直面中考 啟迪思維

姜煒

《平面圖形的認(rèn)識（二）》這章內(nèi)容是中考的重點(diǎn)基礎(chǔ)知識，有時單獨(dú)命題，有時與后面知識綜合考查.近年中考中常見以下幾類問題.

一、平行線的性質(zhì)與判定

例1（2014·江蘇無錫）如圖，AB∥CD，則根據(jù)圖中標(biāo)注的角，下列關(guān)系中成立的是（ ）.

A.∠1=∠3 B.∠2+∠3=180°

C.∠2+∠4﹤180° D.∠3+∠5=180°

【分析】根據(jù)平行線性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.

【解答】選項(xiàng)A，∠1與∠3是射線OE與OF被直線AB所截得的內(nèi)錯角，而OE與OF不平行，故本選項(xiàng)錯誤；選項(xiàng)B，∠2與∠3是射線OE與OF被直線AB所截得的同旁內(nèi)角，而OE與OF不平行，故本選項(xiàng)錯誤；選項(xiàng)C，因?yàn)锳B∥CD，所以∠2+∠4=180°，故本選項(xiàng)錯誤；選項(xiàng)D，因?yàn)锳B∥CD，所以∠3+∠5=180°，本選項(xiàng)正確.故選D.

【點(diǎn)評】解決此類問題關(guān)鍵在于牢記平行線的性質(zhì)，正確辨識圖形，判斷直線與角的關(guān)系.

二、三角形的三邊關(guān)系

例2（2013·江蘇南通）有3cm，6cm，8cm，9cm的四條線段，任選其中的三條線段組成一個三角形，則最多能組成三角形的個數(shù)為（ ）.

A.1 B.2

C.3 D.4

【分析】從4條線段中任取3條進(jìn)行組合，共有4種情況.分別判斷每種情況能否組成三角形即可.

【解答】四條木棒的所有組合：①3，6，8；②3，6，9；③3，8，9；④6，8，9.第二組3+6=9，因此3，6，9不能組成三角形.故選C.

【點(diǎn)評】學(xué)會判斷三條線段能否組成三角形：只要看較短的兩條線段的長度和是否大于最長線段的長度.此外，如何按照一定順序不重不漏地列舉出可能出現(xiàn)的情況，值得思考.

例3（2012·江蘇徐州）如果一個三角形的兩邊長分別為6和9，則第三邊長可能是（ ）.

A.2 B.3

C.7 D.16

【分析】已知三角形的兩邊長分別為6和9，可根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊，求出第三邊范圍.

【解答】設(shè)這個三角形第三邊長為x，則由三角形三邊關(guān)系得9-6﹤x﹤9+6，即3﹤x﹤15.選項(xiàng)中2，3，16都不符合，只有7符合.故選C.

【點(diǎn)評】已知三角形兩邊，第三邊的取值范圍是大于其他兩邊之差且小于其他兩邊之和.

三、多邊形的邊數(shù)

例4（2013·江蘇揚(yáng)州）一個多邊形的每個內(nèi)角均為108°，則這個多邊形是（ ）.

A.七邊形 B.六邊形

C.五邊形 D.四邊形

【分析】由題意，這是一個正多邊形，它的內(nèi)角和等于一個內(nèi)角的度數(shù)乘以內(nèi)角個數(shù).

【解法一】設(shè)這個多邊形有n條邊，由于每個內(nèi)角均為108°，故內(nèi)角和可表示為108° n，由題意得108°·n=（n-2）·180°，解得n=5.

【解法二】設(shè)這個多邊形有n條邊，由于每個內(nèi)角都為108°，則每個外角為180°-108°=72°，外角和可以表示為72°·n，由題意得72°·n=360°，解得n=5.

【解法三】因?yàn)檫@個多邊形每個內(nèi)角均為108°，所以每個外角為180°-108°=72°，邊數(shù)為360°÷72°=5.故選C.

