縱橫聯系 化解難點

施長燕

平面圖形的認識（二）它包含三個方面：一是探索直線平行的條件和性質；二是通過具體實例認識平移，探索平移的基本性質；三是學習三角形的有關概念，探索三角形內角和定理與多邊形內（外）角和公式.為了幫助同學們更好的把握這章的內容，我將對本章的典型難點進行解讀.

難點一：數形結合——平行的條件與性質

直線平行的條件反映的是由角的數量關系說明直線的數量關系，而直線平行的性質反映的是由直線的位置關系說明角的數量關系，這里的蘊含了數形結合思想.而學生初學直線平行的性質與條件運用起來往往出現混亂，吃不準究竟用的什么，對于這個難點下面我們結合具體例子來嘗試突破.

例1 如圖1，AD//BC，∠A=∠C.AB與DC平行嗎？為什么？

【分析】：讀題：題中有兩個條件⑴AD//BC；⑵∠A=∠C.

猜想：AB與DC平行.

思考：要證AB與DC平行，根據直線平行的條件只要證∠ABC=∠C；

要證∠ABC=∠C，只要證∠ABC=∠A；根據直線平行的性質，由AD//BC，可證∠ABC=∠A.

【點評】要證兩直線平行，可以去證出角相等，再判斷兩直線平行.

例2 已知：如圖2，AD⊥BC，EF⊥BC ，∠1=∠2.∠CDG與∠B相等嗎？為什么？

【分析】：讀題：題中有三個條件⑴AD⊥BC；⑵EF⊥BC；⑶∠1=∠2.

猜想∠CDG=∠B.思考要證∠CDG=∠B，

通過觀察是∠CDG與∠B同位角，根據直線平行的性質只要證DG∥AB；要證DG∥AB，根據直線平行的條件結合∠1=∠2，只要證∠BAD=∠2；要證∠BAD=∠2，根據等量代換，只要證∠1=∠BAD；要證∠1=∠BAD，根據直線平行的性質，只要證EF∥AD，由AD⊥BC，EF⊥BC 得∠ADC=∠EFC，可證EF∥AD.

【點評】本題是直線平行的條件與性質的靈活運用，把之前所學的知識融會貫通.我們要證“三線八角”中同位角、內錯角、同旁內角的數量關系，可以考慮證直線平行；反之要證直線平行，就要考慮考慮相應角的數量關系.

難點二：概念變式——三角形三邊關系

我們判斷三邊是否構成三角形要考慮滿足下面三個條件：⑴AB+AC>BC ；⑵AB+BC>AC ；⑶BC+AC>AB.但實際，我們做題時只要將其中2條較短線段長度的和與最長線段的長度進行比較就可以了.已知3條線段，判斷它們能否構成一個三角形的依據是：若3條線段中2條較短線段長度的和大于最長線段的長度，則用這三條線段能構成一個三角形.

例3 下列長度的各組線段能否組成一個三角形？（1）15cm、10 cm、7 cm； （2）4 cm、5 cm、10 cm； （3）3 cm、8 cm、5 cm； （4）4 cm、5 cm、6 cm.

【分析】根據歸納的判斷三邊能否構成三角形的依據，只要思考2條較短線段長度的和是否大于最長線段的長度，若大于則能構成一個三角形，否則不能構成三角形.

（1）∵10+7>15，∴能構成一個三角形；

（2）∵4+5<10，∴不能構成一個三角形；

（3）∵3+5=8，∴不能構成一個三角形；

（4）∵4+5>6，∴能構成一個三角形；

【點評】：判斷三邊能否構成三角形，如果利用三邊關系要討論三種情況不僅耗時還存在討論不周到的情況，所以從三邊關系分析出簡單的判斷方法很重要.

把三角形的三邊關系變形可以得到：⑴AB>BC-AC ；⑵ BC>AC-AB ；⑶ AC >AB- BC.可歸納得出第三邊大于兩邊之差，同時結合三邊關系，我們可以發現：已知三角形的兩邊長度，第三邊的長度范圍是大于兩邊之差且小于兩邊之和.

例4 已知三角形的兩邊長分別是2cm和7cm，第三邊長的數值是偶數，求這個三角形的周長.

【分析】在三角形中，已知兩邊長，要求周長，只要求出第三邊的長，根據三角形三邊關系演變出來的：“兩邊之差<第三邊<兩邊之和”.

設：第三邊的長為x cm. 根據三角形的三邊關系有7-2

又因為x是偶數，所以x=6或8.

所以三角形的周長是7+2+6=15cm7+2+8=17cm.

【點評】：本題巧妙地應用演變出來的三角形的三邊關系求出第三邊的范圍，結合題目條件求出第三邊，進而求出周長.

所以我們同學在學習概念過程中不要滿足于概念本身，可以從概念變式著手歸納總結出一些新結論，幫助我們解題.

難點三：未知化已知——探索多邊形的內角和

多邊形內角和是在三角形內角和基礎上進行探討的，我們可以把多邊形轉化成三角形來研究多邊形的內角和.如何添加合適的輔助線劃分成三角形，下面將介紹三種方法來探索多邊形內角和.

方法一 如圖3，連接多邊形的任一頂點A1與其不相鄰的各個頂點的線段，把n邊形分成（n-2）個三角形.

我們在探索"n邊形的內角和公式"中，用化復雜為簡單，化未知為已知，再用已知知識研究解決新問題的化歸思想.這種思想將提高我們發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，同時通過上面三種證明方法可以體會解決問題方法的多樣性，充分展示了解題中的智慧.

對于上述三個難點，同學在學習本章知識中能夠好好把握，對學好本章知識有著舉足輕重的作用.