用類比探究新問題

姚正杰

在七年級下冊《平面圖形的認識（二）》有這樣一道題：

（1）如圖1，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分線相交于點O，∠A=40°，求∠BOC的度數；

（2）如圖2，△A'B'C'的兩個外角（∠C'B'D，∠B'C'E）的角平分線相交于點O，∠A'=40°，求∠B'O'C'度數；

（3）由（1） （2），可以發現∠BOC與∠B'O'C'有怎樣的關系？設∠A=A'=n°，∠BOC與∠B'O'C'之間是否還具有扎樣的關系？為什么？

課本讓我們探究的實際上是三角形2條內角（或者外角）平分線的夾角與三角形第三個角的關系.相信大家對這個問題一定不會陌生.但是，三角形中的特殊線段，除了角平分線外、還有高和中線，由此，產生了下面的一種聯想：三角形的兩條邊上的高（或高的延長線）的夾角與三角形第三邊所對的角有什么關系呢？

大家看下面這個問題：如圖3，在△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，求高CD與BE的夾角∠BOC與∠A的關系.

由CD⊥AB，BE⊥AC得∠ADO=∠AEO=90°，再由四邊形內角和等于360°，可得∠A+∠DOE=180°，不難發現∠DOE與∠BOC是對頂角，所以∠DOE =∠BOC，最后可知∠A=180°-∠BOC.

接著考慮三角形的高有一個特殊性，我們都學過，鈍角三角的高有2條在三角形外部，1條在內部；直角三角形有2條高就是直角邊，1條是斜邊上的高，所以需要對下面的情形繼續進行探索.

在鈍角三角形中

①鈍角△ABC的兩條外部的高的延長線的夾角.如圖4，在△ABC中，BF⊥AC，CE⊥AB，求∠P與∠BAC的關系.

類似銳角三角形形中的圖形，我們可以得到：∠BAC=180°-∠P.

②鈍角△ABC的一條內部與一條外部高的延長線的夾角.如圖5，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，求∠P與∠B的關系.

由AD⊥BC，CE⊥AB得∠PEA=∠ADB=90°，∠PAE與∠BAD是對頂角，所以∠PAE=∠BAD，再由三角形內角和可得∠P=∠B.

在直角三角形中

①兩條直角邊（高）的夾角.

如圖6，在△ABC中，AB⊥BC，那么兩高 AB、BC的夾角∠B與△ABC第三個銳角∠B為同一個角.

②一條直角邊（高）與斜邊上的高的夾角.在△ABC中，BD⊥AC，AB⊥BC，求BD與AB的夾角∠ABD與∠C的關系.

由BD⊥AC，AB⊥BC得∠ADB=∠ABC=90°，∠A是△ABD和△ABC的公共角，再由三角形內角和可得∠ABD=∠C.

結合上面各種情形的分析，探究得出的結論是：三角形的兩條邊上的高的夾角與三角形第三邊所對的角相等或互補.

（指導老師：浦長宇）