求星狀多邊形的內角和

浦長宇

所謂星狀多邊形，指的是如圖（1）的形狀.像這樣，只要n是大于1的奇數，那么不管多大的數目，都可以把它看做一個星狀n角形來考慮.

什么是它們的內角和呢？與三角形的內角和概念類似，例如星狀五角形是∠A+∠B+∠C+∠D+∠E，而星狀七角形則是∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G.

活動一 動手實驗 —— 發現問題

同一小組（每小組6人）的每個成員，選擇2種不同的星狀多角形，使用量角器度量它們的各個內角，記錄各自的測量數據，計算它們各自的內角和.

每小組成員交流，匯總各小組的實驗結果，得出實驗猜想.

活動二 動腦思考 —— 分析問題

先從簡單的星狀五角形開始考慮.為了求出內角和，試著畫出如圖2中的輔助線CD.

然后，以下的數學式就會成立.

∠B+∠E=∠____+∠___（兩者都等于圖中的∠α）

因此，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G就等于__________________.

其次是星狀七角形，如圖3，畫輔助線BG.

那么∠C+∠F=∠____+∠_____ （兩者都等于圖中的∠β）

接下來要求的內角和，就等于新的星狀五角形______的內角和，之前已經證明過等于_____.

活動三 反饋成效——解決問題

問題1.星狀多角形的內角和是多少？

星狀九角形的內角和可以歸結成________，然后又可以歸結為____________內角和，并最終歸結為_________的內角和，等于______°

由此，星狀多角形的內角和是___________.

問題2.通過這個問題的探究，我們在碰到較復雜的問題時，應如何思考？

活動四 拓展應用——聯想轉化

在看過星狀奇數角形之后，應該會對星狀偶數角形的情形產生疑問.

如圖4，這些圖形的內角和是多少呢？

首先，不妨做個預測，你覺得星狀偶數角形的內角和是多少？

如圖5，偶數角的圖形，把星狀奇數角形的尖端部分切掉之后得到.

相反地，星狀偶數角形就是添加三角形變成奇數角形.

我們遵循由簡單情形開始的規則，首先要計算的是星狀十角形.假設星狀十角形的內角和是x，接著在五個頂端加上三角形（如圖6），那么

這里出現的所有角度，會是星狀十角形內角和x再加上五個三角形的內角和，表示為：_______________.

接下來可以再把它看做_______個平角加上星狀五角形的5個內角和，表示為：________.

那么可以列出x的方程：______________，

所以x = ____________.

這種方法，也可適用星狀十四角形.

不過，如圖7新增的三角形個數變成7個，平角就有14個.

請探索星狀偶數角的多角形內角和.

（作者單位：江蘇省常熟市古里中學）