【點(diǎn)評】求多邊形的邊數(shù)問題，設(shè)邊數(shù)為n，尋找等量關(guān)系列方程是一種方法.由于多邊形的外角和是固定不變的，因此對于正多邊形，我們可以把已知的內(nèi)角轉(zhuǎn)化為外角，來求邊數(shù).

四、有關(guān)角的度數(shù)計(jì)算

例5（2013·四川樂山）如圖，四邊形ABCD中，∠A=45°，直線l與邊AB，AD分別相交于點(diǎn)M，N則∠1+∠2= .

【分析】根據(jù)題意，我們沒有辦法分別求出∠1與∠2的度數(shù).因此我們將∠1+∠2看作一個整體來計(jì)算.∠1與∠2可以看作是△AMN的兩個外角，也可以看作五邊形MBCDN的兩個內(nèi)角.

【解法一】延長線段BA到點(diǎn)E.由于∠BAD=45°，所以∠EAD=180°-45°=135°，故∠1+∠2=360°-∠EAD =360°-135°=225°.

【解法二】在四邊形ABCD中，∠A=45°，所以∠B+∠C+∠D=360°-45°=315°，在五邊形MBCDN中，∠1+∠2+∠B+∠C+∠D=（5-2）×180°=540°，所以∠1+∠2=540°-315°=225°.

【點(diǎn)評】注意整體思想.本題的關(guān)鍵是將∠1+∠2看作一個整體，放在哪一個位置去看.

例6 （2013·江蘇鎮(zhèn)江）如圖，AD平分△ABC的外角∠EAC，且AD∥BC，若∠BAC=80°，則∠B= .

【分析】要求∠B，我們一方面看看由已知能夠得到些什么，另一方面由結(jié)論入手去尋找與∠B有關(guān)的角.

【解法一】因?yàn)椤螧AC=80°，所以∠EAC=180°-80°=100°，又因?yàn)锳D平分∠EAC，所以∠EAD= ∠EAC=50°，因?yàn)锳D∥BC，所以∠B=∠EAD=50°.

【解法二】設(shè)∠B=x°，因?yàn)锳D∥BC，所以∠EAD=∠B=x°，因?yàn)锳D平分∠EAC，所以∠DAC=∠EAD=x°，因?yàn)锳D∥BC，所以∠B+∠BAD=180°，所以x+80+x=180，x=50，即∠B=50°.

【點(diǎn)評】解法一由已知出發(fā)，順藤摸瓜，一步步求出未知角；解法二從未知角入手，結(jié)合已知條件，找尋與未知角有關(guān)的角.事實(shí)上我們都是運(yùn)用平行線的性質(zhì)將已知角與未知角聯(lián)系了起來.因此，平行線中有關(guān)角的計(jì)算問題，通常考慮利用平行線性質(zhì)將角進(jìn)行轉(zhuǎn)換，并結(jié)合運(yùn)用對頂角、角平分線、三角形內(nèi)角和等知識.

例7（2013·遼寧盤錦）如圖，將一副三角板和一張對邊平行的紙條按下列方式擺放，兩個三角板的一直角邊重合，含30°角的直角三角板的斜邊與紙條一邊重合，含45°角的三角板的一個頂點(diǎn)在紙條的另一邊上，則∠1的度數(shù)是（ ）.

A.30° B.20° C.15° D.14°

【分析】紙條對邊平行，可是圖中沒有這兩條平行線被第三條直線所截的同位角、內(nèi)錯角或是同旁內(nèi)角，因此考慮添輔助線構(gòu)造基本圖形.

【解答】延長線段AB與直線l交于點(diǎn)D.因?yàn)閘∥m，所以∠2=∠4=30°，又∠CBD=180°-∠3=180°-45°=135°，所以

△CBD中，∠1=180°-30°-135°=15°.故選C.

【點(diǎn)評】三角板、直尺疊放問題在近兩年各地中考題中經(jīng)常出現(xiàn)，要注意挖掘隱含條件，必要時添加輔助線.