高中數學中的對比教學

謝娟

摘 要： 本文針對高中生解數學題時經常碰到的老師一講就會，但自己解題時無從下手的問題提出對比教學.

關鍵詞： 高中數學 對比教學 理解 記憶

高中生在學習數學時經常碰到的問題就是老師一講能聽懂，可是自己做題時就是想不到這樣或那樣的方法.對此我提倡對比教學，希望對解決學生這方面的問題有幫助.

案例一

1.已知函數f（x）的定義域為R，且滿足f（x+2）=-f（x），f（x）為奇函數，且當0≤x≤1時，f（x）= x，求使f（x）=- 在[0，2012]上的所有x的個數.

解：∵f（x+2）=-f（x），∴f（x）為周期函數，T=4.

又∵f（x）為奇函數且當0≤x≤1時，f（x）= x，

∴當-1≤x≤1時，f（x）= x.

由f（x+2）=-f（x）得：f（x）=-f（x-2），當1≤x≤3時，-1≤x-2≤1，f（x）=-f（x-2）=- （x-2）=- x+1.

由圖像可知f（x）=- 在[0，2012]上的所有x的有503個.

2.設函數f（x）是定義在R上的偶函數，且對任意的x∈R恒有f（x+1）=f（x-1），已知當x∈[0，1]時，f（x）=（ ） ，求當x∈[3，4]時的f（x）.

解：∵f（x+1）=f（x-1），∴f（x）為周期函數，T=2，

當x∈[0，1]時，f（x）=（ ） ，且f（x）是定義在R上的偶函數，

∴x∈[-1，0]，f（x）=（ ） ，而當x∈[3，4]時，x-4∈[-1，0]，

∴f（x）=f（x-4）=（ ） =（ ） .

對比兩道題，都是周期函數且都是求區間上的函數解析式，可求解時所用的關系并不相同，而這正是學生思維的難點，學生不容易想到，學生也經常在想為什么要這么做，而另一道題為什么又要那么做.通過對比教學，讓學生充分理解這兩道題的區別，解題時需要什么，條件給了什么，如何將問題和條件結合才能解出這樣的題，再碰到這樣的題，學生就有著手點了。

案例二

1.已知ω>0，函數f（x）=sin（ωx+ ）在（ ，π）上單調遞減，則ω的取值范圍是（ ）

A.[ ， ] B.[ ， ] C.（0， ] D.（0，2]

解：因為ω>0，函數f（x）=sin（ωx+ ）在（ ，π）上單調遞減，所以函數f（x）=sin（ωx+ ）的周期T≥2（π- ）.

又因為ω>0，所以0<ω≤2；

又因為

2.已知y=-8cos（ + ）在區間（ π，a）上是單調函數，求實數a的最大值.

解：由2kπ≤ + ≤2kπ+π得函數的單調增區間為[4kπ- ，4kπ+ ]（k∈Z）；

由2kπ+π≤ + ≤2kπ+2π得函數的單調遞減區間為[4kπ+ ，4kπ+ ]（k∈Z）.

設4kπ- ≤ ≤4kπ+ ，得 ≤k≤ ，沒有滿足條件的整數k.因此 ？埸[4kπ- ，4kπ+ ]（k∈Z）.

設4kπ+ ≤ ≤4kπ+ ，得 ≤k≤ ，又由（k∈Z）得k=1.這說明函數y=-8cos（ + ）在區間[ π， ]上是遞減的，故a的最大值是 .

第一題的參數在函數解析式里，用x的范圍先求出ωx+ 的范圍，再解題.而第二題的參數在單調區間里，用 + 的范圍先求出x的范圍再解題，采取對比教學才能讓學生理解透徹，并且加深記憶.

案例三

1.已知數列{a }中，a =1，前n項和S = a ，求數列{a }的通項公式.

解：由S = a ①得S = a ②，用②-①得：

S -S = a - a ，即a = a - a ，變形得：

= ，由累乘法得：a = ，n∈N .

2.設數列{a }的前n項和為S .已知a =a，a =S +3 ，n∈N .設b =S -3 ，求數列{b }的通項公式.

解：由a =S +3 得：S -S =S +3 ，

即S =2S +3 ，而b =S -3 =2S +3 -3 =2（S -3 ）=2b ，

因此 =2，b =a-3，{b }是以a-3為首項，2為公比的等比數列.

所以b =（a-3）2 ，n∈N .

對比兩道題目，條件都是S 與a 的關系，但解題時的出發點不同，將這兩道題對比講解，學生對這種解題方法理解透徹，并能拓展思維，啟發學生解題時先觀察題目中的條件，對不同的題目選擇不同方法.