縱橫聯(lián)系 化解難點(diǎn)

施長(zhǎng)燕

平面圖形的認(rèn)識(shí)（二）它包含三個(gè)方面：一是探索直線平行的條件和性質(zhì)；二是通過(guò)具體實(shí)例認(rèn)識(shí)平移，探索平移的基本性質(zhì)；三是學(xué)習(xí)三角形的有關(guān)概念，探索三角形內(nèi)角和定理與多邊形內(nèi)（外）角和公式.為了幫助同學(xué)們更好的把握這章的內(nèi)容，我將對(duì)本章的典型難點(diǎn)進(jìn)行解讀.

難點(diǎn)一：數(shù)形結(jié)合——平行的條件與性質(zhì)

直線平行的條件反映的是由角的數(shù)量關(guān)系說(shuō)明直線的數(shù)量關(guān)系，而直線平行的性質(zhì)反映的是由直線的位置關(guān)系說(shuō)明角的數(shù)量關(guān)系，這里的蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合思想.而學(xué)生初學(xué)直線平行的性質(zhì)與條件運(yùn)用起來(lái)往往出現(xiàn)混亂，吃不準(zhǔn)究竟用的什么，對(duì)于這個(gè)難點(diǎn)下面我們結(jié)合具體例子來(lái)嘗試突破.

例1 如圖1，AD//BC，∠A=∠C.AB與DC平行嗎？為什么？

【分析】：讀題：題中有兩個(gè)條件⑴AD//BC；⑵∠A=∠C.

猜想：AB與DC平行.

思考：要證AB與DC平行，根據(jù)直線平行的條件只要證∠ABC=∠C；

要證∠ABC=∠C，只要證∠ABC=∠A；根據(jù)直線平行的性質(zhì)，由AD//BC，可證∠ABC=∠A.

【點(diǎn)評(píng)】要證兩直線平行，可以去證出角相等，再判斷兩直線平行.

例2 已知：如圖2，AD⊥BC，EF⊥BC ，∠1=∠2.∠CDG與∠B相等嗎？為什么？

【分析】：讀題：題中有三個(gè)條件⑴AD⊥BC；⑵EF⊥BC；⑶∠1=∠2.

猜想∠CDG=∠B.思考要證∠CDG=∠B，

通過(guò)觀察是∠CDG與∠B同位角，根據(jù)直線平行的性質(zhì)只要證DG∥AB；要證DG∥AB，根據(jù)直線平行的條件結(jié)合∠1=∠2，只要證∠BAD=∠2；要證∠BAD=∠2，根據(jù)等量代換，只要證∠1=∠BAD；要證∠1=∠BAD，根據(jù)直線平行的性質(zhì)，只要證EF∥AD，由AD⊥BC，EF⊥BC 得∠ADC=∠EFC，可證EF∥AD.

【點(diǎn)評(píng)】本題是直線平行的條件與性質(zhì)的靈活運(yùn)用，把之前所學(xué)的知識(shí)融會(huì)貫通.我們要證“三線八角”中同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的數(shù)量關(guān)系，可以考慮證直線平行；反之要證直線平行，就要考慮考慮相應(yīng)角的數(shù)量關(guān)系.

難點(diǎn)二：概念變式——三角形三邊關(guān)系

我們判斷三邊是否構(gòu)成三角形要考慮滿足下面三個(gè)條件：⑴AB+AC>BC ；⑵AB+BC>AC ；⑶BC+AC>AB.但實(shí)際，我們做題時(shí)只要將其中2條較短線段長(zhǎng)度的和與最長(zhǎng)線段的長(zhǎng)度進(jìn)行比較就可以了.已知3條線段，判斷它們能否構(gòu)成一個(gè)三角形的依據(jù)是：若3條線段中2條較短線段長(zhǎng)度的和大于最長(zhǎng)線段的長(zhǎng)度，則用這三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形.

