魔方中的數(shù)學(xué)

孫峰

數(shù)學(xué)滲透在日常生活的方方面面，甚至是在玩樂中，一個簡單的游戲，一種普通的玩具，都可能蘊含著數(shù)學(xué)的精彩。非常高深的數(shù)學(xué)，很可能就在其中完美體現(xiàn)。本文將從一個風(fēng)靡世界的玩具——魔方出發(fā)，探討數(shù)學(xué)與玩具的完美結(jié)合，追尋數(shù)學(xué)的魅力。

通常所說的魔方，其國際標(biāo)準(zhǔn)稱呼是魯比克魔方，由匈牙利布達佩斯應(yīng)用藝術(shù)學(xué)院的建筑學(xué)教授魯比克·艾爾內(nèi)于1974年發(fā)明。關(guān)于魯比克發(fā)明魔方的初衷，流傳甚廣的一個說法是為了發(fā)明一種教具，以幫助學(xué)生理解、認(rèn)識立體空間的構(gòu)造。魯比克一開始并沒有意識到他發(fā)明了一個極其具有挑戰(zhàn)性的益智玩具，當(dāng)他第一次將自己發(fā)明的魔方打亂，才發(fā)現(xiàn)了這個后來被無數(shù)人反復(fù)證明的事實：復(fù)原狀態(tài)的魔方一旦被打亂，想要將其復(fù)原是一件極其困難的事情。

1980年初，一家玩具公司將魔方帶至在巴黎、倫敦和美國的國際玩具博覽會上展出，此后不久，隨著魔方制造技術(shù)的改進，魔方迅速風(fēng)靡全球，到1982年，短短的3年間魔方在全球就售出了200多萬只，而到今天，全世界售出了數(shù)億只魔方，魔方已經(jīng)成為全球最為流行的玩具之一。

魔方核心是三個相互垂直的軸，保證魔方的順利轉(zhuǎn)動。外觀上，由26個小正方體組成一個正方體。包括與中心軸相連的中心方塊6個，相對位置固定不動，僅一面涂有顏色。棱塊12個，兩面有顏色。角塊8個，三面有色。復(fù)原狀態(tài)下，魔方?jīng)]面都涂有相同的顏色，六個面的顏色各不相同。魔方每個面都可以自由轉(zhuǎn)動，從而打亂魔方，形成變化多端的組合。

魔方組合的數(shù)量可以按照如下方式計算：8個角塊可以互換位置，存在8！種組合，又可以翻轉(zhuǎn)，每個角塊可以具有3種空間位置，但因為不能單獨翻轉(zhuǎn)一個角塊，需要除以3，總共存在8！×37種組合；12個棱塊可以互換位置，得到12！，又可以翻轉(zhuǎn)，得到212，但因為不能單獨翻轉(zhuǎn)一個棱塊，也不能單獨交換任意兩個棱塊的位置，需要分別除以2，得到12！×212/（2×2）種組合。聯(lián)合起來，得到魔方的所有可能組合數(shù)為：8！×37×12！×212/（2×2）=43，252，003，274，489，856，000≈4.33×1019這是一個天文數(shù)字，如果某位玩家想要嘗試所有的組合，哪怕不吃不喝不睡，每秒鐘轉(zhuǎn)出十種不同的組合，也要花上千億年的時間才能如愿，這是當(dāng)前宇宙年齡的約10倍。

實際上，如果將魔方拆開隨意組合，其組合情況將多達5.19×1020種。也就是說，如果拆散魔方，再隨意安裝，有11/12的幾率無法恢復(fù)原狀。所以如果魔方被拆散，安裝時應(yīng)按復(fù)原狀態(tài)安裝，否則極可能會無法復(fù)原。

魔方復(fù)原的另一個困難來自于我們只能安裝特定的方式復(fù)原，即反復(fù)旋轉(zhuǎn)某一面，一面上的9個方塊必須整體參與運動，這樣我們在復(fù)原過程中總是會打亂已經(jīng)復(fù)原的部分，這種限制大大加大了復(fù)原魔方的難度。

很顯然，任意組合的魔方都可以在有限步驟內(nèi)復(fù)原，那么，問題來了，是否存在復(fù)原任意組合魔方所需的最少轉(zhuǎn)動次數(shù)N？也即，如果至多進行N次轉(zhuǎn)動便可以將任意魔方復(fù)原，這個N具體為多少？這個數(shù)字N被成為上帝數(shù)字，從魔方剛剛流行的1982年便被提了出來。

當(dāng)然，對任意的魔方，尋找最少的轉(zhuǎn)動步驟是極其困難的，需要針對每種情況尋找特定的步驟。一般的，還是利用本文前面所述的復(fù)原辦法，只需學(xué)習(xí)記憶少量的套路或公式，如CFOP法，需要學(xué)習(xí)記憶119個公式，平均只需55次轉(zhuǎn)動便可復(fù)原魔方。

數(shù)學(xué)是一門充滿魅力的學(xué)科，在它復(fù)雜表面的背后，隱藏著大量極其簡單、漂亮的規(guī)律。有趣的游戲、手頭的玩具，往往在簡單中蘊藏著深刻的數(shù)學(xué)規(guī)律；而復(fù)雜的數(shù)學(xué)經(jīng)常以極其簡單、漂亮的形式展現(xiàn)。