本率C(T，M)最小，建立維修優(yōu)化方程如公式（8）所示：

三、模型分析與求解

（一）一個(gè)周期內(nèi)檢測(cè)次數(shù)的期望值

由相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)可知，一個(gè)周期內(nèi)檢測(cè)次數(shù)的期望值E[Nk]如公式（9）所示：

其中，檢測(cè)k次的概率P{Nk=k}的計(jì)算如公式（10）：

（二）概率 Pp、Pc

系統(tǒng)更新可能是由預(yù)防維修也可能是由故障后維修引起的，發(fā)生預(yù)防維修的概率Pp和發(fā)生故障后維修的概率 Pc的計(jì)算如公式 （11）、（12）所示：

（三）維修延遲的平均時(shí)間

假設(shè)系統(tǒng)在兩次檢測(cè)之間的時(shí)刻t失效，即（k-1）T＜t＜kT，則有系統(tǒng)在一個(gè)周期內(nèi)維修延遲的平均時(shí)間E[d]，計(jì)算如公式（13）：

將公式（9）至公式（13）代入維修優(yōu)化方程（8），可得到系統(tǒng)的平均維修成本率 C（T，M）與決策變量（T，M）之間的關(guān)系。

四、算例分析

參數(shù)（α，β）可以通過(guò)對(duì)系統(tǒng)劣化數(shù)據(jù)的分析，利用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法和參數(shù)估計(jì)得到。在此，假設(shè)系統(tǒng)劣化過(guò)程服從參數(shù)是α=1、β=1的Gamma過(guò)程。設(shè)定系統(tǒng)的劣化故障閾值L=10，檢測(cè)費(fèi)用Ci=1，預(yù)防維修成本Cp=10，故障后維修成本Cc=40，維修延遲的單位時(shí)間損失Cd=10，預(yù)防維修時(shí)間的期望βp=0.5，故障后維修時(shí)間的期望 βc=1。

表1 不同檢測(cè)間隔T下的最優(yōu)預(yù)防維修閾值M和平均維修成本率C(T,M)

為使系統(tǒng)的平均維修成本率最低，要找到最優(yōu)維修策略（T*，M*）。 由于函數(shù) C（T，M）的復(fù)雜性，結(jié)合實(shí)際，對(duì)檢測(cè)間隔期T采用離散值，尋求最優(yōu)解。首先根據(jù)經(jīng)驗(yàn)得到T的取值范圍和增加幅度△T；然后考慮預(yù)防維修閾值的約束條件0

將假設(shè)的模型參數(shù)值代入模型，采用上述算法，取最小檢測(cè)間隔為1，最大檢測(cè)間隔為10，考慮實(shí)際情況，置增加幅度△T=1。通過(guò)Matlab編程計(jì)算可得到表1的結(jié)果，由表1可觀察到最優(yōu)的維修策略（T*，M*） =（2，5.9994），此時(shí)，C（T*，M*）=2.8273。

五、結(jié)論

本文通過(guò)尋求最佳維修策略，從定量的角度來(lái)優(yōu)化維修成本。對(duì)于連續(xù)劣化單部件系統(tǒng)，以Gamma過(guò)程描述其劣化過(guò)程，假設(shè)預(yù)防維修時(shí)間和故障后維修時(shí)間服從一般分布，考慮設(shè)備維修過(guò)程中的檢測(cè)成本、維修成本以及由于維修和維修延遲引起的生產(chǎn)損失，在此基礎(chǔ)上，以系統(tǒng)的平均維修成本率最低為優(yōu)化目標(biāo)，以檢測(cè)間隔期和預(yù)防維修閾值為決策變量，建立了維修優(yōu)化模型。算例分析證明了模型的可行性。通過(guò)該模型，可以找到最優(yōu)的檢測(cè)間隔期和預(yù)防維修閾值，使系統(tǒng)的平均維修成本率最低，對(duì)企業(yè)維修成本優(yōu)化的決策有一定的參考作用。