構造平行線 等角圖中轉

姚璐

在同一平面內，不相交的兩條直線稱為平行線.平行線是初中平面幾何最基本的，也是非常重要的圖形.平行線具有強大的轉移功能，在解題時如果能根據題目需要構造平行線實現角的轉移，那么能使計算證明變得簡單、流暢.

構造平行線實現角的轉移的依據是：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補.利用平行線的的性質，可以把相關信息轉移，實現已知和未知之間的聯系，從而解決問題.

下面舉例談談如何構造平行線實現“角”的轉移，供同學們參考.

例 觀察圖1～圖5.

（1）如圖1，若AB∥CD，∠B+∠D=∠BED，你能說明為什么嗎？

反之，若∠B+∠D=∠BED，直線AB與CD有什么位置關系？請說明理由；

（2）若將點E移至圖2所示位置，此時∠B、∠D、∠BED之間有什么關系？請說明理由；

（3）若將E點移至圖3所示位置，情況又如何？

（4）如圖4，若AB∥CD，∠E+∠G與∠B+∠F+∠D又有何關系？

（5）如圖5，若AB∥CD，又得到什么結論？

【分析】要說明（1）的結論成立，難點是如何實現“和”，最直接的方法是將∠B、∠D轉移到一起，關鍵是如何實現角的轉移，就請平行線來幫忙吧.若過點E作EF∥AB，則由平行線的性質即可說明；其余幾個問題也都可以按照此方法說明.

變式2 如圖7，已知直線AC∥BD，連接AB，直線AC、BD及線段AB把平面分成①、②、③、④四個部分，規定：線上各點不屬于任何部分.當動點P落在某個部分時，連接PA、PB，構成∠PAC、∠APB、∠PBD三個角.當動點P在第③部分時，全面探究∠PAC、∠APB、∠PBD之間的關系，并寫出動點P的具體位置和相應的結論.選擇其中一種結論加以證明.（提示：有公共端點的兩條重合的射線所組成的角是0°角）

【分析】分點P在射線BA的右側、在射線BA上、在射線BA的左側三種情況，過點P作平行線，構造出內錯角或同旁內角實現角的轉移是解題的關鍵.

解：①當動點P在射線BA的右側時（如圖8），結論是∠PBD=∠PAC+∠APB.

②當動點P在射線BA上時（如圖9），結論是∠PBD=∠PAC+∠APB或∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB=0°，∠PAC=∠PBD（任寫一個即可）.

③當動點P在射線BA的左側時（如圖10），結論是∠PAC=∠APB+∠PBD.