直面中考 啟迪思維

姜煒

《平面圖形的認識（二）》這章內容是中考的重點基礎知識，有時單獨命題，有時與后面知識綜合考查.近年中考中常見以下幾類問題.

一、平行線的性質與判定

例1（2014·江蘇無錫）如圖，AB∥CD，則根據圖中標注的角，下列關系中成立的是（ ）.

A.∠1=∠3 B.∠2+∠3=180°

C.∠2+∠4﹤180° D.∠3+∠5=180°

【分析】根據平行線性質進行判斷即可.

【解答】選項A，∠1與∠3是射線OE與OF被直線AB所截得的內錯角，而OE與OF不平行，故本選項錯誤；選項B，∠2與∠3是射線OE與OF被直線AB所截得的同旁內角，而OE與OF不平行，故本選項錯誤；選項C，因為AB∥CD，所以∠2+∠4=180°，故本選項錯誤；選項D，因為AB∥CD，所以∠3+∠5=180°，本選項正確.故選D.

【點評】解決此類問題關鍵在于牢記平行線的性質，正確辨識圖形，判斷直線與角的關系.

二、三角形的三邊關系

例2（2013·江蘇南通）有3cm，6cm，8cm，9cm的四條線段，任選其中的三條線段組成一個三角形，則最多能組成三角形的個數為（ ）.

A.1 B.2

C.3 D.4

【分析】從4條線段中任取3條進行組合，共有4種情況.分別判斷每種情況能否組成三角形即可.

【解答】四條木棒的所有組合：①3，6，8；②3，6，9；③3，8，9；④6，8，9.第二組3+6=9，因此3，6，9不能組成三角形.故選C.

【點評】學會判斷三條線段能否組成三角形：只要看較短的兩條線段的長度和是否大于最長線段的長度.此外，如何按照一定順序不重不漏地列舉出可能出現的情況，值得思考.

例3（2012·江蘇徐州）如果一個三角形的兩邊長分別為6和9，則第三邊長可能是（ ）.

A.2 B.3

C.7 D.16

【分析】已知三角形的兩邊長分別為6和9，可根據三角形任意兩邊之和大于第三邊，求出第三邊范圍.

【解答】設這個三角形第三邊長為x，則由三角形三邊關系得9-6﹤x﹤9+6，即3﹤x﹤15.選項中2，3，16都不符合，只有7符合.故選C.

【點評】已知三角形兩邊，第三邊的取值范圍是大于其他兩邊之差且小于其他兩邊之和.

三、多邊形的邊數

例4（2013·江蘇揚州）一個多邊形的每個內角均為108°，則這個多邊形是（ ）.

A.七邊形 B.六邊形

C.五邊形 D.四邊形

【分析】由題意，這是一個正多邊形，它的內角和等于一個內角的度數乘以內角個數.

【解法一】設這個多邊形有n條邊，由于每個內角均為108°，故內角和可表示為108° n，由題意得108°·n=（n-2）·180°，解得n=5.

【解法二】設這個多邊形有n條邊，由于每個內角都為108°，則每個外角為180°-108°=72°，外角和可以表示為72°·n，由題意得72°·n=360°，解得n=5.

【解法三】因為這個多邊形每個內角均為108°，所以每個外角為180°-108°=72°，邊數為360°÷72°=5.故選C.

【點評】求多邊形的邊數問題，設邊數為n，尋找等量關系列方程是一種方法.由于多邊形的外角和是固定不變的，因此對于正多邊形，我們可以把已知的內角轉化為外角，來求邊數.

四、有關角的度數計算

例5（2013·四川樂山）如圖，四邊形ABCD中，∠A=45°，直線l與邊AB，AD分別相交于點M，N則∠1+∠2= .

【分析】根據題意，我們沒有辦法分別求出∠1與∠2的度數.因此我們將∠1+∠2看作一個整體來計算.∠1與∠2可以看作是△AMN的兩個外角，也可以看作五邊形MBCDN的兩個內角.

【解法一】延長線段BA到點E.由于∠BAD=45°，所以∠EAD=180°-45°=135°，故∠1+∠2=360°-∠EAD =360°-135°=225°.

【解法二】在四邊形ABCD中，∠A=45°，所以∠B+∠C+∠D=360°-45°=315°，在五邊形MBCDN中，∠1+∠2+∠B+∠C+∠D=（5-2）×180°=540°，所以∠1+∠2=540°-315°=225°.

【點評】注意整體思想.本題的關鍵是將∠1+∠2看作一個整體，放在哪一個位置去看.

例6 （2013·江蘇鎮江）如圖，AD平分△ABC的外角∠EAC，且AD∥BC，若∠BAC=80°，則∠B= .

【分析】要求∠B，我們一方面看看由已知能夠得到些什么，另一方面由結論入手去尋找與∠B有關的角.

【解法一】因為∠BAC=80°，所以∠EAC=180°-80°=100°，又因為AD平分∠EAC，所以∠EAD= ∠EAC=50°，因為AD∥BC，所以∠B=∠EAD=50°.

【解法二】設∠B=x°，因為AD∥BC，所以∠EAD=∠B=x°，因為AD平分∠EAC，所以∠DAC=∠EAD=x°，因為AD∥BC，所以∠B+∠BAD=180°，所以x+80+x=180，x=50，即∠B=50°.

【點評】解法一由已知出發，順藤摸瓜，一步步求出未知角；解法二從未知角入手，結合已知條件，找尋與未知角有關的角.事實上我們都是運用平行線的性質將已知角與未知角聯系了起來.因此，平行線中有關角的計算問題，通常考慮利用平行線性質將角進行轉換，并結合運用對頂角、角平分線、三角形內角和等知識.

例7（2013·遼寧盤錦）如圖，將一副三角板和一張對邊平行的紙條按下列方式擺放，兩個三角板的一直角邊重合，含30°角的直角三角板的斜邊與紙條一邊重合，含45°角的三角板的一個頂點在紙條的另一邊上，則∠1的度數是（ ）.

A.30° B.20° C.15° D.14°

【分析】紙條對邊平行，可是圖中沒有這兩條平行線被第三條直線所截的同位角、內錯角或是同旁內角，因此考慮添輔助線構造基本圖形.

【解答】延長線段AB與直線l交于點D.因為l∥m，所以∠2=∠4=30°，又∠CBD=180°-∠3=180°-45°=135°，所以

△CBD中，∠1=180°-30°-135°=15°.故選C.

【點評】三角板、直尺疊放問題在近兩年各地中考題中經常出現，要注意挖掘隱含條件，必要時添加輔助線.