求星狀多邊形的內(nèi)角和

浦長(zhǎng)宇

所謂星狀多邊形，指的是如圖（1）的形狀.像這樣，只要n是大于1的奇數(shù)，那么不管多大的數(shù)目，都可以把它看做一個(gè)星狀n角形來考慮.

什么是它們的內(nèi)角和呢？與三角形的內(nèi)角和概念類似，例如星狀五角形是∠A+∠B+∠C+∠D+∠E，而星狀七角形則是∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G.

活動(dòng)一 動(dòng)手實(shí)驗(yàn) —— 發(fā)現(xiàn)問題

同一小組（每小組6人）的每個(gè)成員，選擇2種不同的星狀多角形，使用量角器度量它們的各個(gè)內(nèi)角，記錄各自的測(cè)量數(shù)據(jù)，計(jì)算它們各自的內(nèi)角和.

每小組成員交流，匯總各小組的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，得出實(shí)驗(yàn)猜想.

活動(dòng)二 動(dòng)腦思考 —— 分析問題

先從簡(jiǎn)單的星狀五角形開始考慮.為了求出內(nèi)角和，試著畫出如圖2中的輔助線CD.

然后，以下的數(shù)學(xué)式就會(huì)成立.

∠B+∠E=∠____+∠___（兩者都等于圖中的∠α）

因此，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G就等于__________________.

其次是星狀七角形，如圖3，畫輔助線BG.

那么∠C+∠F=∠____+∠_____ （兩者都等于圖中的∠β）

接下來要求的內(nèi)角和，就等于新的星狀五角形______的內(nèi)角和，之前已經(jīng)證明過等于_____.

活動(dòng)三 反饋成效——解決問題

問題1.星狀多角形的內(nèi)角和是多少？

星狀九角形的內(nèi)角和可以歸結(jié)成________，然后又可以歸結(jié)為____________內(nèi)角和，并最終歸結(jié)為_________的內(nèi)角和，等于______°

由此，星狀多角形的內(nèi)角和是___________.

問題2.通過這個(gè)問題的探究，我們?cè)谂龅捷^復(fù)雜的問題時(shí)，應(yīng)如何思考？

活動(dòng)四 拓展應(yīng)用——聯(lián)想轉(zhuǎn)化

在看過星狀奇數(shù)角形之后，應(yīng)該會(huì)對(duì)星狀偶數(shù)角形的情形產(chǎn)生疑問.

如圖4，這些圖形的內(nèi)角和是多少呢？

首先，不妨做個(gè)預(yù)測(cè)，你覺得星狀偶數(shù)角形的內(nèi)角和是多少？

如圖5，偶數(shù)角的圖形，把星狀奇數(shù)角形的尖端部分切掉之后得到.

相反地，星狀偶數(shù)角形就是添加三角形變成奇數(shù)角形.

我們遵循由簡(jiǎn)單情形開始的規(guī)則，首先要計(jì)算的是星狀十角形.假設(shè)星狀十角形的內(nèi)角和是x，接著在五個(gè)頂端加上三角形（如圖6），那么

這里出現(xiàn)的所有角度，會(huì)是星狀十角形內(nèi)角和x再加上五個(gè)三角形的內(nèi)角和，表示為：_______________.

接下來可以再把它看做_______個(gè)平角加上星狀五角形的5個(gè)內(nèi)角和，表示為：________.

那么可以列出x的方程：______________，

所以x = ____________.

這種方法，也可適用星狀十四角形.

不過，如圖7新增的三角形個(gè)數(shù)變成7個(gè)，平角就有14個(gè).

請(qǐng)?zhí)剿餍菭钆紨?shù)角的多角形內(nèi)角和.

（作者單位：江蘇省常熟市古里中學(xué)）