厘清三線八角 掌握兩線平行

魏宏

當迎春花開了，我們也就進入初中七年級下冊的第一章《平面圖形的認識（二） 》學習了，這就需要同學們去熟悉一張基本圖形——三線八角；理解一個概念——平行線；掌握平行線的3條判定、3條性質，以上內容掌握將有助于同學們更快地走進幾何圖形的學習.那么，什么是平行線？平行線的性質、判定又是怎樣的呢？

一、三線八角

兩條直線被第三條直線所截形成八個角，

它們構成了同位角、內錯角和同旁內角.

如圖，直線a、b被直線 所截

①∠1和∠5在截線 的同側，同在被截直線a、b的上方，叫做同位角（位置相同）.還有∠2和∠6，∠3和∠7，∠4和∠8.

②∠5和∠3在截線 的兩旁（交錯），在被截直線a、b之間（內），叫做內錯角（位置在內且交錯）.還有∠4和∠6.

③∠5和∠4在截線 的同側，在被截直線a、b之間（內），叫做同旁內角.還有∠3和∠6.

理解三線八角，我們要把握以下幾點：

1、三線八角

都是就兩條直線被第三條直線所截這種情況下，不同頂點的兩個角之間的位置而言的.如圖，∠1和∠2雖然是不同頂點的兩個角，但不是兩條直線被第三條直線所截得的角，故不屬于“三線八角”中的任何一類角.∠2和∠3雖是由兩條直線被第三條直線所截而成的角，但它們同頂點，故也不屬于“三線八角”中的任何一類角.

2、 三線八角講的只是位置關系，而不是大小

關系，切不可誤認為同位角、內錯角必相等，同旁內角必互補.

3、 一個角可以同時

和幾個角是同位角、內錯角、同旁內角.如圖，∠1和∠3、∠2是同位角，和∠4是同旁內角，和∠5是內錯角.

二、概念來襲

1.平行線的概念

在同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線.

2.平行線的判定

在運用平行線的判定時，一定要看清是哪兩條直線被哪一條直線所截而成的同位角相等，或內錯角相等，或同旁內角互補，才能正確判斷是哪兩條直線平行.三線八角中的“角”擔任了平行線的“裁判員”.

3.平行線的性質

（1）兩直線平行，同位角相等；

（2）兩直線平行，內錯角相等；

（3）兩直線平行，同旁內角互補.

在理解平行線的性質時，一定要記住：“要使同位角或內錯角相等，同旁內角互補”成立的前提條件是“已知兩直線平行”.

三、概念活用

例1 如圖，判斷下列各對角是哪兩條直線被哪條直線所截而成的什么角：⑴∠1和∠2；⑵∠1和∠3；⑶∠1和∠BAD；⑷∠2和∠4.

【解析】如圖，∠1和∠2有一條公共邊AB，另一邊分別是AC、BC， 分離出基本圖形如圖.這樣就構造出了一個很熟悉的“三線八角”，對照基本圖形，易知∠1和∠2是直線AC、BC被直線AB所截而成的同旁內角；同樣，我們可以把圖中的∠1和∠3、∠1和∠BAD、∠2和∠4 分別分離出來，如下面三張圖：

【答案】如圖，∠1和∠2是直線AC、BC被直線AB所截而成的同旁內角，∠1和∠3是直線AB、CD被直線BC所截而成的同位角，∠1和∠BAD是直線AD、BC被直線AB所截而成的同旁內角、∠2和∠4是直線AB、CD被直線AC所截而成的內錯角.

【點評】解決這類問題要熟悉“三線八角”的基本模型，根據其位置特征，可總結為：同位角是“F”型；內錯角是“Z”型；同旁內角是“U”型.學會從原圖中分離出基本圖形，不僅為識別“三線八角”提供了方便，也為以后解決更復雜的幾何問題奠定了堅實的基礎.

【解析】首先由已知EF∥AD，根據兩直線平行，同位角相等可得∠2=∠3，再由∠1=∠2，利用等量代換可得∠1=∠3，根據內錯角相等，兩直線平行可得AB∥DG，再根據兩直線平行，同旁內角互補可得∠BAC+∠AGD=180°，進而得到答案.

【答案】∠3，兩直線平行，同位角相等；DG，內錯角相等，兩直線平行；∠AGD，兩直線平行，同旁內角互補；110°.

【點評】平行線的判定是由角的數量關系判斷兩直線的位置關系.平行線的性質是由平行關系來尋找角的數量關系.見到“特殊位置”的角相等或互補，就應該想一想否有平行線的出現.反之，遇見直線平行就應聯想到角相等或互補.

同學們，你們現在對“三線八角”和平行線的性質與判定有了一個更深入的理解了嗎？當然，我們同時也要知道，平行線的判定還不止這些，那么，還有哪些呢？這個問題就留給你們自己思考吧！