探尋本質 多題歸一

孫飛

數學學習離不開解題.在解決問題時，我們可對問題的局部（條件或結論）進行改變（往往是位置或數量），從而得到新的數學問題.通過這樣的改變，我們能夠實現多題歸一的目的，從而提升解決問題的能力.下以一例予以說明.

【分析】要證∠P=∠B+∠D，根據條件需從平行線的性質著手分析，尋找相應的同位角或內錯角.結合圖形我們無法直接找到同位角或內錯角，因此我們可從點P作AB的平行線，將∠P分為兩個分別與∠B、∠D相等的角，此題即可得證.

【分析】根據上述例子的解題方法，利用平行線的性質，不難推理出∠P=∠D-∠B，根據兩直線平行，同位角相等；三角形外角的性質即可證之.

探究3 如果繼續改變點P的位置（如圖6），其它條件不變，那么∠P、∠B、∠D之間又有什么數量關系？

【分析】本題中沒有已知的同位角（或內錯角）可以利用，我們可根據上面積累的解題經驗，作出合適的輔助線，構造出同位角（或內錯角），從而解決問題.

探究4 如果將點P移到直線CD的下方，（如圖8、圖9），其它條件不變，那么∠P、∠B、∠D之間又有什么數量關系？

【分析】根據圖8、圖9，由上述的探究思路，不難得出以下結論.

如圖8，有∠P=∠B-∠D.

證明過程參見圖5.

如圖9，有∠P=∠D-∠B.

證明過程參見圖6.

改變問題的局部只是給問題“換了件外衣”，其本質是并未改變.在平時的數學學習中，我們要善于在“變”中找出“不變”，洞察本質，從而實現問題的關聯.