三角形的費(fèi)馬點(diǎn)

謝燕

有甲乙丙三個(gè)村莊，要在中間建一供水站向三地送水，現(xiàn)要確定供水站的位置以使所需管道總長最小，請同學(xué)們想一想，這個(gè)供水站應(yīng)該建在哪里？

事實(shí)上，這是法國著名數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出的一個(gè)關(guān)于三角形的有趣問題：在三角形所在平面上，求一點(diǎn)，使該點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小，人們稱這個(gè)點(diǎn)為“費(fèi)馬點(diǎn)”.

當(dāng)三角形有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120°的時(shí)候，費(fèi)馬點(diǎn)就是這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn)；當(dāng)三角形三個(gè)內(nèi)角都在120°以內(nèi)，那么費(fèi)馬點(diǎn)就是三角形內(nèi)與三角形三頂點(diǎn)的連線兩兩夾角為120°的點(diǎn).顯然在第一種情況下，費(fèi)馬點(diǎn)的位置就是那個(gè)大于或等于120°的內(nèi)角的頂點(diǎn).在第二種情況下，如圖所示：我們只需要以△ABC三邊AB、AC、BC為邊在三角形外作三個(gè)等邊△ABC1、△ACB1和△BCA1，連接AA1、BB1和CC1，三線交點(diǎn)P就是費(fèi)馬點(diǎn).

同學(xué)們肯定會想為什么？等同學(xué)們學(xué)習(xí)了三角形全等的知識后就可以去探索這其中的道理了.

再看一個(gè)數(shù)學(xué)問題：將軍從甲地出發(fā)到河邊飲馬，然后再到乙地軍營視察，顯然有許多走法，那走什么樣的路線最短呢？這個(gè)問題被古希臘亞歷山大里亞城的一位久負(fù)盛名的學(xué)者海倫解決了，后來被人們稱作“將軍飲馬”問題.費(fèi)馬思考了這個(gè)問題，他覺得不僅是將軍有這樣的煩惱，運(yùn)動著的車、船、飛機(jī)，包括人們每天走路都要遇到這樣的問題.人們總希望尋求最佳的路線，盡量走近道，少走冤枉路.我們把這類求近道的問題統(tǒng)稱最短路線問題.費(fèi)馬就把這樣的問題聯(lián)想到某一個(gè)圖形中，他大膽提出在任意三角形中有且僅有一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離最短，并對此進(jìn)行了充分的證明.現(xiàn)在研究表明不止是三角形，其它多邊形也存在這樣的點(diǎn).

平面四邊形的費(fèi)馬點(diǎn)：在凸邊形中，對角線交點(diǎn)即費(fèi)馬點(diǎn)；在凹四邊形中，凹頂點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn).

那費(fèi)馬點(diǎn)在我們的生活中有沒有應(yīng)用價(jià)值呢？文章開頭的供水站建在費(fèi)馬點(diǎn)肯定是最節(jié)約成本的；再譬如打籃球、踢足球時(shí)，你時(shí)刻注意的是怎樣進(jìn)攻，但要與自己的隊(duì)友保持最好的距離和方位，前后左右都要顧及，這其實(shí)就是在找多邊形中的“費(fèi)馬點(diǎn)”.

數(shù)學(xué)為科學(xué)之母，現(xiàn)在已經(jīng)有很多方面應(yīng)用到費(fèi)馬點(diǎn)的性質(zhì)，在醫(yī)學(xué)上、建筑上、軍事上……

像類似費(fèi)馬點(diǎn)這樣的問題還有很多，同學(xué)們只要你們積極思考，遇到問題多問幾個(gè)為什么，多一些打破砂鍋問到底的精神，你們也會像費(fèi)馬一樣發(fā)現(xiàn)更多更有趣的數(shù)學(xué)問題.