旋轉的鉛筆

宋陽光

要說最有趣的教科書，非數學書莫屬了！在這里，你不僅可以看到各式各類的問題，可以找到各種各樣與生活相關的案例.因此，閑暇時光，我喜歡抱著數學書琢磨.比如在《平面圖形的認知（二）》中有這么一個問題：

如圖，鉛筆放置在△ABC的邊AB上，筆尖方向為點A到點B的方向.把鉛筆依次繞點A、點C、點B按逆時針方向旋轉∠A、∠B、∠C的度數，筆尖方向發生了怎樣的變化？這種變化說明了什么？

這個題目大家肯定都做過吧，按要求轉動后，鉛筆的筆尖向左了，也就是和原來的筆尖方向是相反的，鉛筆旋轉了一個平角度數，即180°.在這個變化過程說明，鉛筆連續轉動的∠A、∠B、∠C的度數和是180°，也就是說明了三角形的內角和是180°.

只要動動鉛筆，數學問題就能解決，是不是很有趣？和大家再分享兩個類似的問題.

面對這個問題，許多人的第一反應便是考慮多邊形的內角和、外角和一步步推導，肯定會很麻煩，因此我們可以嘗試使用上面旋轉鉛筆的方法.

答：（1）我們以逆時針方向來轉動鉛筆.首先，如下圖從x的地方開始逆時針轉動，就會到達一個新的邊上.然后，將鉛筆移到此邊的另一端再逆時針轉動40°，就會移到另一個新的邊上.在此邊的另一端再逆時針轉動50°，如此下去接著逆時針轉動40°、30°，最后就會回到原來的邊上.此時鉛筆轉動的方向與原來的方向是相反的.也就是說，鉛筆剛好轉動了半圈.因此，把剛剛轉動的所有角度加起來，就正好是180°.

借這個有趣的方法，就可得到x = 180°-40°-40°-50°-30°=20°.

（2）下圖中由A邊轉到B邊的y的轉動角度，以左側鋸齒狀的部分來表示.

保持A的方向不變，往上移動.然后如①做轉動，接著往下移動，然后做②的轉動……最后就如⑤做轉動，就會變為跟B同樣方向.也就是說，由A到B轉動的角度，與動作①到⑤的轉動角度是相同的.把逆時針方向記為正角度，順時針方向記為負角度，那么y=110°+55°-（40°+65°+20°）=40°

利用這個原理，我們還可以輕松驗證“多邊形外角和為360°”的定理，并由此推出正多邊形的外角、內角……諸如此類，凡是與多邊形角度有關的問題，“旋轉鉛筆”這個方法都可以或多或少的幫助你.

是不是很奇妙？當你的鉛筆無法在推導公式上延續，不妨旋轉你的鉛筆，說不定你忠實的雙手會告訴你準確的答案.

旋轉鉛筆的妙用，就是在你面對求多邊形角度的問題的時候，可以省卻漫長的推導，在理清楚步驟之后便可輕松解決.

若想在數學的海洋暢游，不僅需要先輩留給你的各種定理、工具，更需要你的使用和創造.記住，善用你的雙手是另一條通往成功的道路！

（指導老師：浦長宇）