例3 下列長(zhǎng)度的各組線段能否組成一個(gè)三角形？（1）15cm、10 cm、7 cm； （2）4 cm、5 cm、10 cm； （3）3 cm、8 cm、5 cm； （4）4 cm、5 cm、6 cm.

【分析】根據(jù)歸納的判斷三邊能否構(gòu)成三角形的依據(jù)，只要思考2條較短線段長(zhǎng)度的和是否大于最長(zhǎng)線段的長(zhǎng)度，若大于則能構(gòu)成一個(gè)三角形，否則不能構(gòu)成三角形.

（1）∵10+7>15，∴能構(gòu)成一個(gè)三角形；

（2）∵4+5<10，∴不能構(gòu)成一個(gè)三角形；

（3）∵3+5=8，∴不能構(gòu)成一個(gè)三角形；

（4）∵4+5>6，∴能構(gòu)成一個(gè)三角形；

【點(diǎn)評(píng)】：判斷三邊能否構(gòu)成三角形，如果利用三邊關(guān)系要討論三種情況不僅耗時(shí)還存在討論不周到的情況，所以從三邊關(guān)系分析出簡(jiǎn)單的判斷方法很重要.

把三角形的三邊關(guān)系變形可以得到：⑴AB>BC-AC ；⑵ BC>AC-AB ；⑶ AC >AB- BC.可歸納得出第三邊大于兩邊之差，同時(shí)結(jié)合三邊關(guān)系，我們可以發(fā)現(xiàn)：已知三角形的兩邊長(zhǎng)度，第三邊的長(zhǎng)度范圍是大于兩邊之差且小于兩邊之和.

例4 已知三角形的兩邊長(zhǎng)分別是2cm和7cm，第三邊長(zhǎng)的數(shù)值是偶數(shù)，求這個(gè)三角形的周長(zhǎng).

【分析】在三角形中，已知兩邊長(zhǎng)，要求周長(zhǎng)，只要求出第三邊的長(zhǎng)，根據(jù)三角形三邊關(guān)系演變出來(lái)的：“兩邊之差<第三邊<兩邊之和”.

設(shè)：第三邊的長(zhǎng)為x cm. 根據(jù)三角形的三邊關(guān)系有7-2

又因?yàn)閤是偶數(shù)，所以x=6或8.

所以三角形的周長(zhǎng)是7+2+6=15cm7+2+8=17cm.

【點(diǎn)評(píng)】：本題巧妙地應(yīng)用演變出來(lái)的三角形的三邊關(guān)系求出第三邊的范圍，結(jié)合題目條件求出第三邊，進(jìn)而求出周長(zhǎng).

所以我們同學(xué)在學(xué)習(xí)概念過(guò)程中不要滿足于概念本身，可以從概念變式著手歸納總結(jié)出一些新結(jié)論，幫助我們解題.

難點(diǎn)三：未知化已知——探索多邊形的內(nèi)角和

多邊形內(nèi)角和是在三角形內(nèi)角和基礎(chǔ)上進(jìn)行探討的，我們可以把多邊形轉(zhuǎn)化成三角形來(lái)研究多邊形的內(nèi)角和.如何添加合適的輔助線劃分成三角形，下面將介紹三種方法來(lái)探索多邊形內(nèi)角和.

方法一 如圖3，連接多邊形的任一頂點(diǎn)A1與其不相鄰的各個(gè)頂點(diǎn)的線段，把n邊形分成（n-2）個(gè)三角形.

我們?cè)谔剿?n邊形的內(nèi)角和公式"中，用化復(fù)雜為簡(jiǎn)單，化未知為已知，再用已知知識(shí)研究解決新問(wèn)題的化歸思想.這種思想將提高我們發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，同時(shí)通過(guò)上面三種證明方法可以體會(huì)解決問(wèn)題方法的多樣性，充分展示了解題中的智慧.

對(duì)于上述三個(gè)難點(diǎn)，同學(xué)在學(xué)習(xí)本章知識(shí)中能夠好好把握，對(duì)學(xué)好本章知識(shí)有著舉足輕重的作用.